数学分析习题选解(华东师大版).doc

数学分析习题选解第一章 实数与函数1. 实数习题Page. 41. 设为有理数，为无理数，证明：(1). 是无理数；(2)当时，是无理数.证明：（用反证法）3. 设，证明：若对任何正数有，则.证明：反证法，如果，则取，有：，矛盾.6. 设（表示全体正实数的集合），证明：你能说明此不等式的几何意义吗？证明：用分析法，要证：（显然成立）几何意义，如图，在中，记，在直角边上，取一点连接，记，则，由勾股定理，此结论说明，三角形的两边之和大于第三边.7. 设，.证明：介于与之间.证明：与同号（注意，）；又与同号，故介于与之间.8. 设为正整数，证明：若不是完全平方数，则是无理数.证明：（反证法）设是有理数，记，其中，于是，.由于大于的整数能唯一地分解为素因数之积，若不是完全平方数，则的素因数分解式中，必有是的具有奇指数的素因数.则的左端有奇数个素因数，而右端没有，与分解的唯一性矛盾，证毕补充题：证明任何二个不同的有理数之间必有无理数.证明：设为二个不同的有理数（不妨），取为无理数，则，即介于与之间.证毕2. 数集、确界原理习题Page. 102. 设为非空数集，试对下列概念给出定义：(1). 无上界；(2). 无界.解：(1). 如果，使，则称无上界；(2). 如果，使，则称无界.3. 试证明由(3)式所确定的数集有上界，而无下界.证明：因为，有：，故有上界.而，取，有：，故无下界.证毕4. 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：；.解：因为，所以，事实上，有：，即是上界；而，取，有，即不是上界，故.同理可证，.因为，所以，无上界，.且有最小数，故.因为，由无理数的性质与确界的定义，可断定， ，事实上，显然，有：，即是下界；而由有理数的稠密性，在与之间至少存在一个无理数，即，即不是下界，故.同理可证，因为，有最小数，故.又由确界的定义，事实上，有：，即是上界；而，取，其中，有，即不是上界，故.5. 6. 设为非空数集，定义，证明：；证明：，则，有：；，有：.，有：，有：.综合，知：，即.7. 设、皆为非空有界数集，定义数集，证明：，.分析：只要证，且.证第一个不等式，即证，常数是的上界；用确界定义的第二个条件，来证第二个不等式.证明：因为，且，于是，其中，有：；故常数是的上界，必大于等于最小上界.即.又因为，使：其中，而由与式，所以，.故，.同理可证，.证毕(法2)证明：设，则，有：；，有：.，有：；，有：；由，知：，其中，有：，由，知：，取，有：.故是的最小上界，即，所以，.证毕8. 设，为有理数，证明：证明：当，有：，即是的上界；而，9. 3. 函数的概念习题Page.15161. 2. 3. 根据图12写出定义在上的分段函数和的解析表示式.解：当时，是过与二点的直线，所以，当时，是过与二点的直线，所以，故，同理，得；.4. 确定下列初等函数的存在域：，.解：要使有意义，当且仅当，即，故.要使有意义，当且仅当，即，故.要使有意义，当且仅当，即，所以，故.要使有意义，当且仅当，即，所以，故.5. 设函数，求，；，（）.解：由函数的定义，；，.6. 设函数，求，.解：，；，；，；，；，；7. 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成：；.解：，由，复合而成.由，复合而成.由，复合而成.8. 9. 试作函数的图象.解：当时，是的反函数，所以，；当，时，于是，的图象（如图），是线段，向左右不断平移个单位所得的图象.10. 试问下列等式是否成立.，；，.解：，与，互为反函数，于是，成立；，不成立，事实上，当时，此式不成立，如时，.11.试问：是初等函数吗？解：由基本初等函数，复合而成，是初等函数.12.证明：关于函数的如下不等式：当时，；当时，.证明：因为，当时，显然成立.4. 具有某些特性的函数习题Page.1. 2. 叙述无界函数的定义；证明为上的无界函数：举出函数的例子，使为闭区间上的无界函数.解：设函数定义在数集上，如果，使：则称在上无界.，取，有：，故为上的无界函数：，在上无界.3. 证明下列函数在指定区间上的单调性.(3).在上严格递减.证明：，且，有：，而，；，.从而，即，在上严格递减.4. 判别下列函数的奇偶性：(2)，(4).解：(2)的定义域，而，有：，且.所以，是奇函数.(4) 的定义域，而，有：，且.所以，是奇函数.5. 求下列函数的周期：(1)，(2)，(3).解：(1)，所以，的周期为.(2)的周期为.(3)的周期为.6. 7. 8. 9. 9 / 9