4章指数函数和对数函数.doc

【课题】4.1指数与指数运算
【教学目标】
知识目标：
⑴ 复习整数指数幂的知识；
⑵ 了解n次根式的概念；
⑶ 理解分数指数幂的定义.
能力目标：
⑴ 掌握根式与分数指数幂之间的转化；
⑵ 会利用计算器求根式和分数指数幂的值；
⑶ 培养计算工具使用技能.
【教学重点】
分数指数幂的定义．
【教学难点】
根式和分数指数幂的互化．
【教学设计】
⑴ 通过复习二次根式而拓展到n次根式，为分数指数幂的介绍做好知识铺垫；
⑵ 复习整数指数幂知识以做好衔接；
（3）加大学生动手计算的练习，巩固知识；
（4）小组讨论、学习计算器的使用，培养计算工具使用技能．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
揭示课题
4.1.1根式
创设情景 兴趣导入
问题
如果，则x= ± 3 ；x叫做9的 平方根 ；
如果，则x= ；x叫做3的 平方根 ；
如果，则x= 2 ；x叫做8的 立方根 ；
如果，则x= -2 ；x叫做-8的 立方根 ．
解决
如果，那么叫做的平方根（二次方根），其中叫做的算术平方根；
如果，那么叫做的立方根（三次方根）．
动脑思考 探索新知
概念
　　一般地，如果＞，那么叫做的次方根．
说明
（1）当n为偶数时，正数的n次方根有两个，分别表示为和,其中叫做的n次算数根；零的n次方根是零；负数的n偶次方根没有意义．
例如，81的4次方根有两个,它们分别是3和−3,其中3叫做81的4次算术根，即．
（2）当n为奇数时，实数的n次方根只有一个，记作．
例如，的5次方根仅有一个是−2 ， 即．
概念
形如()的式子叫做的次根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
运用知识 强化练习
1． 读出下列各根式，并计算出结果：
（1）； （2）； （3） ； （4）．
2． 填空：
（1）25的3次方根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ；
（2）12的4次算术根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ；
（3）-7的5次方根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ；
（4）8的平方根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ．
3.课堂练习：P60学中做1及P61学中做2.
自我探索 使用工具
准备计算器．
观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书，小组完成计算器计算根式的方法．
计算下列各题（精确到0.0001）：
（1）； （2）； （3）； （4）．

4.1.2分数指数幂
知识回顾 复习导入
问题
计算：
= ；= ；= ；= ；= ．
解决
整数指数幂，当时，= ；
并且规定当时，= ； = ．
探究
将整数指数幂的概念进行推广：= ．
动脑思考 探索新知
看下面的例子：

这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数
幂的形式．
为了把整数指数幂的概念推广到分数指数幂，进而从有理指数幂推广到无理指数幂，我们规定（这里略去了其合理性的说明）：
，其中＞1．
,其中＞1．
不难想到，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
这样就将整数指数幂推广到有理数指数幂．
巩固知识 典型例题
例1 将下列各分数指数幂写成根式的形式：
（1）； （2）； （3）．
分析 要把握好形式互化过程中字母的位置对应关系，按照规定，先正确找出公式中的m与n，再进行形式的转化．
解 （1），，故；
（2），，故；
（3），，故．
例2 将下列各根式写成分数指数幂的形式：
（1）； （2）； （3）．
分析 要把握好形式互化过程中字母位置的对应关系，按照规定逆向进行形式的转化．
解 （1），，故；
（2），，故；
（3），，故．
说明：将根式写成分数指数幂的形式或将分数指数幂写成根式的形式时，要注意规定中的m、n的对应位置关系，分数指数的分母为根式的根指数，分子为根式中被开方数的指数．
运用知识 强化练习
1．将下列各根式写成分数指数幂的形式：
(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； （6）．

2．将下列各分数指数幂写成根式的形式：
(1)； （2）； (3) ； (4)； (5)； （6）．
自我探索 使用工具
准备计算器，观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书，小组完成利用计算器计算分数指数幂的方法．
1．利用计算器求下列各式的值（精确到0．0001）：
（1）； （2）； （3）．
2．利用计算器求下列各式的值（精确到0．0001）：
(1)； （2）； (3)．
归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节4.1；
(2)课后练习：P62学中做3第1∽2题；
(3)实践调查： 了解计算器的其他计算使用方法．
4.1.3指数运算
回顾
整数指数幂的运算法则为：
(1) = ；
(2) = ；
(3) = ．
其中．
归纳
运算法则同样适用于有理数指数幂的情况．
动脑思考 探索新知
概念
当、为有理数时，有
； ； ．
运算法则成立的条件是，出现的每个有理数指数幂都有意义．
说明
可以证明，当、为实数时，上述指数幂运算法则也成立．
巩固知识 典型例题
例1 计算下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
分析 （1）题中的底为小数，需要首先将其化为分数，有利于运算法则的利用；（2）题中，首先要把根式化成分数指数幂，然后再进行化简与计算．
解 （1） ；
（2）
（3）
=．
说明（3）题中，将9写成，将6写成，使得式子中只出现两种底，方便于化简及运算．这种尽可能将底的化同的做法，体现了数学中非常重要的“化同”思想．
例2、计算下列各式：

