小升初数学专项题鸡兔同笼问题.doc

第九讲 鸡兔同笼问题【基础概念】：鸡兔同笼问题也称置换问题：这类应用题常常把问题中的一个未知数假定为已知的，然后根据题目中的已知条件推算，其结果常与题目对应的已知数不符，再加以适当调整，就可以求出结果。此类应用题也称为假定法或比较法。基本数量关系式：（1）假设全是鸡，兔的只数=（总腿数总头数2）2，鸡的只数=总头数兔的只数；（2）假设全是兔，鸡的只数=（4总头数总腿数）2，兔的只数=总头数鸡的只数。【典型例题1】：鸡兔同关在一只笼里，共48个头，100只脚问：鸡有多少只？兔有多少只？ 【思路分析】：假设全是兔子，那么就有484=192只脚，这就比已知的100只脚多出了192-100=92只脚，因为1只兔比1只鸡多4-2=2只脚，由此即可求得鸡的只数，进而求得兔的只数。解答：假设全是兔子，则鸡就有：（484-100）（4-2）=922=46（只）则兔子有48-46=2（只）答：鸡有46只，兔子有2只 。【小结】：解决这类问题关键是假设之后，多出脚数与对应的鸡的只数的关系。此题也可以这样解答：设兔有x只，那么鸡有（48-x）只，由等量关系：鸡和兔共有100只脚，可得方程：4x+2（48-x）=100，解答即可。【巩固练习】1、张洪正好用20元钱买了2元的邮票和5角的邮票，一共16张，问这两种邮票各有多少张？2、鸡兔同笼，鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有168条，鸡和兔各有多少只？【典型例题2】：鸡兔同笼，鸡比兔多10只，但鸡脚却比兔脚少60只，问鸡兔各多少只？【思路分析】：设兔有x只，则鸡有（10+x）只，根据等量关系：兔的脚数-鸡的脚数60只列方程解答即可。解答：解：设兔有x只，则鸡有（10+x）只，4x-2（10+x）=60 4x-20-2x=60 2x=80 x=4040+10=50（只）答：鸡有50只，兔有40只。 【小结】：解决此类问题关键是找到等量关系：兔的脚数-鸡的脚数=60只，再根据等量关系列方程就可以了。【巩固练习】3、现在有相同只数的鸡、兔同笼，已知兔脚比鸡脚多56只，问鸡、兔各有多少只？4、鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只问：鸡、兔各多少只？【知识梳理】问题类型与解决方法：（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数总头数）（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数；或者是（每只兔脚数总头数-总脚数）（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式（每只鸡脚数总头数-脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数或（每只兔脚数总头数+鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。（每只鸡的脚数总头数+鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数，或（每只兔的脚数总头数-鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。【典例精讲3】典出孙子算经：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”思路分析：假设都是鸡，则脚数为352=70只，比实际少94-70=24只，因为每只鸡比每只兔少4-2=2只脚，所以兔的只数是242=12只，再进而用减法即可求出鸡的只数。解答：假设全是鸡，兔有：（94-352）（4-2）=（94-70）2=242=12（只）；鸡有：35-12=23（只）答：鸡有23只，兔有12只小结：解决这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论。【举一反三】5. 李明小红有1分、5分的硬币共35枚，一共是9角5分，问两种硬币各多少枚？6. 在我区举行的“希望杯”数学竞赛中，供15道题，每做对一道题得8分，不没、做错一道题倒扣4分，玛丽把15道题全做了，共得了72分，她做错了多少道题？【典例精讲4】鸡、兔共30只，鸡脚比兔脚多30只问：鸡、兔各多少只？思路分析：假设30只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚60只，这样鸡脚比兔脚多60只，而实际上只多30只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多60-30=30只，现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6只，而306=5只，因此有兔子5只，鸡30-5=25只解答：兔子：（302-30）（4+2）=306=5（只）鸡：30-5=25（只）答：兔子有5只，鸡有25只 。小结：解决这类问题关键是假设之后，要弄清楚脚的变化情况。【举一反三】7. 鸡、兔共有150只，兔脚的总只数比鸡脚的总只数多60只，鸡、兔各有多少只？8. 汇丰机床产要运一批钢材，用小卡车装载要90辆，用大卡车装载只要72辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装8吨，那么这批钢材有多少吨？答案及解析：1.【解析】假设全是2元的邮票，则一共用216=32元，比实际多用32-20=12元，因为5角=0.5元，一张2元的比一张0.5元的多用2-0.5=1.5元，所以5角的共有：121.5=8张，进而用减法即可求出2元的邮票张数。【答案】5角=0.5元5角的有：（162-20）（2-0.5）=121.5=8（张）2元的有：16-8=8（张）答：2元的有8张，5角的有8张。2. 【解析】根据鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有168条，可知本题的数量关系：鸡的腿数+兔的腿数=168，据此等量关系可列方程解答。【答案】解：设鸡有x只，根据题意得：2x+4x=168 6x=168 x=1686 x=28答：鸡和兔各有28只。3.【解析】可以设鸡兔各有x只，根据兔的只数4-鸡的只数2=56条腿，列出方程就可以解决问题。【答案】：解：设鸡兔各有x只，根据题意可得方程：4x-2x=56 2x=56 x=28答：鸡兔各有28只。 4. 【解析】假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多120-60=60只，现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6只，而606=10，因此有兔子10只，鸡60-10=50只。【答案】：兔子：（602-60）（4+2）=606=10（只）鸡：60-10=50（只）答：兔子有10只，鸡有50只。 5【解析】假设这35枚都是1分的，那么总钱数就应该是35分，比实际95分少了60分，这是因为把其中5分的硬币都当成1分了，一枚5分硬币，少算4分，少算的60分中有几个这样的4分，就有几个5分硬币，从而得出1分硬币的枚数。【答案】：9角5分 =95分，95-351=60（分），5分：60（5-1）=15（枚），1分：35-15=20（枚），答：5分硬币有15枚，1分硬币有20枚6.【解析】：根据“每做对一道得8分，不做错一道题扣4分，”可知：不做与做错一题比做对一题少得8+4=12分；全部做对15道题共得815=120（分）；假设全部做对得分是120分，比72分多得120-72=48（分），那么她做错了：4812=4（道）。 【答案】：假设她全做对了 ，做错：（158-72）（8+4）=4812=4（道）；答：他做错了4道题。7.【解析】如果补上鸡脚少的60只的话，就要增加602=30只鸡，这样鸡兔共有150+30=180只，这样鸡兔的脚数一样多，那么1只鸡脚是1只兔脚的一半，而现在它们脚的总数相同，可知鸡的只数是兔的2倍，根据和倍问题即可解决。【答案】：兔：（150+602）（2+1）=1803=60（只）鸡：15060=90（只）答：鸡共有90只，兔共有60只。8.【解析】利用假设法，假设只用72辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装8吨，所以要剩下872=576（吨）。根据条件，要装完这576吨钢材还需要90-72=18（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装5761832（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。【答案】：872（90-72）902880（吨）。答：这批钢材有2880吨。