北京市中国人民大学附属中学2023届数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．若函数的定义域和值域都为R，则关于实数a的下列说法中正确的是
A.或3 B.
C.或 D.
2．设，，，则，，的大小关系为（）
A. B.
C. D.
3．已知，且α是第四象限角，那么的值是（ ）
A. B.－
C.± D.
4．下列命题中正确的是（）
A.第一象限角小于第二象限角 B.锐角一定是第一象限角
C.第二象限角是钝角 D.平角大于第二象限角
5．对于实数a，b，c下列命题中的真命题是(　　)
A.若a＞b，则ac2＞bc2 B.若a＞b＞0，则
C.若a＜b＜0，则 D.若a＞b，，则a＞0，b＜0
6．对于函数，若存在，使，则称点是曲线“优美点”.已知，则曲线的“优美点”个数为
A.1 B.2
C.4 D.6
7．若将函数图象向左平移个单位，则平移后的图象对称轴为（）
A. B.
C. D.
8．已知函数的图象的对称轴为直线，则（）
A. B.
C. D.
9．若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
10．若，则等于
A. B.
C. D.
11．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆-嫦娥五号返回：舱之所以能达到如此髙的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，则至少还需要“打水漂”的次数为（）(参考数据：取lg2≈0.301， lg3≈0.477)

A.4 B.5
C.6 D.7
12．已知全集，集合，则（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知奇函数满足，，若当时，，则______
14．设函数，若实数满足，且，则的取值范围是_______________________
15．写出一个能说明“若函数为奇函数，则”是假命题的函数：_________.
16．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1．设
①当时，t=___________；
②若，则t的最大值是___________
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知：
(1)求的值
(2)若，求的值.
18．已知,,，为坐标原点.
（1）若 ,求的值；
（2）若,且，求 .
19．已知函数图象的一个最高点和最低点的坐标分别为和
（1）求的解析式；
（2）若存在，满足，求m的取值范围
20．设函数，
（1）求函数的值域；
（2）设函数，若对，，，求正实数a的取值范围
21．在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上（含端点），且，且（、为常数），设，.

（Ⅰ）试用、表示和；
（Ⅱ）若，求的最小值.
22．已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、B
【解析】若函数的定义域和值域都为R，则.
解得或3.
当时，，满足题意；
当时，，值域为{1}，不满足题意.
故选B.
2、D
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，再结合0,1两个中间量即可求得答案.
【详解】因为，，，所以.
故选：D.
3、B
【解析】
由诱导公式对已知式子和所求式子进行化简即可求解.
【详解】根据诱导公式：，所以，，故.
故选：B
【点睛】诱导公式的记忆方法：奇变偶不变，符号看象限.
4、B
【解析】根据象限角的定义及锐角、钝角及平角的大小逐一分析判断即可得解.
【详解】解：为第一象限角，为第二象限角，故A错误；
因为锐角，所以锐角一定是第一象限角，故B正确；
因为钝角，平角，
为第二象限角，故CD错误.
故选：B.
5、D
【解析】逐一分析选项，得到正确答案.
【详解】A.当时，，所以不正确；
B.当时，，所以不正确；
C.，当时，
，
，即，所以不正确；
D.，

，即，
所以正确.
故选D.
【点睛】本题考查不等式性质的应用，比较两个数的大小，1.做差法比较；2.不等式性质比较；3.函数单调性比较.
6、C
【解析】曲线的“优美点”个数，就是的函数关于原点对称的函数图象，与的图象的交点个数，求出的函数关于原点对称的函数解析式，与联立，解方程可得交点个数
【详解】曲线的“优美点”个数，
就是的函数关于原点对称的函数图象，与的图象的交点个数，
由可得，
关于原点对称的函数，，
联立和，
解得或，
则存在点和为“优美点”，
曲线的“优美点”个数为4，故选C
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查转化思想和方程思想，属于难题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
7、A
【解析】由图象平移写出平移后的解析式，再由正弦函数的性质求对称轴方程.
【详解】，
令，，则且.
故选：A.
8、A
【解析】根据二次函数的图像的开口向上，对称轴为，可得，且函数在上递增，再根据函数的对称性以及单调性即可求解.
【详解】二次函数的图像的开口向上，对称轴为，
且函数在上递增，
根据二次函数的对称性可知，
又，所以，
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数的单调性以及对称性比较函数值的大小，属于基础题.
9、A
【解析】由题意可得：函数在区间上的值域为