解：

例3 化简下列各式：
(1) ； (2) ；
（3）．
分析 化简要依据运算的顺序进行，一般为“先括号内，再括号外；先乘方，再乘除，最后加减”，也可以利用乘法公式．
解 ．
．
．
说明 作为运算的结果，一般不能同时含有根号和分数指数幂．（3）题的结果也可以写成，但是不能写成，本章中一般不要求将结果中的分数指数幂化为根式．
运用知识 强化练习
1．计算下列各式:
(1) ； （2）； （3）．
2．化简下列各式：
（1）（m>0）； (2);
(3) ； (4) ； (5) ．

【课题】4.2幂函数
【教学目标】
知识目标：
通过几个常见的幂函数，了解幂函数的图象特点.
能力目标：
⑴ 能够正确判断出哪些函数是幂函数；
⑵ 培养学生的计算技能；
⑶ 通过对幂函数图形的作图与观察，培养学生的计算工具使用能力与观察能力.
【教学重点】
幂函数的图象特征与简单性质．
【教学难点】
幂函数的图象特征与简单性质．
【教学设计】
通过“描点法”作图认识幂函数的图象，通过利用软件的大量作图，总结图象规律；
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
揭示课题
4.2幂函数
知识回顾 复习导入
问题
观察函数、、，回忆三个函数的图象和相关性质．
探究
由于，，故这三个函数都可以写成（）的形式．
动脑思考 探索新知
概念
一般地，形如 （）的函数叫做幂函数．其中指数为常数，底为自变量．
巩固知识 典型例题
例1 指出幂函数y=x和y=x的定义域，并在同一个坐标系中作出它们的图象．
分析 首先分别确定各函数的定义域，然后再利用“描点法”分别作出它们的图象．
解 函数y =x的定义域为R，函数y=x的定义域为．
分别设值列表如下：
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y=x3
…
−8
−1
0
1
8
…

x
0

1
4
9
…
y=
0

1
2
3
…

以表中的每组的值为坐标，描出相应的点，再用光滑的曲线依次联结这些点，分别得到函数y=x3和函数的图象，如下图所示．

总结：这两个函数的定义域不同,在定义域内它们都是增函数．两个函数的图象都经过坐标原点和点(1,1)．
例2 指出幂函数的定义域，并作出函数图象．
分析 考虑到，因此定义域为，由于，故函数为偶函数．其图象关于y轴对称，可以先作出区间内的图象，然后再利用对称性作出函数在区间内的图象．
x
…

1
2
…
y
…
4
1

…
解 的定义域为．由分析过程知道函数为偶函数．在区间内，设值列表如下：

以表中的每组的值为坐标，描出相应的点，再用光滑的曲线依次联结各点，得到函数在区间内的图象．再作出图象关于y轴对称图形，从而得到函数的图象，如下图所示．

总结：这个函数在内是减函数；函数的图象不经过坐标原点，但是经过点(1,1)．
理论升华 整体建构
一般地，幂函数具有如下特征：
(1) 随着指数取不同值，函数的定义域、单调性和奇偶性会发生变化；
(2) 当时，函数图象经过原点(0,0)与点(1,1)；当时，函数图象不经过原点(0,0)，但经过(1,1)点．
运用知识 强化练习
1．指出函数的定义域，并在同一坐标系中作出他们的图象.
2．在同一坐标系中作出函数的图象,并指出它们都经过哪几个特殊的点？
归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？
重点和难点各是什么？
自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节4.2；
(2)课后作业： 练习册P20练习二《幂函数》；
(3)实践调查： 了解常见幂函数的性质特点．

