资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在矩形中，于，设，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．如图，在中，，于点D，，，则AD的长是（ ）
A．1. B． C．2 D．4
4．如图是一个长方体的左视图和俯视图，则其主视图的面积为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
5．如图，一个几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
6．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有( )个
A．10 B．15 C．20 D．25
7．如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数y＝2x2﹣4的图象上，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．已知△ABC与△DEF相似且对应周长的比为4：9，则△ABC与△DEF的面积比为
A．2：3 B．16：81
C．9：4 D．4：9
9．如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，，．若S=3，则的值为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
10．的面积为2，边的长为，边上的高为，则与的变化规律用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．点A（﹣5，4）所在的象限是 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在中， ，于点D，于点E，F、G分别是BC、DE的中点，若，则FG的长度为__________．
14．x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根，则此方程的另一个根是 ．
15．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 .
16．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是__m．
17．在四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC．请你再添加一个条件，使四边形ABCD是菱形．你添加的条件是_________．(写出一种即可)
18．对于为零的两个实数a，b，如果规定：a☆b＝ab-b-1，那么x☆（2☆x）=0中x值为____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）计算：|﹣1|+2sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1
20．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝x2﹣4x+4的顶点为A，直线y2＝kx﹣2k（k≠0），
（1）试说明直线是否经过抛物线顶点A；
（2）若直线y2交抛物线于点B，且△OAB面积为1时，求B点坐标；
（1）过x轴上的一点M（t，0）（0≤t≤2），作x轴的垂线，分别交y1，y2的图象于点P，Q，判断下列说法是否正确，并说明理由：
①当k＞0时，存在实数t（0≤t≤2）使得PQ＝1．
②当﹣2＜k＜﹣0.5时，不存在满足条件的t（0≤t≤2）使得PQ＝1．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点B(12，10)，过点B作x轴的垂线，垂足为A．作y轴的垂线，垂足为C．点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当点E运动到点A时，三点随之停止运动，运动过程中△ODE关于直线DE的对称图形是△O′DE，设运动时间为t．
（1）用含t的代数式分别表示点E和点F的坐标；
（2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）当t＝2时，求O′点在坐标．
22．（10分）国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品,规定销售单价不低于成本价,又不高于每件70元,销售量y(件)与销售单价x(元)的关系可以近似的看作一次函数(如图).
(1)请直接写出y关于x之间的关系式 ；
(2)设该商铺销售这批商品获得的总利润(总利润=总销售额一总成本)为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断:当x取何值时,P的值最大？最大值是多少？
(3)若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于400元,求销售单价x(元)的取值范围是 .(可借助二次函数的图象直接写出答案)
23．（10分）如图，在平行四边形中，连接对角线，延长至点，使，连接，分别交，于点，.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
24．（10分）如图，已知抛物线的图象经过点、和原点，为直线上方抛物线上的一个动点．
（1）求直线及抛物线的解析式；
（2）过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点，当为等腰三角形时，求的坐标；
（3）设关于对称轴的点为，抛物线的顶点为，探索是否存在一点，使得的面积为，如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．
25．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=10，BC=12，点E是弧BC的中点.
(1)过点E作BC的平行线交AB的延长线于点D，求证：DE是⊙O的切线.
(2)点F是弧AC的中点，求EF的长.
26．如图，已知，，，，．
（1）求和的大小；
（2）求的长
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据矩形的性质可知：求AD的长就是求BC的长，易得∠BAC=∠ADE，于是可利用三角函数的知识先求出AC，然后在直角△ABC中根据勾股定理即可求出BC，进而可得答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAC=90°，BC=AD，∴∠BAC+∠DAE=90°，
∵，∴∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAC=，
在直角△ABC中，∵，，∴，
∴AD=BC=.
故选：C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理和解直角三角形的知识，属于常考题型，熟练掌握矩形的性质和解直角三角形的知识是解题关键.
2、D
【解析】由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为1m为负数，最大值为1n为正数．将最大值为1n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．
【详解】解：二次函数y=﹣（x﹣1）1+5的大致图象如下：
．
①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，
解得：m=﹣1．
当x=n时y取最大值，即1n=﹣（n﹣1）1+5， 解得：n=1或n=﹣1（均不合题意，舍去）；
②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，
解得：m=﹣1．
当x=1时y取最大值，即1n=﹣（1﹣1）1+5， 解得：n=，
或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，
1m=-（n-1）1+5，n=，
∴m=，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n=﹣1+=．
3、D
【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴ ，
∵CD=2，BD=1，
∴ ，
∴AD=4.
故选D.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于证得△ACD∽△CBD.