实数的取值范围是
故选
点睛：本小题考查的是学生对函数最值的应用的知识点的掌握．本题在解答时应该先将函数在区间上的值域求出，即可得到关于的不等关系，从而即可解得实数的取值范围
10、B
【解析】，.
考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系
第II卷（非选择题
11、C
【解析】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，再根据题设列不等式求解即可.
【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝.
由，得，则，
所以，故，又，
所以至少需要“打水漂”的次数为6.
故选：C
12、B
【解析】首先确定全集，而后由补集定义可得结果
【详解】解：，又，
.
故选B
【点睛】本题考查了集合的补集，熟练掌握补集的定义是解决本题的关键，属于基础题型.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】由，可得是以周期为周期函数，由奇函数的性质以及已知区间上的解析式可求值，从而计算求解.
【详解】因为，即是以周期为的周期函数.为奇函数且当时，， ，当时，
所以
故答案为：
14、
【解析】结合图象确定a，b，c的关系，由此可得，再利用基本不等式求其最值.
【详解】解：因为函数，若实数a，b，c满足，且，
；
如图：，且；
令；
因为；
，当且仅当时取等号；
，；

故答案为：
15、（答案不唯一）
【解析】由题意，只需找一个奇函数，0不在定义域中即可.
【详解】由题意，为奇函数且，则满足题意
故答案为：
16、 ①.0 ②.
【解析】利用坐标法可得，结合条件及完全平方数的最值即得.
【详解】由题可建立平面直角坐标系，则，

∴，
∴，
∴当时，，
因为，要使t最大，
可取，即时，
t 取得最大值是.
故答案为：0；.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）；（2）
【解析】（1）利用诱导公式及商数关系得到结果；
（2）利用两角和与差正切公式可得答案.
【详解】（1）∵ ，则
∴
（2）∵ ∴
解得：
∴
【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值；熟练运用两角和与差的正切公式是解答的关键
18、（1）（2）
【解析】（1）由向量平行的坐标运算列式直接求解即可；
（2）先求得的坐标，利用坐标表示向量的模长，列方程求得，从而得，利用向量坐标表示数量积即可得解.
【详解】（1）依题，，
因，所以，
所以
（2）因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，包括共线、模长、数量积，属于基础题.
19、 (1) ,(2)
【解析】（1）根据题意得到，所以，再代入数据计算得到，，得到答案.
（2）因为，所以得到，得到
计算得到答案.
【详解】（1）由题意得，则.
又，则，因，所以.
,，
因为的图象经过点，所以,
所以，，因为，所以
故
（2）因为，所以从而,，
因为，所以
要使得存在满足，
则，
解得．故m的取值范围为
【点睛】本题考查了三角函数的解析式，存在问题，计算函数的值域是解题的关键.
20、（1）；
（2）.
【解析】(1)由题可得，利用基本不等式可求函数的值域；
(2)由题可求函数在上的值域，由题可知函数在上的值域包含于函数在上的值域，由此可求正实数a的取值范围
【小问1详解】
∵，又，，
∴，当且仅当，即时取等号，
所以，
即函数的值域为
【小问2详解】
∵，
设，因为，所以，函数在上单调递增，
∴，即，
设时，函数的值域为A．由题意知，
∵函数，函数图象的对称轴为，
当，即时，函数在上递增，
则，即，
∴，
当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者，
而且，不合题意，
当，即时，函数在上递减，
则，即，满足条件的a不存在，
综上，
21、（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）过点作，交于点，证明出，从而得出，然后利用向量加法的三角形法则可将和用、表示；
（Ⅱ）计算出、和的值，由得出，且有，然后利用向量数量积的运算律将表示为以为自变量的二次函数，利用二次函数的基本性质可求出的最小值.
【详解】（Ⅰ）如下图所示，过点作，交于点，

由于为等腰梯形，则，且，
，即，又，所以，四边形为平行四边形，
则，所以，为等边三角形，且，
，，
，
；
（Ⅱ），，，
由题意可知，，由得出，
所以，，
，
令，则函数在区间上单调递减，
所以，，因此，的最小值为.
【点睛】本题考查利用基底表示向量，同时也考查了平面向量数量积最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.
22、（1），；
（2）为定义在上的减函数，证明见解析；
（3）.
【解析】（1）由可求得；根据奇函数定义知，由此构造方程求得；
（2）将函数整理为，设，可证得，由此可得结论；
（3）根据单调性和奇偶性可将不等式化为，结合的范围可求得，由此可得结果.
【小问1详解】
是定义在上的奇函数，且，
，解得：，，
，解得：；
当，时，，，满足为奇函数；
综上所述：，；
【小问2详解】
由（1）得：；
设，则，
，，，，
是定义在上的减函数；
【小问3详解】
由得：，又为上的奇函数，
，，
由（2）知：是定义在上的减函数，，即，
当时，，，即实数的取值范围为.