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基于超椭圆方程中的压力容器封头的形状优化
周一鸣，王博，程耿东
国家工业装备结构分析重点实验室，大连技术大学，大连116023，中国
摘要：本文研究了压力容器封头受内均匀压力形状优化设计。该优化的目标是最大限度地减少其最大应力，而容器封头的体积保持不小于标准椭圆形封头。超椭圆曲线选择来描述容器封头的中间表面形状是因为它代表着一个庞大的家庭的曲线只有两个或三个参数，使得设计和制造容易。在计算成本的角度和米塞斯应力的精度和噪声下，对有限元建模的不同元素和单元尺寸进行了详细的研究。最大应力对响应面。基于参数优化的优化算法进行搜索，外形设计参数是近似由克里格代理模型和取样加入EI准则。 最后，通过数值比较，证明超椭圆封头比标准椭球封头和其他封头在文献中都有较好的表现。
关键词：形状优化；超椭圆函数；克里格；压力容器封头；抽样准则
中图分类号：0342 文档代码：A 论文标识：1005-9113（2013）04-0052-11
1 简介
压力容器封头的设计长时间是非常重要的研究课题。在压力容器封头的形状
方面，研究人员主要集中在调整容器封头的形状和厚度，最大限度地减小最大应力。学者等人在膜理论框架中和给出的几种可能的最佳结构设计问题中发现了弹性轴对称壳的形状和厚度分布。学者等人衍生的天然结构形状为轴对称加载旋转壳内的膜理论。精确和数值的结果，得到了两个的情况下，均匀的压力和零表面载荷的环载荷。作者比较一些不同类型的容器封头发现球形压力容器是最小厚度，最小重量和覆盖量上相当大的价值的领导者。但来制造它是非常艰难和昂贵。所以，一般气缸优先考虑。如果钢瓶，作者头相对较小的厚度，相对较小的重量和最高的覆盖量因此它对压力容器最好的封头。学者等人计算压力容器壳体厚度的要求，达到了设计的目的。采用ASME规范进行压力容器的分析。研究者还注意研究压力容器的材料。学者等人提出了一种用于缠绕铰接式压力容器的半电池穹顶结构的优化设计问题，并提出了一种优化设计的方法，使压力容器的结构性能最大化。学者等人表明非测地线拱顶设计基于收益比一个依靠测地线缠绕性能更好，和纤维缠绕结构的结构效率还可以提高。
压力容器封头一般凸的形状是椭圆形的，半球形和飞头，其中半球形封头具有均匀的曲率半径、应力分布均匀（最大应力水平下的内部压力最小）。然而，当容器的长度已知时，半球形容器头有一个小体积。因此，在工程领域中考虑设计准则，椭球形和飞头容器形封头可以普遍看到。其中，椭球体具有连续、光滑的曲率半径以及几乎均匀的应力分布，特别是当模块（长轴与短轴的比值）等于2时，从力学性能上看，椭球形封头仅低于球面，但优于飞顶。同时，同时，椭球面也有如飞顶相同的浅层深度。因此，它被广泛地应用在低压容器中。然而，由于椭圆封头的结构特点，直筒的过渡区内的压力下附近有高应力区。对于薄壁容器封头，高应力区可以无限接近极限应力，此时可能会有倾斜危险。形状优化可以通过调整结构的内、外边界形状改善结构性能。所有的结构性能，在高应力或应力集中考察，常引起严重的结构损坏。结构优化是针对尽量减少结构的最大应力在压力容器封头领域具有普遍意义。由于应力分布和最大应力取决于壳中表面曲率变化的强烈，壳中表面形状的优化是减轻容器封头应力严重集中的有力工具。
对于大多数的实际形状优化问题，工程师经常使用一系列多参数的适当的基函数来描述结构的边界形状。然后，参数可以被选择作为设计变量的形状优化。适当的基函数可以描述丰富的曲线（或表面）的变化，只有几个参数，和曲线（或表面）所描述的应具有良好的形状保真度，从而获得的结果可以很容易地设计和制造。本文采用超椭圆函数作为压力容器封头形状优化的基函数，并将其最大应力最小化，最大限度的减少了压力容器封头的体积。超椭圆曲线在直角坐标系中描述如下：