4、B
【分析】左视图可得到长方体的宽和高，俯视图可得到长方体的长和宽，主视图表现长方体的长和高，让长×高即为主视图的面积．
【详解】解：由左视图可知，长方体的高为2，
由俯视图可知，长方体的长为4，
∴长方体的主视图的面积为：；
故选：B．
【点睛】
本题考查主视图的面积的求法，根据其他视图得到几何体的长和高是解决本题的关键．
5、D
【分析】这个几何体的侧面是以底面圆周长为长、圆柱体的高为宽的矩形，根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】根据三视图可得几何体为圆柱，圆柱体的侧面积=底面圆的周长圆柱体的高=
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了圆柱体的侧面积问题，掌握矩形的面积公式是解题的关键．
6、C
【分析】由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】设白球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，
∴口袋中得到红色球的概率为0.2，
∴，
解得：x=20，
经检验x=20是原方程的根，
故白球的个数为20个．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
7、B
【分析】根据抛物线和正方形的对称性求出OD＝OC，并判断出S阴影＝S矩形BCOE，设点B的坐标为（n，2n）（n＞0），把点B的坐标代入抛物线解析式求出n的值得到点B的坐标，然后求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，抛物线y＝2x2﹣4和正方形都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴，
∴OD＝OC＝，S阴影＝S矩形BCOE，
设点B的坐标为（n，2n）（n＞0），
∵点B在二次函数y＝2x2﹣4的图象上，
∴2n＝2n2﹣4，
解得，n1＝2，n2＝﹣1（舍负），
∴点B的坐标为（2，4），
∴S阴影＝S矩形BCOE＝2×4＝1．
故选：B．
【点睛】
此题考查的是抛物线和正方形的对称性的应用、求二次函数上点的坐标和矩形的面积，掌握抛物线和正方形的对称性、求二次函数上点的坐标和矩形的面积公式是解决此题的关键．
8、B
【解析】直接根据相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方解答.
【详解】解：∵△ABC与△DEF相似且对应周长的比为4：9，
∴△ABC与△DEF的相似比为4:9，
∴△ABC与△DEF的面积比为16:81.
故选B
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
9、B
【详解】过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP==1．
故选B．
10、A
【分析】根据三角形面积公式得出与的函数解析式，根据解析式作出图象进行判断即可．
【详解】根据题意得
∴
∵
∴与的变化规律用图象表示大致是
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象问题，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
11、B
【分析】根据象限内点的坐标特点即可解答.
【详解】点A（﹣5，4）所在的象限是第二象限，
故选：B.
【点睛】
此题考查象限内点的坐标，熟记每个象限及坐标轴上点的坐标特点是解题的关键.
12、D
【解析】等量关系为：鸡的只数+兔的只数=35，2×鸡的只数+4×兔的只数=94，把相关数值代入即可得到所求的方程组．
【详解】解：∵鸡有2只脚，兔有4只脚，
∴可列方程组为：，
故选D.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.如何列出二元一次方程组的关键点在于从题干中找出等量关系.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】连接EF、DF，根据直角三角形的性质得到EF=BC=20，得到FE=FD，根据等腰三角形的性质得到FG⊥DE，GE=GD=DE=12，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接EF、DF，
∵BD⊥AC，F为BC的中点，
∴DF=BC=20，
同理，EF=BC=20，
∴FE=FD，又G为DE的中点，
∴FG⊥DE，GE=GD=DE=12，
由勾股定理得，FG==1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中
线等于斜边的一半是解题的关键．
14、-5
【解析】把代入方程得：，解得：，
∴原方程为：，解此方程得：，
∴此方程的另一根为：.
15、2
【解析】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，
当点Q与D重合时（如图），
由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．
则点A′在BC边上移动的最大距离为3-1=2．
16、1
【分析】设抛物线的解析式为：y=ax2+b，由图得知点（0，2.4），（1，0）在抛物线上，列方程组得到抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4，根据题意求出y=1.8时x的值，进而求出答案；
【详解】设抛物线的解析式为：y=ax2+b，
由图得知：点（0，2.4），（1，0）在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4，
∵菜农的身高为1.8m，即y=1.8，
则1.8=﹣x2+2.4，
解得：x=（负值舍去）
故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：1米，
故答案为1．
17、此题答案不唯一，如AB=BC或BC=CD或CD=AD或AB=AD或AC⊥BD等．
【分析】由在四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，可判定四边形ABCD是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案．
【详解】解：如图，
∵在四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB=BC或BC=CD或CD=AD或AB=AD时，四边形ABCD是菱形；
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．
故答案为：此题答案不唯一，如AB=BC或BC=CD或CD=AD或AB=AD或AC⊥BD等．
【点睛】
此题考查了菱形的判定定理．此题属于开放题，难度不大，注意掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解此题的关键．
18、0或2
【分析】先根据a☆b＝ab-b-1得出关于x的一元二次方程，求出x的值即可．
【详解】∵a☆b＝ab-b-1，
∴2☆x=2x-x-1=x-1，
∴x☆（2☆x）= x☆（x-1）=0，即，
解得：x1=0，x2=2；
故答案为：0或2
【点睛】
本题考查了解一元二次方程以及新运算，理解题意正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、1
【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【详解】原式=1+21+2=1．
【点睛】
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20、（1）直线经过A点；（2）B（1,1）或B（1,1）；（1）①正确，②正确.
