资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC，垂足为点H，分别交AD、AB及CB的延长线交于点E、M、F，且AE：FB＝1：2，则AH：AC的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．某反比例函数的图象经过点（-2,3），则此函数图象也经过（ ）
A．（2，-3） B．（-3,3） C．（2,3） D．（-4,6）
4．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
5．若点 A、B、C 都在二次函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（ ）
A．12元 B．10元 C．11元 D．9元
7．单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。 如图，由两个相同的正方体和一个圆锥体组成一个立体图形，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
8．如果反比例函数y＝的图象经过点(﹣5，3)，则k＝（ ）
A．15 B．﹣15 C．16 D．﹣16
9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0没有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2
10．如图，在中，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在圆心角为45°的扇形内有一正方形CDEF，其中点C、D在半径OA上，点F在半径OB上，点E在弧AB上，则扇形与正方形的面积比是（ ）
A．π：8 B．5π：8 C．π：4 D．π：4
12．如图，已知扇形BOD， DE⊥OB于点E，若ED=OE=2，则阴影部分面积为( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在数、、中任取两个数（不重复）作为点的坐标，则该点刚好在一次函数图象的概率是________________.
14．方程x2＝1的解是_____．
15．某中学为了了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．
16．如图，将Rt△ABC（其中∠B＝30°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点B、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于_____．
17．若是关于的方程的一个根，则的值为_________________.
18．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知关于x的方程：（m﹣2）x2+x﹣2＝0
（1）若方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若方程的两实数根为x1、x2，且x12+x22＝5，求m的值．
20．（8分）某校一课外活动小组为了了解学生最喜欢的球类运动况,随机抽查了本校九年级的200名学生,调查的结果如图所示，请根据该扇形统计图解答以下问题：
(1)图中的值是________；
(2)被查的200名生中最喜欢球运动的学生有________人；
(3)若由3名最喜欢篮球运动的学生(记为),1名最喜欢乒乓球运动的学生(记为),1名最喜欢足球运动的学生(记为)组队外出参加一次联谊活动．欲从中选出2人担任组长(不分正副),列出所有可能情况,并求2人均是最喜欢篮球运动的学生的概率．
21．（8分）一段路的“拥堵延时指数”计算公式为：拥堵延时指数=，指数越大，道路越堵。高德大数据显示第二季度重庆拥堵延时指数首次排全国榜首。为此，交管部门在A、B两拥堵路段进行调研：A路段平峰时汽车通行平均时速为45千米/时，B路段平峰时汽车通行平均时速为50千米/时，平峰时A路段通行时间是B路段通行时间的倍，且A路段比B路段长1千米．
（1）分别求平峰时A、B两路段的通行时间；
（2）第二季度大数据显示：在高峰时，A路段的拥堵延时指数为2，每分钟有150辆汽车进入该路段；B路段的拥堵延时指数为1.8，每分钟有125辆汽车进入该路段。第三季度，交管部门采用了智能红绿灯和潮汐车道的方式整治，拥堵状况有明显改善，在高峰时，A路段拥堵延时指数下降了a%，每分钟进入该路段的车辆增加了；B路段拥堵延时指数下降，每分钟进入该路段的车辆增加了a辆。这样，整治后每分钟分别进入两路段的车辆通过这两路段所用时间总和，比整治前每分钟分别进入这两段路的车辆通过这两路段所用时间总和多小时，求a的值．
22．（10分）如图，正方形ABCD的过长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD、BC交于点F、E，连接AE．
（1）求证：AQ⊥DP；
（2）求证：AO2＝OD•OP；
（3）当BP＝1时，求QO的长度．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标及线段的长度；
(2)若点关于点的对称点恰好也落在抛物线上，求的值．
24．（10分）已知关于的一元二次方程.
（1） 求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根.