其中分别指大于0的实数，和分别指超椭圆曲线的原点平移坐标系。
椭圆、圆、矩形、菱形、星形线，抛物线和其他一些可在直角坐标系下曲线，可通过改变超椭圆曲线（1）上值a，b和n来获得。因此，利用超椭圆曲线比较有效的代表封闭曲线（或部分封闭曲线）这一类型。此外，形状优化结果使制造和控制容易，因为超椭圆函数没有许多形状控制参数。
在超椭圆函数的早期研究主要集中应用分析解决问题。学者等人通过研究各种超椭圆曲线，提出了一系列新的容器形状.通过对比研究目前方船曲线和相似的超椭圆曲线，指出了后者的优越性和可行性。近年来，基于超椭圆曲线应力优化设计备受关注。作者曾研究超椭圆曲线，所获得的基准形状是完全指定的，以方便替代分析程序与不同的形状进行比较。一种最优的T形角形超椭圆曲线被提出，通过重新设计的标准刀具尖端，作者实现了牙齿的功能部分保持不变，而根的形状发生了变化，减少了应力的结果。该工具的尖端形状由不同的参数描述，使用的超椭圆的中心形状。在同一年，学者通过使用参数化的几何模型获得最佳的孔形状的最小应力集中在两维有限板。通过对超椭圆曲线的两个族的边界形状的描述，证明了超椭圆曲线的实现可以带来相当大的改善。
在本文中，作者构建了参照ASME压力容器规范寻找压力容器封头的形状优化内部压力下的例子。
2 问题描述与形状优化
2.1 问题描述
图1显示了一段旋转对称压力容器示意图。实线和虚线分别代表超椭圆封头和普通半球形头。为简单起见，水平X轴穿过超椭圆和直筒之间的接口;Y轴是容器封头对称旋转轴，O是半球形封头的中心。假设船头部模块m=a／b，则式（1）可简化为公式（2），其中只包含了两个自由的形状参数m和n：m是容器封头的凸性程度（小m是更凸的容器封头）；而n负责对封头径向曲率的变化（接近n等于1，不太明显的径向曲率变化）。

相比之下，容器的高度和直径是固定的分别为H和2a，和半球形封头体积（m = 1，n = 1，记为V）作为标准和相对体积的函数被定义为f（m，n）= V／V.值得注意的是，封头体积V得到公式为：

所以在图1中阴影部分△体积可以表示为这代表着球形封头新设计的体积增量。

图1 压力容器示意图

压力容器的质量通常用性能系数表示（极限压力乘以体积除以重量）。当容器的高度是固定的，优化问题可以被描述为寻找适当的形状参数，最大限度地增加容器的体积，而不增加最大应力，或最大限度地减少容器的最大应力，而不减少体积，在工业生产应用中，这两者的方法可以根据不同的实际需求而选定。本文着重于后者，因为在工程背景下最大应力相对于改变容器封头的形状是更灵敏。
总之，优化模型可以描述如下：

当最大指最大米塞斯应力，这是由内部代码或其他计算软件，如、等计算出。
2.2 有限元建模研究
要计算压力容器内的应力分布，有限元法将被采用。有一个合适的有限元建模，在一个测试实例容器中对所用的元件类型和尺寸进行了仔细的研究，从而产生准确的最大应力与合理的计算成本。例子中的封头是铝合金，具有以下参数：材料的比重为2700KG／m3；泊松比为0.3；杨氏模量为69 GPa：直筒2a= 2000mm直径；容器高度H = a= 1000mm；壁厚等于10mm；和内部压力为1.25 MPa。
2.2.1 单元类型比较
为了证实固体和轴对称壳模型的不同，在ANSYS 中对固体45和壳208进行分析。表1是对应的有限元模型进行比较，并画出了应力等值线图2。

