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第五章 相交线与平行线
【知识要点】
1.两直线相交
2.邻补角:有一条公共边,另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
3.对顶角
(1) 定义:有一个公共顶点,且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中,不相邻的两个角叫对顶角) 。
(2) 对顶角的性质:对顶角相等。
4.垂直定义:当两条直线相交所形成的四个角中,有一个角是90°那么这两条线互相垂直。
5.垂线性质:①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;②垂线段最短。
6.平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线,“平行”用符号“∥”表示,如直线a,b是平行线,可记作“a∥b”
7.平行公理及推论
(1)平行公理:过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
(2)推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
注:
(1)平行公理中的“有且只有”包含两层意思:一是存在性;二是唯一性。
(2)平行具有传递性,即如果a∥b,b∥c,则a∥c。
8.两条直线的位置关系:在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行。
9.平行线的性质:
(1)两直线平行,同位角相等(在同一平面内)
(2)两直线平行,内错角相等(在同一平面内)
(3)两直线平行,同旁内角互补(在同一平面内)
10.平行线的判定
(1)同位角相等,两直线平行;(在同一平面内)
(2)内错角相等,两直线平行;(在同一平面内)
(3)同旁内角互补,两直线平行;(在同一平面内)
(4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;
补充:
(5)平行的定义;(在同一平面内)
(6)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行。
11.平移的定义及特征
定义:将一个图形向某个方向平行移动,叫做图形的平移。
特征:①平移前后的两个图形形状、大小完全一样;
②平移前与平移后两个图形的对应点连线平行且相等。
【典型例题】
考点一:对相关概念的理解
对顶角的性质,垂直的定义,垂线的性质,点到直线的距离,垂线性质与平行公理的区别等
例1:判断下列说法的正误。
(1) 对顶角相等;
(2) 相等的角是对顶角;
(3) 邻补角互补;
(4) 互补的角是邻补角;
(5) 同位角相等;
(6) 内错角相等;
(7) 同旁内角互补;
(8) 直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离;
(9) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
(10) 过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
(11) 两直线不相交就平行;
(12) 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
练习:下列说法正确的是( )
A、相等的角是对顶角 B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离
C、两条直线相交,有一对对顶角互补,则两条直线互相垂直。
D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行
考点二:相关推理(识记)
(1)∵a∥c,b∥c(已知) ∴______ ∥______( )
(2)∵∠1=∠2,∠2=∠3(已知) ∴______ =______( )
(3)∵∠1+∠2=180°,∠2=30°(已知) ∴∠1=______( )
(4)∵∠1+∠2=90°,∠2=22°(已知) ∴∠1=______( )
(5)如图(1),∵∠AOC=55°(已知) ∴∠BOD=______( )
(6)如图(1),∵∠AOC=55°(已知) ∴∠BOC=______( )
(7)如图(1),∵∠AOC=∠AOD,∠AOC+∠AOD=180°(已知)
a
b
1
1
2
3
4
a
b
.
.
.
A
C
B
∴∠BOC=______( )
(1) (2) (3) (4)
(8)如图(2),∵a⊥b(已知) ∴∠1=______( )
(9)如图(2),∵∠1=______(已知) ∴a⊥b( )
(10)如图(3),∵点C为线段AB的中点 ∴AC=______( )
(11) 如图(3),∵ AC=BC∴点C为线段AB的中点( )
(12)如图(4),∵a∥b(已知) ∴∠1=∠2( )
(13)如图(4),∵a∥b(已知) ∴∠1=∠3( )
(14)如图(4),∵a∥b(已知) ∴∠1+∠4= ( )
(15)如图(4),∵∠1=∠2(已知) ∴a∥b( )
(16)如图(4),∵∠1=∠3(已知) ∴a∥b( )
(17)如图(4),∵∠1+∠4= (已知) ∴a∥b( )
考点三:对顶角、邻补角的判断、相关计算
例题1:如图5-1,直线AB、CD相交于点O,对顶角有_________对,它们分别是_________,∠AOD的邻补角是_________。
例题2:如图5-2,直线l1,l2和l3相交构成8个角,已知∠1=∠5,那么,∠5是_________的对顶角,与∠5相等的角有∠1、_________,与∠5互补的角有_________。
例题3:如图5-3,直线AB、CD相交于点O,射线OE为∠BOD的平分线,∠BOE=30°,则∠AOE为_________。
图5-1 图5-2 图5-3
考点四:同位角、内错角、同旁内角的识别
例题1:如图2-44,∠1和∠4是AB、 DC 被 BE 所截得的 同位 角,∠3和∠5是 AB 、 BC 被 AC 所截得的 同旁内 角,∠2和∠5是 AB 、
DC 被AC 所截得的 内错 角,AC、BC被AB所截得的同旁内角是 ∠4和∠5 .
例题2:如图2-45,AB、DC被BD所截得的内错角是 ∠1和∠5 ,AB、CD被AC所截是的内错角是 ∠8和∠4 ,AD、BC被BD所截得的内错角是 ∠6和∠2 ,AD、BC被AC所截得的内错角是 ∠7和∠3 。
例题3:如图1-26所示.AE∥BD,∠1=3∠2,∠2=25°,求∠C.
考点五:平行线的判定、性质的综合应用(逻辑推理训练)
例题1:如图9,已知DF∥AC,∠C=∠D,要证∠AMB=∠2,请完善证明过程,并在括号内填上相应依据:
∵DF∥AC(已知),∴∠D=∠1( )
∵∠C=∠D(已知),∴∠1=∠C( )
∴DB∥EC( )
∴∠AMB=∠2( )
A
1
B
C
D
E
F
G
H
例题2:如图,直线AB、CD被直线EF所截,∠AEF+∠CFE=180°,∠1=∠2,则图中的∠H与∠G相等吗?说明你的理由.