25．（12分）如图,点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接，的面积为1．点的坐标为．若一次函数的图象经过点，交双曲线的另一支于点，交轴点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(1)若为轴上的一个动点，且的面积为5，请求出点的坐标．
26．如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】连接BD，如图，利用菱形的性质得AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，再证明EF∥BD，接着判断四边形BDEF为平行四边形得到DE＝BF，设AE＝x，FB＝DE＝2x，BC＝3x，所以AE：CF＝1：5，然后证明△AEH∽△CFH得到AH：HC＝AE：CF＝1：5，最后利用比例的性质得到AH：AC的值．
【详解】解：连接BD，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，
而DE∥BF，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE＝BF，
由AE：FB＝1：2，设AE＝x，FB＝DE＝2x，BC＝3x，
∴AE：CF＝x：5x＝1：5，
∵AE∥CF，
∴△AEH∽△CFH，
∴AH：HC＝AE：CF＝1：5，
∴AH：AC＝1：1．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知菱形的性质及相似三角形的性质.
2、A
【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．
【详解】当x=1时,y1=−(x+1) +2=−(1+1) +2=−2；
当x=2时,y=−(x+1) +2=−(2+1) +2=−7；
所以.
故选A
【点睛】
此题考查二次函数顶点式以及二次函数的性质，解题关键在于分析函数图象的情况
3、A
【分析】设反比例函数y=（k为常数，k≠0），由于反比例函数的图象经过点（-2，3），则k=-6，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征分别进行判断．
【详解】设反比例函数y=（k为常数，k≠0），
∵反比例函数的图象经过点（-2，3），
∴k=-2×3=-6，
而2×（-3）=-6，（-3）×（-3）=9，2×3=6，-4×6=-24，
∴点（2，-3）在反比例函数y=- 的图象上．
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
4、B
【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°．
故选B．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
5、D
【分析】根据反二次函数图象上点的坐标特征比较y1、y2、y3的大小，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵A()、B(2， )、C ()在二次函数y=+k的图象上，
∵y=+k的对称轴x=1，∴当x=0与x=2关于x=1对称，
∵A,B在对称轴右侧,y随x的增大而增大，则y2＞y1，
C在对称轴左侧，且 ，则y3＞y2，
∴y3＞y2＞y1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标关于对称轴对称的特征比较y1、y2、y3的大小是解题的关键．
6、B
【分析】设应降价x元，根据题意列写方程并求解可得答案．
【详解】设应降价x元
则根据题意，等量方程为：(65－x－45)(30+5x)=800
解得：x=4或x=10
∵要尽快较少库存，∴x=4舍去
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程利润问题的应用，需要注意最后有2个解，需要按照题干要求舍去其中一个解．
7、B
【解析】根据左视图的定义“在侧面内，从左往右观察物体得到的视图”判断即可.
【详解】根据左视图的定义，从左往右观察，两个正方体得到的视图是一个正方形，圆锥得到的视图是一个三角形，由此只有B符合
故选：B.
【点睛】
本题考查了三视图中的左视图的定义，熟记定义是解题关键.另外，主视图和俯视图的定义也是常考点.
8、D
【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式中可求k的值．
【详解】∵反比例函数的图象经过点(﹣5，3)，
∴k+1=﹣5×3=﹣15，
∴k=﹣16
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上的点的坐标满足解析式是本题的关键．
9、B
【分析】根据题意得根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】∵，，，
由题意可知：
，
∴a＞2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程（a≠0）的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
10、B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，先算出，可得，根据DE的长即可求得BC的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，由题意求得是解题的关键．
11、B
【分析】连接OE，设正方形的边长为a．根据等腰直角三角形的性质，得OC=CF=a，在直角三角形OFC中，根据勾股定理列方程，用a表示出r的值，再根据扇形及正方形的面积公式求解．
【详解】解：连接OE，设正方形的边长为a，则正方形CDEF的面积是a2，
在Rt△OCF中，a2+（2a）2=r2，即r=a，
扇形与正方形的面积比=：a2=：a2=5π：1．
故选B．
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
12、B
【分析】由题意可得△ODE为等腰直角三角形，可得出扇形圆心角为45°，再根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵DE⊥OB，OE=DE=2,
∴△ODE为等腰直角三角形，
∴∠O=45°，OD=OE=2.