表1 当m=2.00.n=1.00时不同单元体的比较

图2 当m=2.00,n=1.00时内压作用下不同模型封头的应力分布
在表1中，轴对称壳模型具有10mm的单元尺寸，这是基于第2.2.2研究选择的。固体模型的元素尺寸为2.5mm，这是同一台计算机上能做的最好的网格（电脑用的是戴尔的PowerEdge T610，其中有英特尔的十二核心处理器，2.93 GHz的CPU运行速度和32 G内存），他们的自由度为m=2.00,n= 1.00是指3360和986238，而单一分析的时间成本分别为0.1分钟和120分钟。虽然实体模型中的最大应力比壳模型中的大，从图3可以看出两模型最大应力位置都发生在头和直筒之间的过渡区的内表面。另外，还发现当m和n的变化时两模型的最大米塞斯应力的变化趋势几乎是相同。由于应力分析在优化过程中被称为多次，轴对称壳模型将被选择为本研究。

图3 四种特殊表面的无量纲等效应力
2.2.2 单元尺寸比较
比较不同单元尺寸的影响，分别研究了全局元件的边缘长度为0.05mm，1mm，10mm和50mm四种有限元模型。
在图3中，以中面和内，外表面的ANSYS代码呈现一个比较无量纲等效应力。水平轴的原点以这样一种方式定义：圆柱壳的部分是在垂直轴的左半部分，而封头部分是右半部分。在图3（a）的有限元建模指出我们的期望（元件的边缘长度等于0.05mm，和自由度的数量是6702）：等效应力有很多噪音（波动）在封头部分的范围。随着该元件的边缘长度的增加，该噪声（波动）相当于应力的在图3（b）（元件边长等于1mm，自由度的数量为3360），图3（c）（元件边的长度等于10mm，和自由度数为348），和图3（d）（元件边的长度等于50mm，的自由度的数目为36）的序列被还原。图3（d）的噪音小，但最大和最小的值参考图3（a），3(b)和3(c)是不准确的。因此，元件长度为50 mm的用于本实例过大。尽管如此，最大应力始终位于超椭圆和直筒之间的四种不同长度的直线段.换句话说，数值噪声不影响最大应力的位置和大小。可以看出，图3（c）很少得到噪声的影响，并且最大米塞斯应力一直稳定的，所以本文元件端的长度被固定至10mm。图2（b）显示出无量纲等效应力的最终结果。它具有相同的元件边缘的长度，如图3（c），所述噪声数据被过滤掉。
3 基于克里格模型优化
由于最大应力和变量M之间的关系的显式表达，n是不可用时，最佳设计问题（3）必须以数字和迭代求解。然而，如果优化算法从原始有限元模型使用最大应力的信息的每个时间和压力容器封头的改变使计算成本将非常高。因此，该代理模型技术在本文中使用的，原因有两个，其中第一个是获得具有复杂的局部噪声的原有功能全局行为;第二个原因是因为通过使用代理模型，我们可以迅速返回近似缩短优化计算时间价值观和优化的结果。在本文中，克里格代理模型被采用。
克里格模型可以写为：

当是具有m变量的采样点；是一个近似函数装配到n个采样点；是关于线性或非线性函数；是要估计的回归系数;是均值为0，方差为的随机函数。误差之间的空间相关函数由下式给出

