数学分析习题选解(华东师大版).doc

数学分析习题选解
第一章 实数与函数
§1. 实数
习题Page. 4
1. 设为有理数，为无理数，证明：
(1). 是无理数；　(2)当时，是无理数.
证明：（用反证法）
3. 设，证明：若对任何正数有，则.
证明：反证法，如果，则取，有：，矛盾.
6. 设（表示全体正实数的集合），证明：

你能说明此不等式的几何意义吗？
证明：用分析法，
要证：

　　　（显然成立）
几何意义，如图，在中，记，，在直角边上，取一点连接，记，则，由勾股定理，，，此结论说明，三角形的两边之和大于第三边.
7. 设，，.证明：介于与之间.
证明：与同号（注意，，）；
　　又与同号，故介于与之间.
8. 设为正整数，证明：若不是完全平方数，则是无理数.
证明：（反证法）设是有理数，记，其中，，于是，.由于大于的整数能唯一地分解为素因数之积，若不是完全平方数，则的素因数分解式中，必有是的具有奇指数的素因数.则的左端有奇数个素因数，而右端没有，与分解的唯一性矛盾，证毕
补充题：证明任何二个不同的有理数之间必有无理数.
证明：设为二个不同的有理数（不妨），取为无理数，则
，即介于与之间.证毕
§2. 数集、确界原理
习题Page. ９－10
2. 设为非空数集，试对下列概念给出定义：
(1). 无上界；　　　(2). 无界.
解：(1). 如果，，使，则称无上界；
　　(2). 如果，，使，则称无界.
3. 试证明由(3)式所确定的数集有上界，而无下界.
证明：因为，，有：，故有上界.
而，取，有：，故无下界.证毕
4. 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：
⑴；　　　　　　　⑵；
⑶；　⑷.
解：⑴因为，，所以，，事实上，，有：，即是上界；而，取，有
，即不是上界，故.
同理可证，.
⑵因为，，所以，无上界，.且有最小数，故.
⑶因为，，由无理数的性质与确界的定义，可断定， ，事实上，显然，有：，即是下界；而由有理数的稠密性，，在与之间至少存在一个无理数，即，即不是下界，故.同理可证，，
⑷因为，有最小数，故.又由确界的定义，，事实上，，有：，即是上界；而，取，其中，有，即不是上界，故.
5.
6. 设为非空数集，定义，证明：
⑴；
证明：⑴，则①，有：；②，，有：.③，有：，④，，有：.综合③④，知：，即.
7. 设、皆为非空有界数集，定义数集，
证明：⑴，⑵.
分析：只要证，且.证第一个不等式，即证，常数是的上界；用确界定义的第二个条件，来证第二个不等式.
证明：⑴因为，，且，
于是，，其中，，有：；
故常数是的上界，必大于等于最小上界.
即.
　　　又因为，，，使：　　①其中，，而　　　　　　　　　　　②由①与②式，，所以，.故，.
同理可证，⑵.证毕
(法2)证明：设，，则
①，有：；，有：.
②，，有：；，有：；
由①，知：，其中，，有：，
由②，知：，取，有：.
故是的最小上界，即，
所以，.证毕
8. 设，为有理数，证明：
证明：当，，有：，即是的上界；而，
9.
§3. 函数的概念
习题Page.15－16
1.
2.
3. 根据图1－2写出定义在上的分段函数和的解析表示式.
解：当时，是过与二点的直线，所以，，
　当时，是过与二点的直线，所以，，
　故，同理，得；.
4. 确定下列初等函数的存在域：
⑴，⑵，⑶，⑷.
解：⑴要使有意义，当且仅当，，即，故.
⑵要使有意义，当且仅当，，即，故.
⑶要使有意义，当且仅当，，即，所以，，故.
⑷要使有意义，当且仅当，，即，所以，，故.
5. 设函数，
求⑴，，；⑵，，（）.
解：由函数的定义，
⑴，，；
⑵，.
6. 设函数，求，，，，.
解：，；
，；
，；
，；
，；
7. 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成：
⑵；　　⑶；　　⑷.
解：⑵，由，，复合而成.
⑶由，，复合而成.
⑷.由，，复合而成.
8.
9. 试作函数的图象.
解：当时，是的反函数，所以，；当，时，，
，于是，的图象（如图），是线段，，向左右不断平移个单位所得的图象.
10. 试问下列等式是否成立.
⑴，；
⑵，，.
解：，与，互为反函数，于是，
⑴，成立；
⑵，，不成立，事实上，
当时，此式不成立，如时，
.
11.试问：是初等函数吗？
解：由基本初等函数，复合而成，
是初等函数.
12.证明：关于函数的如下不等式：
⑴当时，；　　⑵当时，.
证明：因为，当时，

显然成立.
§4. 具有某些特性的函数
习题Page.
1.
2. ⑴叙述无界函数的定义；
⑵证明为上的无界函数：
⑶举出函数的例子，使为闭区间上的无界函数.
解：⑴设函数定义在数集上，如果，，使：则称在上无界.
⑵，取，有：，
故为上的无界函数：
⑶，在上无界.
3. 证明下列函数在指定区间上的单调性.
(3).在上严格递减.
证明：，且，有：，而，；，.从而，，即，在上严格递减.
4. 判别下列函数的奇偶性：
(2)，　　(4).
解：(2)的定义域，而，有：，且.所以，是奇函数.
(4) 的定义域，而，有：，
且.
所以，是奇函数.
5. 求下列函数的周期：
(1)，　　　(2)，　　　(3).
解：(1)，所以，的周期为.
(2)的周期为.
(3)的周期为.
6.
7.
8.
9.
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