考点六:特殊平行线相关结论
例题1:已知,如图:AB//CD,试探究下列各图形中.
A
B
C
D
P
(1)
A
B
C
D
P
(2)
A
B
C
D
P
(3)
A
B
C
P
(4)
考点七:探究、操作题
例题:(2007年·福州中考)(阅读理解题)直线AC∥BD,连结AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连结PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角.(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角.)
(1)当动点P落在第①部分时,求证:∠APB =∠PAC +∠PBD;
(2)当动点P落在第②部分时,∠APB =∠PAC +∠PBD是否成立(直接回答成立或不成立)?
(3)当动点P在第③部分时,全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.
练习:
1.(动手操作实验题)如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图:
(1)将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定;
(2)另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合;
(3)延长DC,∠PCD与∠ACF就是一组对顶角,已知∠1=30°,∠ACF为多少?
考点八:图形的平移(作图、计算平移后面积等)
在下图中画出原图形向右移动6个单位,再向下移动2个单位后得到的图形,并求出该图形的面积。
【配套练习】
1
A
E
D
C
B
F
2
1
1
2
3
1、如图,要把角钢(1)弯成120°的钢架(2),则在角钢(1)上截去的缺口是_60°____度。
第1题 第2题 第3题 第4题
2.(2009年崇左)如图,把矩形沿对折后使两部分重合,若,则=(115° )
3.(2009年新疆)如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,,则的度数等于( 20° )
4. (2009年金华市)如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果∠1=32o,那么∠2的度数是( 58° )
5. (2009年营口市)如图,将直尺与三角尺叠放在一起,在图中标记的所有角中,与∠2互余的角是∠1和∠3 .
1
2
3
4
5
6
第5题 第6题
6.光线a照射到平面镜CD上,然后在平面镜 AB和CD之间来回反射,这时光线的入射角等于反射角,即∠1=∠6,∠5=∠3,∠2=∠4。若已知∠1=55°,∠3=75°,那么∠2等于( 65° )
7.如图是我们生活中经常接触的小刀,刀柄外形是一个直角梯形(下底挖去一小半圆),刀片上、下是平行的,转动刀片时会形成∠1、∠2,求∠1+∠2的度数。
8.把一块直尺与一块三角板如图放置,若∠1=45°,则∠2的度数为( D )
A、115° B、120° C、145° D、135
9、(2011•天水)如图,将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上,如果∠1=40°,则∠2的度数是(D )
A、30° B、45° C、40° D、50°
第8题 第9题 第10题 第11题
10、(2011•泰安)如图,l∥m,等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上,若∠β=20°,则∠α的度数为( A )
A、25° B、30° C、20° D、35°
11、(2011•江汉区)如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=46°,∠CEF=154°,则∠BCE等于( C )
A、23° B、16° C、20° D、26°
12、(2011•恩施州)将一个直角三角板和一把直尺如图放置,如果∠α=43°,则∠β的度数是( B )
A、43° B、47° C、30° D、60° 第12题 第13题
13、如图,已知l1∥l2,MN分别和直线l1、l2交于点A、B,ME分别和直线l1、l2交于点C、D,点P在MN上(P点与A、B、M三点不重合).
(1)如果点P在A、B两点之间运动时,∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系请说明理由;
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时,∠α、∠β、∠γ有何数量关系(只须写出结论).
15、实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.
(1)如图,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行,且∠1=50°,则∠2= °,∠3= °.
(2)在(1)中,若∠1=55°,则∠3= °;若∠1=40°,则∠3= °.
(3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a、b的夹角∠3= °时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行.你能说明理由吗?
16.潜望镜中的两个镜子MN和PQ是互相平行的,如图所示,光线AB经镜面反射后,∠1=∠2,∠3=∠4,试说明,进入的光线AB与射出的光线CD平行吗?为什么?
17.如图(6),DE⊥AB,EF∥AC,∠A=35°,求∠DEF的度数。
【家庭作业】
一、填空题
第2题
第1题
第3题
第4题
1. 如图,直线AB、CD相交于点O,若∠1=28°,则∠2=_______.
2. 已知直线,,,则 度.
3. 如图,已知AB∥CD,EF分别交AB、CD于点E、F,∠1=60°,则∠2=______度.
第6题
4. 如图,直线MA∥NB,∠A=70°,∠B=40°,则∠P=_____.
5. 设、b、c为平面上三条不同直线,
(1) 若,则a与c的位置关系是_________;
(2) 若,则a与c的位置关系是_________;
(3) 若,,则a与c的位置关系是________.
6. 如图,填空:
⑴∵ (已知)∴ ( )
⑵∵(已知)∴ ( )
⑶∵(已知)∴ ( )
二、解答题
7. 如图,与是邻补角,OD、OE分别是与的平分线,试判断OD与OE的位置关系,并说明理由.
8. 如图,已知直线AB与CD交于点O,OE⊥AB,垂足为O,若∠DOE=3∠COE,求∠BOC的度数.
9. 如图,AB∥DE,试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系.
解:∠B+∠E=∠BCE
过点C作CF∥AB,则____( )
又∵AB∥DE,AB∥CF,
∴____________( )
∴∠E=∠____( )
∴∠B+∠E=∠1+∠2 即∠B+∠E=∠BCE.
10. 如第9题图,当∠B、∠E、∠BCE有什么关系时,有AB∥DE.
11. 如图,AB∥DE,那么∠B、∠BCD、∠D有什么关系?
8
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