在这个模型中，参数，，是未知的。给定样本的响应值，这些参数将被估计为最大限度地提高样品的可能性。

当。函数值在新的点可被视为线性组合的响应值Y

平均平方误差（MSE）这个指标是无偏估计的最小化，这给出

此时

从而，函数值在每一个新点可以通过使用公式（4）来预测。
3.1 优化程序的实现
基于克里格模型的优化算法如图4所示，及其计算机程序包括以下步骤。

图4 自适应优化方法的步骤

步骤1 使用选择的DOE方法产生的样本点（拉丁超立方体设计），并运行仿真程序（ANSYS）来获得相应的输出值。采样点的输出是最大应力值。
步骤2 根据在采样点的输出构造最大应力使克里格代理模型作为形状的设计参数的函数。
步骤3 利用克立格代理模型和优化算法得到改进设计。
步骤4 检验收敛性：如果新的设计满足收敛准则，则停止；否则添加基于取样标准修改后的设计（如新的取样点）到组样品，然后转到步骤2。
3.2 取样标准
已经有很多文章讨论了文献中的抽样标准，预期改进（以下简称为EI）标准是最流行的准则之一。这个标准既考虑预测值和方差，并首先由学者等人提出，描述得很详细，并称之为“有效的全球优化设计”。二维EI标准可作如下说明。
假定是基于当前样本收集最优目标函数值。其平均值及其变化可以通过克里格模型得到的。如果获得的最佳设计是，是由高精密结构分析的客观值。然后该值用在提高（用于最小化问题）。根据正态分布，其概率密度函数是

其中，r是相关系数，客观值的改善期望是

3.3 收敛准则
EI准则的目的是搜索的预测值比电流响应值或其较大方差更好的点。根据这一优化抽样准则，可以将其作为收敛准则

其中r是收敛的给定精度。
收敛标准还同时考虑优化和克里格近似值的精度，即：

其中，指的是迭代;指克里格模型的最优分析值;指从当前的最优设计的原始有限元模型的最大米塞斯应力，在本文章中被固定为。
4 范例
4.1 优化模型
图5显示了基于超椭圆函数的参数模型，这些参数在2.2节压力容器封头中已经给出。

图5 模型简化的例子

4.2 变量和约束体积的边界
为了简化解决方案中的优化问题，m，n的数值范围为本文中所论述。让我们首先考虑的椭圆容器封头最优化，对此其中n=1。图6给出了当n =1时容器封头的最大米塞斯应力关于m曲线。从图6中，我们可以看到，最大米塞斯曲线先下降再上升，并得到m=1.41和n =1.00的优化设计。这种优化设计的最大米塞斯应力为115.76MPa和。

图6 当n=1时m与最大米塞斯应力的关系图
图7展示了容器封头和n的最大米塞斯应力曲线。如图所示，m的减少导致最大应力的整体下降趋势。此外，所有的优化设计（最大应力的最小化）时发生的参数n的值在1的附近。因此，考虑到制造给出形状和其他因素等，这种控制参数m和n的范围：1.00≤m≤2.00.0.80≤n≤1.20。

图7 当m固定时最大米塞斯应力与n的关系图

封头的约束的体积在优化过程中特别考虑。图8表明当容器的高度是固定的时f（m，n）拟合曲面内的参数范围1≤m≤2.00.0.80≤n≤1.20。根据标记在图中中心复合设计方法的基础上的9样本点，响应表面的表达式可以如下，

图8 容器封头体积和m，n的配合面

从图5，椭圆形封头为标准椭球封头之一（m = 2，n = 1），它的体积的函数可以表示为：f（m，n）= f（2.00,1.00）= 1.27，这意味着是的1.27倍。根据图5，减少m，n均导致容器封头的体积减小。显然，最优化问题是最小化容器的最大应力而不是降低体积。因此，我们考虑到的设计中应具备的体积比标准椭圆形大，比方说。这种约束可以由体积函数f(m,n)表示，因此，本文的设计领域中我们感兴趣的是由图7中的粗线标示。
值得一提的是，该压力容器的高度H等于为a我们关心的是在1≤m≤2范围内的设计，这意味着所有的封头的高度不大于a。因此，优化结果具有普遍的适用性。在结论中，优化模型公式（3）可以转化为：

4.3 优化与结果
两组不同的样本集合是由拉丁超立方设计随机比较优化结果。图9给出了迭代历史基于样本收集1的响应表面的一部分。最初的样品采集包含10个克里格建模建设的采样点。根据“EI准则”渐渐的增加采样点，当29个采样点是完全使用创建的响应面通过替代模型接近真实的响应面。表2给出了优化结果的比较。收敛标准同时考虑了优化和克里格近似法的精度。有必要指出，所有的迭代开始从不同的样本收集收敛到m =1.945，n=1.030附近。由于精确度，最佳设计记录为m =1.94，n =1.03。