∴S阴影部分=S扇形BOD-S△OED=
故答案为：B．
【点睛】
本题考查的是扇形面积计算、等腰直角三角形的性质，利用转化法求阴影部分的面积是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在一次函数y=x-2图象上的点个数，即可求出所求的概率．
【详解】列表得：
-1
1
2
-1
---
（1，-1）
（2，-1）
1
（-1，1）
---
（2，1）
2
（-1，2）
（1，2）
---
所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在一次函数y=x-2图象上的情况有：（1，-1）共1种，则
故答案为：
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法，以及一次函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14、±1
【解析】方程利用平方根定义开方求出解即可.
【详解】∵x2＝1
∴x＝±1．
【点睛】
本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解法.
15、1人
【分析】根据频率分布直方图，求出在该次数学考试中成绩小于60分的频率，再求成绩小于60分的学生数．
【详解】根据频率分布直方图，得
在该次数学考试中成绩小于60分的频率是
（0.002+0.006+0.012）×10=0.20
∴在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是
3000×0.20=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图提供的数据，求出频率，再求出学生数，是基础题．
16、180°
【分析】根据旋转的性质可直接判定∠BAB1等于旋转角，由于点B、A、B1在同一条直线上，可知旋转角为180°．
【详解】解：由旋转的性质定义知，∠BAB1等于旋转角，
∵点B、A、B1在同一条直线上，
∴∠BAB1为平角，
∴∠BAB1＝180°，
故答案为：180°．
【点睛】
此题考查是旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
17、
【分析】将x=2代入方程，列出含字母a的方程，求a值即可.
【详解】解：∵x=2是方程的一个根，
∴，
解得，a=.
故答案为：.
【点睛】
本题考查方程解的定义，理解定义，方程的解是使等式成立的未知数的值是解答此题的关键.
18、1
【解析】根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，再解直角三角形求出即可．
【详解】如图：长方形AEFM，连接AC，
∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5
∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，
即∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°
∴tan∠ABC=1
【点睛】
本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出∠ACB＝90°是解此题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）m≥；（2）m＝3
【分析】（1）根据判别式即可求出答案；
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：（1）当m﹣2≠0时，△＝1+8（m﹣2）≥0，
∴m≥且m≠2，
当m﹣2＝0时，x﹣2＝0，符合题意，
综上所述，m≥
（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝，x1x2＝，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴+ ＝5，
∴＝1或＝﹣5，
∴m＝3或m＝（舍去）．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
20、（1）35；（2）190；（3）所有可能的情况见解析，．
【分析】（1）考查了扇形图的性质，根据所有小扇形的百分数和为即可得；
（2）根据扇形图求出最喜欢球运动的学生人数对应的百分比，从而即可得；
（3）先列出所有可能的结果，再找出2人均为最喜欢篮球运动的学生的结果，最后利用概率公式求解即可．
【详解】（1）由题得：
解得：
故答案为：35；
（2）最喜欢球运动的学生人数为（人）
故答案为：190；
（3）用表示3名最喜欢篮球运动的学生，B表示1名最喜欢乒乓球运动的学生，C表示1名喜欢足球运动的学生，则从5人中选出2人的所有可能的情况10种，即有，它们每一种出现的可能性相等
选出的2人均是最喜欢篮球运动的学生的情况有3种，即
则选出2人均是最喜欢篮球运动的学生的概率为．
【点睛】
本题考查了扇形统计图的概念及性质、利用列举法求概率，较难的是（3），依据题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键．
21、（1）平峰时A路段的通行时间是小时，平峰时B路段的通行时间是小时；（2）的值是1．
【分析】（1）根据题意，设平峰时B路段通行时间为小时，则平峰时A路段通行时间是，列出方程，解方程即可得到答案；
（2）根据题意，先求出整治前A、B路段的时间总和，然后利用含a的代数式求出整治后A、B路段的时间总和，再列出方程，求出a的值．
【详解】解：（1）设平峰时B路段通行时间为小时，则平峰时A路段通行时间是，则
，
解得：，
∴（小时）；
∴平峰时A路段的通行时间是小时，平峰时B路段的通行时间是小时；
