人版七年级下数学第五章-相交线与平行线-知识点+考点+典型例题.doc

第五章 相交线与平行线
【知识要点】
1.两直线相交
2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
3.对顶角
（1） 定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。
（2） 对顶角的性质：对顶角相等。
4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。
5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。
6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b是平行线，可记作“a∥b”
7．平行公理及推论
（1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
注：
（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。
（2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c。
8．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。
9．平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）
（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）
（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）
10．平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）
（2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）
（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
补充：
（5）平行的定义；（在同一平面内）
（6）在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行。
11.平移的定义及特征
定义：将一个图形向某个方向平行移动，叫做图形的平移。
特征：①平移前后的两个图形形状、大小完全一样；
②平移前与平移后两个图形的对应点连线平行且相等。
【典型例题】
考点一：对相关概念的理解
对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等
例1：判断下列说法的正误。
（1） 对顶角相等；
（2） 相等的角是对顶角；
（3） 邻补角互补；
（4） 互补的角是邻补角；
（5） 同位角相等；
（6） 内错角相等；
（7） 同旁内角互补；
（8） 直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；
（9） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（10） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（11） 两直线不相交就平行；
（12） 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
练习：下列说法正确的是（ ）
A、相等的角是对顶角 B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离
C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。
D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行
考点二：相关推理（识记）
（1）∵a∥c，b∥c（已知）   ∴______ ∥______（ ）
（2）∵∠1=∠2，∠2=∠3（已知）   ∴______ =______（ ）
（3）∵∠1+∠2=180°，∠2=30°（已知）   ∴∠1=______（ ）
（4）∵∠1+∠2=90°，∠2=22°（已知）   ∴∠1=______（ ）
（5）如图（1），∵∠AOC=55°（已知）   ∴∠BOD=______（ ）
（6）如图（1），∵∠AOC=55°（已知）   ∴∠BOC=______（ ）
（7）如图（1），∵∠AOC=∠AOD，∠AOC+∠AOD=180°（已知）  
a
b
1
1
2
3
4
a
b
.
.
.
A
C
B
∴∠BOC=______（ ）

（1） （2） （3） （4）
（8）如图（2），∵a⊥b（已知）   ∴∠1=______（ ）
（9）如图（2），∵∠1=______（已知）   ∴a⊥b（ ）
（10）如图（3），∵点C为线段AB的中点   ∴AC=______（ ）
(11) 如图（3），∵ AC=BC∴点C为线段AB的中点（ ）
（12）如图（4），∵a∥b（已知）   ∴∠1=∠2（ ）
（13）如图（4），∵a∥b（已知）   ∴∠1=∠3（ ）
（14）如图（4），∵a∥b（已知）   ∴∠1+∠4= （ ）
（15）如图（4），∵∠1=∠2（已知）   ∴a∥b（ ）
（16）如图（4），∵∠1=∠3（已知）   ∴a∥b（ ）
（17）如图（4），∵∠1+∠4= （已知）   ∴a∥b（ ）
考点三：对顶角、邻补角的判断、相关计算
例题1：如图5－1，直线AB、CD相交于点O，对顶角有_________对，它们分别是_________，∠AOD的邻补角是_________。
例题2：如图5－2，直线l1，l2和l3相交构成8个角，已知∠1=∠5，那么，∠5是_________的对顶角，与∠5相等的角有∠1、_________，与∠5互补的角有_________。
例题3：如图5－3，直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOD的平分线，∠BOE=30°，则∠AOE为_________。

图5－1 图5－2 图5－3
考点四：同位角、内错角、同旁内角的识别
例题1：如图2-44，∠1和∠4是AB、 DC 被 BE 所截得的 同位 角，∠3和∠5是 AB 、 BC 被 AC 所截得的 同旁内 角，∠2和∠5是 AB 、
DC 被AC 所截得的 内错 角，AC、BC被AB所截得的同旁内角是 ∠4和∠5 .
例题2：如图2-45，AB、DC被BD所截得的内错角是 ∠1和∠5 ，AB、CD被AC所截是的内错角是 ∠8和∠4 ，AD、BC被BD所截得的内错角是 ∠6和∠2 ，AD、BC被AC所截得的内错角是 ∠7和∠3 。

例题3：如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．

考点五：平行线的判定、性质的综合应用（逻辑推理训练）
例题1：如图9,已知DF∥AC,∠C=∠D,要证∠AMB=∠2,请完善证明过程,并在括号内填上相应依据:
∵DF∥AC(已知),∴∠D=∠1( )
∵∠C=∠D(已知),∴∠1=∠C( )
∴DB∥EC( )
∴∠AMB=∠2( )
A
1
B
C
D
E
F
G
H
例题2：如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠AEF+∠CFE=180°，∠1=∠2，则图中的∠H与∠G相等吗？说明你的理由.