图9 根据样品采集1响应面的迭代历史记录

为了与标准椭圆封头相比，在优化过程中设计域示意图11所示，其中A（m
= 2，n = 1）是指标准椭圆封头；曲线的上部区域是指设计域的体积不小于；曲线由固定m的优化设计组成；；和的交叉点B（实际上m=1.945，n =1.025，但由于精度，它被记录为m =1.95，n=1.03）是具有最低的最大应力的最佳设计，同时在容器封头的体积记为A; C（m=2.00，n=1.03）是指具有相同的模块为A（m = 2）的最优设计;D（m=1.91，n=1.08）是指具有最大的体积，而容器头部的最大应力等于A。有必要指出，位于图11阴影区域内的所有设计的最大应力已被减小到一定程度，而其体积不少于A 。图12是优化设计的形状。 图13显示了椭圆封头和优化设计的压力轮廓。

表2 各种设计的例子的比较

图10 最大的真实响应面。m，n基于克里格模型
与标准椭圆封头设计A相比，优化设计B的最大应力已经下减少了10.62％，容积不变的条件，设计B的质量已提高了1.23％。值得一提的是，最大应力发生位置都发生头和直筒之间的过渡区域的内表面上。从设计A和B之间的应力轮廓的比较中，明显的是，优化设计的应力分布较为均匀。与此相反，标准椭球形容器中的应力集中度较高。

图12 优化设计的形状（m=1.94 ， n=1.03）

图11 原理图设计领域

图13 在外部，中间和内表面量纲等效应力

另外两个设计我们也有兴趣，如图14所示。如图所示，与标准椭圆头相比，设计C的最大应力已减少了5.65％，体积增加0.71％，质量增加0.75％；设计D在最大应力不变的条件下体积已经增加了0.91％和质量已增加了2.43％。此外设计C的最大应力发生位置在头和直筒之间的过渡区域的内表面，设计D的最大应力发生在容器头部区段的外表面。

图14 在外部，中间和内表面量纲等效应力

为了结果进行比较的目的，表3给出了四种设计的最大应力值，体积和质量。在表3根据四种设计的结果，与体积和质量相比，最大的米塞斯已经改变了许多。因此，可以认为，基于超椭圆形状优化适合于改善结构的应力分布。
表3 四种设计的比较

4.4 与已有文献的比较
比较优化设计与参考设计。有相同的直筒直径、壁厚、高度、材料和工作条件，表4给出了六种不同的设计的最大米塞斯应力，体积和质量的结果。即椭圆形，Babichuk，Klopper，Korbbogen，ASME容器封头和当前的优化设计。根据研究结果，与最大米塞斯应力相比，它们的体积和质量差异较小。所以最大米塞斯应力被认为是来评价其设计更好的标准。显然，目前的优化设计具有最低的最大的米塞斯压力是174.28MPa。图15显示了文献中容器封头的应力轮廓。很显然，最大应力的发生位置都发生头和直筒之间的过渡区域附近，因为曲率不小。然而，优化设计在过渡区内具有连续的曲率和光滑的连接，从而最大米塞斯应力减小。这也是值得一提的是比较设计相当，只有在本文中考虑了容器封头形状的变化，但现有文献中的一些设计优化了厚度。

表4 与其他容器封头的优化设计的比较

图15 文献中容器封头的外、中、内表面的无量纲等效应力

5 结论
本文采用超椭圆方程作为形状优化的基础函数，最大限度地减少了当容器封头体积保持不小于标准椭球形封头时的最大应力。应用克里格代理模型构建了最大应力和形状参数的响应面，并进行了优化设计。不同形状的控制参数对最大应力的影响，体积和重量进行了讨论。在功能和安全性的文献中，对压力容器封头的形状进行了优化设计。
本文论证了克里格代理模型的有效性与EI采样加用ANSYS有限元分析软件进行昂贵的应力分析与优化比较标准。该方法不仅有助于降低计算成本，而且还可以分析参数选择对最大应力的影响，特别是反映其非线性关系。

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