【解析】（1）将抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点A的坐标, 将点A的坐标代入直线的解析式判断即可；
（2） △OAB面积为1时，根据三角形的面积公式，求出点B的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求出点B的横坐标，即可求解.
（1）①点M（t，0），则点P（t，t2﹣4t+4），点Q（t，kt﹣2k），若k＞0：当0≤t≤2时，P在Q点上方时，整理得t2﹣（4+k）t+（1+2k）=0，求出△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（1+2k）=k2+12＞0,此方程有解，则存在实数t（0≤t≤2）使得PQ=1.
②分当 P在Q点下方，当P在Q点上方时，两种情况进行分类讨论.
【详解】（1）
顶点A（2,0）
当x=2时，由2k-2k=0，
∴直线经过A点.
（2）
△OAB面积为1时，
令
解得：
即点B的坐标为：B（1,1）或B（1,1）,
（1）∵点M（t，0），
∴点P（t，t2﹣4t+4），点Q（t，kt﹣2k），
①若k＞0：当0≤t≤2时，P在Q点上方时，∵PQ=1
∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=1
整理得t2﹣（4+k）t+（1+2k）=0
∵△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（1+2k）=k2+12＞0,此方程有解
∴①正确．
②若k＜0:
1）当 P在Q点下方，
∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=﹣1
∴t2﹣（4+k）t+7+2k=0
∵△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（7+2k）=k2﹣12
∴当存在PQ=1时，k2﹣12≥0
∴k≤或k≥（舍去）
∴当﹣2＜k＜﹣0.5时，不存在满足条件的t，
2)当P在Q点上方时，
∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=1
∵△=k2+12＞0,此方程有解
又∵ ∴有一正一负两根
∴正根>2
∴在[0,2]上不存在满足条件的t，
∴②正确-
【点睛】
属于二次函数综合题，考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，一元二次方程根的判别式等，综合性比较强，难度较大.
21、（1）E(3t，0)，F(12，10﹣2t)；（2）t＝；（3）O'(，)
【分析】（1）直接根据路程等于速度乘以时间，即可得出结论；
（2）先判断出∠DOE＝∠EAF＝90°，再分两种情况，用相似三角形得出比例式，建立方程求解，最后判断即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出DE，再利用三角形的面积求出OG，进而求出OO'，再判断出△OHO'∽△EOD，得出比例式建立方程求解即可得出结论．
【详解】解：（1）∵BA⊥x轴，CB⊥y轴，B（12，10），
∴AB＝10，
由运动知，OD＝t，OE＝3t，BF＝2t（0≤t≤4），
∴AF＝10﹣2t，
∴E（3t，0），F（12，10﹣2t）；
（2）由（1）知，OD＝t，OE＝3t，AF＝10﹣2t，
∴AE＝12﹣3t，
∵BA⊥x轴，
∴∠OAB＝90°＝∠AOC，
∵△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，
∴△DOE∽△EAF或△DOE∽△FAE，
①当△DOE∽△EAF时，，
∴，
∴t＝，
②当△DOE∽△FAE时，，
∴，
∴t＝6（舍），
即：当△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似时，t＝秒；
（3）如图，
当t＝2时，OD＝2，OE＝6，
在Rt△DOE中，根据勾股定理得，DE＝2，
连接OO'交DE于G，
∴OO'＝2OG，OO⊥DE，
∴S△DOE＝OD•OE＝DE•OG，
∴OG＝＝＝，
∴OO'＝2OG＝，
∵∠AOC＝90°，
∴∠HOO'+∠AOO'＝90°，
∵OO'⊥DE，
∴∠OED+∠AOO'＝90°，
∴∠HOO'＝∠OED，
过点O'作O'H⊥y轴于H，
∴∠OHO'＝90°＝∠DOE，
∴△OHO'∽△EOD，
∴，
∴，
∴OH＝，O'H＝，
∴O'（，）．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及相似三角形的性质．
22、 (1)y=-x+100；(2)-x2+150x-5000(50≤x≤70)，x=70时p最大为600；(3)60≤x≤70.