考点六：特殊平行线相关结论
例题1：已知，如图：AB//CD,试探究下列各图形中.
A
B
C
D
P
(1)
A
B
C
D
P
(2)
A
B
C
D
P
(3)
A
B
C

P
(4)

考点七：探究、操作题
例题：（2007年·福州中考）（阅读理解题）直线AC∥BD，连结AB，直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连结PA,PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角．）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB =∠PAC +∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB =∠PAC +∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？
（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

练习：
1.（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：
（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；
（2）另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；
（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？

考点八：图形的平移（作图、计算平移后面积等）
在下图中画出原图形向右移动6个单位，再向下移动2个单位后得到的图形，并求出该图形的面积。

【配套练习】
1
A
E
D
C
B
F

2
1
1
2
3

1、如图，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是_60°____度。

第1题 第2题 第3题 第4题
2．（2009年崇左）如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（115° ）
3．（2009年新疆）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数等于（ 20° ）
4. (2009年金华市)如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32o，那么∠2的度数是（ 58° ）
5. (2009年营口市)如图，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的所有角中，与∠2互余的角是∠1和∠3 ．

1
2
3
4
5
6

第5题 第6题
6．光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜 AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4。若已知∠1=55°，∠3=75°，那么∠2等于（ 65° ）
7.如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，求∠1+∠2的度数。

8.把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（　D　）
A、115° B、120° C、145° D、135
9、（2011•天水）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，如果∠1=40°，则∠2的度数是（D　）
A、30° B、45° C、40° D、50°

第8题 第9题 第10题 第11题
10、（2011•泰安）如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为（　A　）
A、25° B、30° C、20° D、35°
11、（2011•江汉区）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于（　C　）
A、23° B、16° C、20° D、26°
12、（2011•恩施州）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（　B　）
A、43° B、47° C、30° D、60° 第12题 第13题
13、如图，已知l1∥l2，MN分别和直线l1、l2交于点A、B，ME分别和直线l1、l2交于点C、D，点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）．
（1）如果点P在A、B两点之间运动时，∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系请说明理由；
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，∠α、∠β、∠γ有何数量关系（只须写出结论）．

15、实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.
(1)如图,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行,且∠1=50°,则∠2= °，∠3= °.
(2)在(1)中,若∠1=55°,则∠3= °;若∠1=40°,则∠3= °.
(3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a、b的夹角∠3= °时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行.你能说明理由吗?

16.潜望镜中的两个镜子MN和PQ是互相平行的，如图所示，光线AB经镜面反射后，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明，进入的光线AB与射出的光线CD平行吗？为什么？

17.如图（6），DE⊥AB，EF∥AC，∠A=35°，求∠DEF的度数。

【家庭作业】
一、填空题
第2题
第1题
第3题
第4题
1. 如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1=28°,则∠2＝_______．

2. 已知直线，，，则 度．
3. 如图，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，∠1＝60°，则∠2＝______度.
第6题
4. 如图，直线MA∥NB，∠A＝70°，∠B＝40°，则∠P＝＿＿＿＿＿.
5. 设、b、c为平面上三条不同直线，
（1） 若，则a与c的位置关系是_________；
（2） 若，则a与c的位置关系是_________；
（3） 若，，则a与c的位置关系是________．
6. 如图，填空：
⑴∵ （已知）∴ （　　　　　　　　　）
⑵∵（已知）∴ （　　　　　 　）
⑶∵（已知）∴ （　　　　　 　　）
二、解答题
7. 如图，与是邻补角，OD、OE分别是与的平分线，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．

8. 如图，已知直线AB与CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠DOE＝3∠COE，求∠BOC的度数．

9. 如图，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系．

解：∠B＋∠E＝∠BCE
过点C作CF∥AB，则____（ ）
又∵AB∥DE，AB∥CF，
∴____________（ ）
∴∠E＝∠____（　　　　　　　　　　　　　　　）
∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2 即∠B＋∠E＝∠BCE．

10. 如第9题图，当∠B、∠E、∠BCE有什么关系时，有AB∥DE．

11. 如图，AB∥DE，那么∠B、∠BCD、∠D有什么关系？

8