【课题】4．3指数函数及其性质
【教学目标】
知识目标：
⑴ 理解指数函数的图象及性质；
⑵ 了解指数模型，了解指数函数的应用．
能力目标：
⑴ 会画出指数函数的简图；
⑵ 会判断指数函数的单调性；
⑶ 了解指数函数在生活生产中的部分应用，从而培养学生分析与解决问题能力．
【教学重点】
⑴ 指数函数的概念、图象和性质；
⑵ 指数函数的应用实例．
【教学难点】
指数函数的应用实例．
【教学设计】
⑴ 以实例引入知识，提升学生的求知欲；
⑵ “描点法”作图与软件的应用相结合，有助于观察得到指数函数的性质；
⑶ 知识的巩固与练习，培养学生的思维能力；
⑷ 实际问题的解决，培养学生分析与解决问题的能力；
⑸ 以小组的形式进行讨论、探究、交流，培养团队精神.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
揭示课题
4.3指数函数及其性质
创设情景 兴趣导入
问题
某种物质的细胞分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……，知道分裂的次数,如何求得细胞的个数呢？
解决
设细胞分裂次得到的细胞个数为，则列表如下：
分裂次数x
1
2
3
…
x
…
细胞个数y
2=
4=
8=
…

…

由此得到， ．
归纳
函数中，指数x为自变量，底数2为常数．
动脑思考 明确新知
概念
一般地，形如的函数叫做指数函数，其中底()为常量．指数函数的定义域为，值域为．
例如都是指数函数．
动手探索 感受新知
问题
利用“描点法”作指数函数y=和y=的图象．
解决
设值列表如下：

x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y=
…

1
2
4
8
…
y=
…
8
4
2
1

…

以表中的每一组x, y的值为坐标，描出对应的点（x, y）．分别用光滑的曲线依次联结各点，得到函数y=和y=的图象，如下图所示．

归纳
观察函数图象发现：
1．函数和y=的图象都在x轴的上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴；
2．函数图象都经过（0，1）点；
3．函数y=的图象自左至右呈上升趋势；函数y=的图象自左至右呈下降趋势．
推广
利用软件可以作出a取不同值时的指数函数的图象．
动脑思考 明确新知
一般地，指数函数具有下列性质：
(1) 函数的定义域是．值域为；
(2) 函数图象经过点(0,1)，即当时，函数值；
(3) 当时，函数在内是增函数；当时，函数在内是减函数．
巩固知识 典型例题
例1、

解：
例2、判断下列函数在内的单调性：
(1) ； （2）； （3）．
分析 判定指数函数单调性的关键在于判断底的情况．
解 (1) 因为底，所以函数在内是增函数．
(2) 因为，底，所以函数在内是减函数．
(3) 因为，底所以，函数在内是增函数．
例3、已知指数函数的图象过点，求的值(精确到0.01)．
分析 首先由函数图象过点可以确定底，得到函数的解析式．然后用计算器求出函数值．
解 由于函数图象过点，故,即
．
由于，且，故 ．
因此，函数的解析式为 ．
所以 ．
运用知识 强化练习
1． 判断下列函数在内的单调性：
(1) ； (2) ； (3) ．
2． 已知指数函数满足条件，求f(0.13)的值(精确到0.001)．
3． 求下列函数的定义域：
(1) ； (2) ．
动手探索 运用新知
问题
某市2008年国内生产总值为20亿元,计划在未来10年内,平均每年按8%的增长率增长,分别预测该市2013年与2018年的国内生产总值(精确到0.01亿元)．
分析
国内生产总值每年按8%增长是指后一年的国内生产总值是前一年的（1+8%）倍．
解决
设在2008年后的第年该市国民生产总值为亿元，则
第1年， y=20×1+8%）=20×1.08，
第2年， y=20×1.08×（1+8%）=20×，
第3年 y=20××（1+8%）=20×，
…… ……
由此得到，第x年该市国内生产总值为
且1≤x≤10)．
当时，得到2013年该市国内生产总值为
（亿元）．
当时，得到2018年该市国民生产总值为
y=20×≈43.18（亿元）．
结论
预测该市2013年和2018年的国民生产总值分别为29.39亿元和 43.18亿元．
归纳
函数解析式可以写成的形式，其中为常数，底a>0且a≠1．函数模型叫做指数模型．当a>1时，叫做指数增长模型；当0<a<1时，叫做指数衰减模型．
巩固知识 典型例题
例4 设磷−32经过一天的衰变，其残留量为原来的95．27%．现有10 g磷−32，设每天的衰变速度不变，经过14天衰变还剩下多少克（精确到0.01g)？
分析 残留量为原来的95.27%的意思是，如果原来的磷−32为（g），经过一天的衰变后，残留量为×95.27%（g）．
解 设10g磷−32经过x天衰变，残留量为 y g．依题意可以得到经过x天衰变，残留量函数为 y=10×，
故经过14天衰变，残留量为y=10×≈5.07（g）．
答　经过14天，磷−32还剩下5.07g．
例5 服用某种感冒药，每次服用的药物含量为，随着时间的变化，体内的药物含量为（其中以小时为单位）．问服药4小时后，体内药物的含量为多少？8小时后，体内药物的含量为多少？
分析　该问题为指数衰减模型．分别求与的函数值．
解　因为，利用计算器容易算得
　　　　　 ，
　　　　　　．
答 问服药4小时后，体内药物的含量为0.11a,服药8小时后，体内药物的含量为0.01a．
运用知识 强化练习
1． 某企业原来每月消耗某种试剂1000，现进行技术革新，陆续使用价格较低的另一种材料替代该试剂，使得该试剂的消耗量以平均每月10%的速度减少，试建立试剂消耗量与所经过月份数的函数关系，并求4个月后，该种试剂的约消耗量（精确到0.1)．
2． 某省2008年粮食总产量为150亿kg．现按每年平均增长10．2%的增长速度．求该省10年后的年粮食总产量(精确到0.01亿kg)．
3． 一台价值100万元的新机床．按每年8%的折旧率折旧,问20年后这台机床还值几万元(精确到0.01万元)?
归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节4.3；
(2)课后练习：P71习题4-3；
(3)课后作业：练习册P21练习三《指数函数及其性质》
(4)实践调查： 了解指数模型在生活中的应用．