【分析】（1）采用待定系数法求一次函数解析式；
（2）由题意，每件的利润为元，再根据总利润=单件利润×销量，即可得出关系式，x的取值范围可由题目条件得到，再求二次函数对称轴和最值即可;
（3）利用二次函数图像性质可得出x的取值范围.
【详解】（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
函数图象经过点（60，40）和（70，30）,代入y=kx+b得，
，解得，
∴y关于x之间的关系式为.
（2）由题意得：
，
∵销售单价不低于成本价,又不高于每件70元
∴x的取值范围为
故P与x之间的函数关系式为.
∵，，
∴函数图像开口向下，对称轴为，
∴当时，P随x的增大而增大，
∴当x=70时，P最大=.
（3）当P=400时，，
解得：，，
∵，抛物线开口向下，
∴当P≥400时，60≤x≤90，
又∵x的取值范围为
∴利润低于400元时,求销售单价x的取值范围为.
【点睛】
本题考查了二次函数应用中的营销问题，关键是根据总利润公式得到二次函数关系式，再根据二次函数的性质解决最值问题.
23、（1）见解析；（1）1
【分析】（１）由平行四边形的性质，得，，进而得，，结合，即可得到结论；
（２）易证，进而得，即可求解．
【详解】（1）四边形是平行四边形，
，，
，，
又∵，
，
（ASA），
；
（1）四边形是平行四边形，
，
，
，即，
∴FG=1．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定和性质以及相似三角形的判定和性质定理，掌握上述定理，是解题的关键．
24、（1）直线的解析式为，二次函数的解析式是；（2）；（3）存在，或
【分析】（1）先将点A代入求出OA表达式，再设出二次函数的交点式，将点A代入，求出二次函数表达式；
（2）根据题意得出当为等腰三角形时，只有OC=PC，设点D的横坐标为x，表示出点P坐标，从而得出PC的长，再根据OC和OD的关系，列出方程解得；
（3）设点P的坐标为，根据条件的触点Q坐标为，再表示出的高，从而表示出的面积，令其等于，解得即可求出点P坐标.
【详解】解：（1）设直线的解析式为，
把点坐标代入得：，
直线的解析式为；
再设，
把点坐标代入得：，
函数的解析式为，
∴直线的解析式为，二次函数的解析式是．
（2）设的横坐标为，则的坐标为，
∵为直线上方抛物线上的一个动点，
∴．
此时仅有，，
∴，解得，
∴；
（3）函数的解析式为，
∴对称轴为，顶点，
设，
则，到直线的距离为，
要使的面积为，
则，即，
解得：或，
∴或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象及性质的运用，点坐标的关系，综合性较强，解题的关键是利用条件表示出点坐标，得出方程解之.
25、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接AE，由等弦对等弧可得，进而推出，可知AE为⊙O的直径，再由等腰三角形三线合一得到AE⊥BC，根据DE∥BC即可得DE⊥AE，即可得证；
（2）连接BE，AF，OF，OF与AC交于点H，AE与BC交于点G，利用勾股定理求出AG，然后求直径AE，再利用垂径定理求出HF，最后用勾股定理求AF和EF.
【详解】证明：（1）如图，连接AE，
∵AB=AC
∴
又∵点E是弧BC的中点，即
∴，即
∴AE为⊙O的直径，
∵
∴∠BAE=∠CAE
又∵AB=AC
∴AE⊥BC
∵DE∥BC
∴DE⊥AE
∴DE是⊙O的切线.
（2）如图，连接BE，AF，OF，OF与AC交于点H，AE与BC交于点G，
∴∠ABE=∠AFE=90°，OF⊥AC
由（1）可知AG垂直平分BC，∴BG=BC=6
在Rt△ABG中，
∵cos∠BAE=cos∠BAG
∴，即
∴AE=
∴⊙O的直径为，半径为.
设HF=x，则OH=
∴在Rt△AHO中，
即，
解得
∴
∴
【点睛】
本题考查圆的综合问题，需要熟练掌握切线的证明方法，以及垂径定理和勾股定理的运用是关键.
26、（1），；（2）4cm
【分析】（1）由题意根据相似三角形的性质以及三角形内角和为180°，分别进行分析计算即可；
（2）根据相似三角形的性质即对应边的比相等列出比例式，代入相关线段长度进行分析计算即可得出答案.
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，.
（2）,
∴，
∵，，，
∴,
∴.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边的比相等以及对应角相等是解题的关键．
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