（2）根据题意，整治前有：
高峰时，通过A路段的总时间为：（分钟），
高峰时，通过B路段的总时间为：（分钟）；
整治前的时间总和为：（分钟）；
整治后有：通过A路段的总时间为：
；
通过B路段的总时间为：；
∴整治后的时间总和为：
；
∴，
整理得：，
解得：或（舍去）；
∴的值是1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确列出方程进行解题．注意寻找题目的等量关系进行列方程．
22、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）QO＝．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P＝∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP．
（2）根据相似三角形的性质得到AO2＝OD•OP
（3根据相似三角形的性质得到BE＝，求得QE＝，由△QOE∽△PAD，可得，解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ，
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP；
（2）证明：∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2＝OD•OP．
（3）解：∵BP＝1，AB＝3，
∴AP＝4，
∵△PBE∽△PAD，
∴，
∴BE＝，∴QE＝，
∵△QOE∽△PAD，
∴=
∴QO＝．
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形或相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23、（1）顶点坐标为（3，9），OA=6；（2）m=2
【解析】（1）把m代入抛物线，根据二次函数的图像与性质即可求出顶点，与x轴的交点，即可求解；
（2）先用含m的式子表示A点坐标，再根据对称性得到A’的坐标，再代入抛物线即可求出m的值．
【详解】解：（1）当y=0时，
，
即O（0，0），A（6，0）
∴OA=6
把x=3代入 y=-32+69
∴顶点坐标为（3，9）
（2）当y=0时，
，
即A（m，0）
∵点A关于点B的对称点A′
∴A′(-m，-8)
把A′(-m，-8)代入得m1=2,m2=-2（舍去）
∴m=2.
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知坐标的对称性.
24、（1）见解析；（2），
【分析】（1）将方程转化为一般式，然后得出根的判别式，得出判别式为非负数得出答案；
（2）将代入方程求出的值，然后根据解方程的方法得出另一个根.
【详解】解：（1）
∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当时，
，
∴
【点睛】
本题考查了解一元二次的方程以及判别式.
25、 (1) ，；(1)P(0，5)或(0，1) ．
【分析】（1）根据“点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，△AOB的面积为1”即可求得k的值，从而得到反比例函数的解析式，分别将点A和点D的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得点A和点D的坐标，用待定系数法求出a和b的值，即能求得一次函数的解析式，
（1）△PAC可以分成△PAD和△PCD，分别求出点A和点C到y轴的距离，根据“△PAC的面积为5”，求出PD的长度，结合点D的坐标，求出点P的坐标即可．
【详解】解：（1）根据题意得：
k=-1×1=-4，
即反比例函数的解析式为，解得：
m=4，n=-1，
即点A（-1，4），点C（4，-1），
把点A（-1，4），C（4，-1）代入y=ax+b得：，
解得：，
即一次函数的解析式为：y=-x+3，
（1）把x=0代入y=-x+3得：y=3，
即点D（0，3），
点A到y轴的距离为1，点C到y轴的距离为4，
S△PAD=×PD×1=PD，
S△PCD=×PD×4=1PD，
S△PAC=S△PAD+S△PCD=PD=5，
PD=1，
∵点D（0，3），
∴点P的坐标为（0，1）或（0，5）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意和图示找出正确的等量关系式解决本题的关键．
26、（1）二次函数解析式为y=（x﹣2）2﹣1；一次函数解析式为y=x﹣1．（2）1≤x≤2．
【分析】（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式．
（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．
【详解】解：（1）将点A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m得，（1﹣2）2+m=0，解得m=﹣1．
∴二次函数解析式为y=（x﹣2）2﹣1．
当x=0时，y=2﹣1=3，∴C点坐标为（0，3）．
∵二次函数y=（x﹣2）2﹣1的对称轴为x=2， C和B关于对称轴对称，
∴B点坐标为（2，3）．
将A（1，0）、B（2，3）代入y=kx+b得，
，解得．
∴一次函数解析式为y=x﹣1．
（2）∵A、B坐标为（1，0），（2，3），
∴当kx+b≥（x﹣2）2+m时，直线y=x﹣1的图象在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上方或相交，此时1≤x≤2．
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