【课题】4．4对数与对数运算
【教学目标】
知识目标：
⑴ 理解对数的概念，理解常用对数和自然对数的概念；
⑵ 掌握利用计算器求对数值的方法；
⑶ 了解积、商、幂的对数．
能力目标：
⑴ 会进行指数式与对数式之间的互化；
⑵ 会运用函数型计算器计算对数值；
⑶ 培养计算工具的使用技能．
【教学重点】
指数式与对数式的关系．
【教学难点】
对数的概念．
【教学设计】
⑴ 实例引入，引起学生的兴趣；
⑵ 理解定义，研究指数式与对数式的字母对应关系；
⑶ 利用计算器进行对数的计算；
⑷ 利用定义介绍对数的定义，导出积、商、幂的对数；
⑸ 通过思考、讨论、学习与运用知识，培养计算工具的使用技能和计算能力．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
揭示课题
4.4对数与对数运算．
创设情景 兴趣导入
问题
2的多少次幂等于8？
2的多少次幂等于9？
推广
已知底和幂，如何求出指数，如何用底和幂表示出指数的问题．
解决
为了解决这类问题，引进一个新数——对数．
动脑思考 探索新知
概念
如果，那么 b叫做以a为底N的对数，记作 ，其中a叫做对数的底，N叫做真数．
例如，写作，3叫做以2为底8的对数； 写作，叫做以9为底3的对数；写作，−3叫做以10为底0.001的对数．
形如的式子叫做指数式，形如的式子叫做对数式．
当时

对数的性质：
（1）；
（2）；
（3）N >0，即零和负数没有对数．
巩固知识 典型例题
例1 将下列指数式写成对数式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
分析 依照上述公式由左至右对应好各字母的位置关系．
解 （1）； （2） ；
（3）； （4） ．
例2 将下列对数式写成指数式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
分析 依照上述公式，由右至左对应好各字母的位置关系．
解 （1） ； （2）；
（3）； （4）．
例3 求下列对数的值．
(1) ； (2) ．
分析 （1）题可以利用性质（2）；（2）题可以利用性质（1）．
解 （1）由于底与真数相同，由对数的性质（2）知=1．
（2）由于真数为1，由对数的性质（1）知=0．
运用知识 强化练习
1． 将下列各指数式写成对数式：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
2．把下列对数式写成指数式：
(1)； 　 (2) ； 　
(3) ； (4) ．
3．求下列对数的值：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
动脑思考 形成新知
以10为底的对数叫做常用对数，简记为．如记为．
以无理数e （e=2．71828…，在科学研究和工程计算中被经常使用）为底的对数叫做自然对数，简记为．如记为．
自我探索 使用工具
准备计算器，观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书，小组完成利用计算器计算对数的方法．
1、计算下列各式的值（精确到0．0001）：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
2、用计算器计算下列各式的值（精确到0.0001）：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
创设问题 自我探究
问题
等式=、=是否成立？
等式、是否成立？
等式、是否成立？
解决
请利用计算器验证．
结论
=； ； ．
动脑思考 探索新知
概念
对数的运算法则
法则1： （M>0，N>0）；
法则2： （M>0，N>0）；
法则3： = n（n为整数，M>0）．
巩固知识 典型例题
例4 用，，表示下列各式：
（1）； （2）； （3）．
分析 要正确使用对数的运算法则．
解 （1） =++；
（2）==；
（3）=+=2+．
运用知识 强化练习
用，，表示下列各式：
（1）； （2）； （3）．
归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节4.4；
(2)课后练习： 教材P76习题4-4；
(3)课后作业：练习册P22练习四《对数与对数运算》．

【课题】4．5 对数函数及其性质
【教学目标】
知识目标：
⑴ 了解对数函数的图象及性质特征；
⑵ 了解对数函数的实际应用.
能力目标：
⑴ 观察对数函数的图象，总结对数函数的性质，培养观察能力；
⑵ 通过应用实例的介绍，培养学生数学思维能力和分析与解决问题能力.
【教学重点】
对数函数的图象及性质.
【教学难点】
对数函数的应用中实际问题的题意分析．
【教学设计】
⑴ 实例引入知识，提升学生的求知欲；
⑵ “描点法”作图与软件的应用相结合，有助于观察得到指数函数的性质；
⑶ 知识的巩固与练习，培养学生的思维能力；
⑷ 实际问题的解决，培养学生分析与解决问题能力；
⑸ 小组的形式进行讨论、探究、交流，培养团队精神.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
揭示课题
4.5 对数函数及其性质.
创设情景 兴趣导入
问题
某种物质的细胞分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，那么，知道分裂得到的细胞个数如何求得分裂次数呢？
解决
设1个细胞经过y次分裂后得到x个细胞，则x与y的函数关系是，写成对数式为，此时自变量x位于真数位置．
动脑思考 探索新知
概念
一般地，形如的函数叫以为底的对数函数，其中a>0且a≠1．对数函数的定义域为，值域为R．
例如、、都是对数函数．
运用知识 强化练习
利用“描点法”作函数和的图象．
函数的定义域为，取x的一些值,列表如下：
x
…

1
2
4
…

…
-2
-1
0
1
2
…

…
2
1
0
-1
-2
…

以表中x的值与函数对应的值y为坐标，描出点，用光滑曲线依次联结各点，得到函数的图象；以表4-6中x的值与函数对应的值y为坐标，描出点，用光滑曲线依次联结各点，得到函数的图象，如下图所示：

观察函数图象发现：
1．函数和的图象都在x轴的右边；
2．图象都经过点；
3．函数的图象自左至右呈上升趋势；函数的图象自左至右呈下降趋势．
动脑思考 探索新知
一般地，对数函数( a>0且a≠1)具有下列性质：
（1）函数的定义域是，值域为R；
（2）当时，函数值；
（3）当a>1时，函数在内是增函数；当0<a<1时，函数在内是减函数．
运用知识 强化练习
例1 求下列函数的定义域：
（1）； （2）．
分析 要依据“对数的真数大于零”求函数的定义域．
解 （1）由x+4>0得，
所以函数的定义域为；
（2）由得，
所以的定义域为．
运用知识 强化练习
1．选择题:
（1）若函数的图象经过点，则底=( )．
A． 　2 B． 　−2 　
C． 　 D．　
（2） 下列对数函数在区间(0,+)内为减函数的是( )．
A．　 B．
C．　 D．
2．作出下列函数的图象并判断它们在内的单调性．
(1) ； (2) ．
巩固知识 典型例题
碳-14的半衰期为5730年，古董市场有一幅达·芬奇（1452-1519）的绘画，测得其碳-14的含量为原来的94.1％，根据这个信息，请你从时间上判断这幅画是不是赝品.（使用计算器）
解 设这幅画的年龄为，画中原来碳-14含量为，根据题意有 ，
消去a后，两边取常用对数，得
，
解得 ．
因为，这幅画约在达·芬奇54岁时完成，所以从时间上看不是赝品.
运用知识 强化练习
某钢铁公司的年产量为a万吨，计划每年比上一年增产10%，问经过多少年产量翻一番（保留2位有效数字）．
归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节4.5；
(2)课后练习： 教材P79习题4-5及P81《复习参考题四》；
(3)课后作业：练习册P23练习五《对数函数及其性质》及P24∽25《自测题四》.
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