含参不等式的解法举例.doc

(完整word)含参不等式的解法举例
含参不等式专题（淮阳中学）
编写：孙宜俊
当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。
解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：
（1） 二次项的系数；(2)判别式；（3）不等号方向(4）根的大小。
一、 含参数的一元二次不等式的解法：
1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑）
例1、解关于的不等式。
解：
为方程的两个根
（因为与1的大小关系不知，所以要分类讨论）
（1)当时,不等式的解集为
（2）当时,不等式的解集为
（3）当时,不等式的解集为
综上所述：
(1）当时,不等式的解集为
(2）当时，不等式的解集为
（3）当时，不等式的解集为
变题1、解不等式；
2、解不等式。

小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题2中2个根都有参数的要加强讨论。
例2、解关于的不等式
分析 此不等式为含参数k的不等式,当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.
解
(1) 当有两个不相等的实根.
所以不等式：

（2) 当有两个相等的实根，
所以不等式，即；
（3） 当无实根
所以不等式解集为。
说明:一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题。
小结：讨论，即讨论方程根的情况。
2．二次项系数含参数(先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于0，然后能分解因式先分解因式，不能得先考虑)
例3、解关于的不等式：
解：若，原不等式
若，原不等式或
若，原不等式
其解的情况应由与1的大小关系决定,故
（1）当时，式的解集为;
（2）当时,式;
（3）当时，式。
综上所述,当时，解集为{}；
当时，解集为{};
当时,解集为{}；
当时,解集为；当时,解集为｛｝.
例4、解关于的不等式:
解：
（1)时，
(2）时，则或，
此时两根为,.
①当时，,；
②当时，，;
③当时，，；
④当时，，.
综上，可知当时，解集为(，);
当时，解集为；
当时，解集为（）（）；
当时，解集为（）（）。
例5、解关于的x不等式
分析：当m+1=0时，它是一个关于x的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+1>0及m+1〈0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m〈－1时，⊿=4（3－m）〉0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。⑵当－1<m〈3时,⊿=4（3－m）>0, 图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。⑶当m=3时,⊿=4（3－m）=0,图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程的根。⑷当m>3时，⊿=4（3－m）〈0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为。
解：

当m=3时,原不等式的解集为；
当m>3时， 原不等式的解集为.
小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解,若不易分解，也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小.⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。
牛刀小试：解关于x的不等式
思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成.

二、含参数的分式不等式的解法：
例1:解关于x的不等式
分析:解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax－1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。
解：原不等式等价于
当=0时，原不等式等价于
解得，此时原不等式得解集为｛x｜｝；
当〉0时, 原不等式等价于,
则：当原不等式的解集为；
当0<原不等式的解集为；
当原不等式的解集为；
当<0时， 原不等式等价于，
则当时， 原不等式的解集为；
当时， 原不等式的解集为;
当时， 原不等式的解集为;
小结：⑴本题在分类讨论中容易忽略=0的情况以及对，－1和2的大小进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。⑵解含参数不等式时,一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0，再转化为乘积不等式来解决.
牛刀小试：解关于x的不等式
思路点拨：将此不等式转化为整式不等式后需对参数分两级讨论：先按〉1和<1分为两类，再在〈1的情况下，又要按两根与2的大小关系分为三种情况。有很多同学找不到分类的依据，缺乏分类讨论的意识,通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。

上述两题分别代表一元二次不等式中多项式可否直接进行因式分解，其共同点是二次项系数含参数，故需对二次项系数的符号进行讨论。
练习：1。解关于的不等式

2。解关于的不等式：

做人最好状态是懂得尊重，不管他人闲事，不晒自己优越，也不秀恩爱.你越成长越懂得内敛自持，这世界并非你一人存在。
　　做人静默,不说人坏话，做好自己即可.不求深刻，只求简单。
　　你活着不是只为讨他人喜欢，也不是为了炫耀你拥有的,没人在乎，更多人在看笑话。你变得优秀,你身边的环境也会优化。
　　3。 从今天开始，帮自己一个忙，不再承受身外的目光,不必在意他人的评价，为自己活着。
　　从今天开始，帮自己一个忙,做喜欢的事情，爱最亲近的人，想笑就大笑，想哭就痛哭,不再束缚情感的空间,让自己活得轻松些。
　　4. 很多你觉得天大的事情，当你急切地向别人倾诉时,在别人眼中也是个小事，他最多不痛不痒呵呵地应和着.
　　因为他不是你，他无法感知你那种激烈的情绪.直到有一天,你觉得无需再向别人提起，你就已经挽救了你自己。
　　这世界上除了你自己，没谁可以真正帮到你。
　　5， 我们总是带着面具走进爱情的，总想展示自己最优越的一面，你要接受一个人,不只是接受他的优越,而是看清了他的平凡普通却仍然去深爱。
　　事实经常是:我们走着走着，就感觉对方变了，其实我们并没有变,我们只是走进对方最真实的地方,然后迷失了自己。
　　6. 我捧你,你就是杯子,我放手，你就是玻璃渣子。无论是恋人还是朋友，珍惜在你每一次难过、伤心时都陪伴在你身边的人。
　　珍惜经常和你开玩笑的人，说明你在这个人的心中肯定有一定的分量。 珍惜在你心情不好时第一个发现的人。
　　7。 今天再大的事，到了明天就是小事；今年再大的事，到了明年就是故事；今生再大的事，到了来世就是传说。
　　人生如行路，一路艰辛，一路风景。你目光所及，就是你的人生境界。
　　总是看到比自己优秀的人，说明你正在走上坡路;总是看到不如自己的人,说明你正在走下坡路.与其埋怨，不如思变。
　　8。 归零是一种积极的心态。所有的成败相对于前一秒都是一种过去.过去能支撑未来，却代替不了明天。
　　学会归零，是一种积极面向未来的意识。把每一天的醒来都看作是一种新生，以婴儿学步的态度，认真用好睡眠以前的时刻.
　　归零,让坏的不影响未来,让好的不迷惑现在。
　　9。 总有一天，你会与那个对的人不期而遇：所谓的幸福，从来都是水到渠成的。
　　它无法预估,更没有办法计算,唯一能做得是:在遇见之前保持相信，在相遇之后寂静享用。
宁可怀着有所期待的心等待下去，也不愿去对岁月妥协，因为相信幸福也许会迟到，但不会缺席。

做人最好状态是懂得尊重,不管他人闲事,不晒自己优越，也不秀恩爱。你越成长越懂得内敛自持，这世界并非你一人存在。
　　做人静默,不说人坏话，做好自己即可。不求深刻，只求简单。
　　你活着不是只为讨他人喜欢，也不是为了炫耀你拥有的,没人在乎，更多人在看笑话。你变得优秀，你身边的环境也会优化.
　　3。 从今天开始，帮自己一个忙,不再承受身外的目光，不必在意他人的评价，为自己活着。
　　从今天开始，帮自己一个忙，做喜欢的事情，爱最亲近的人,想笑就大笑，想哭就痛哭,不再束缚情感的空间，让自己活得轻松些。
　　4. 很多你觉得天大的事情，当你急切地向别人倾诉时,在别人眼中也是个小事，他最多不痛不痒呵呵地应和着.
　　因为他不是你,他无法感知你那种激烈的情绪。直到有一天，你觉得无需再向别人提起，你就已经挽救了你自己。
　　这世界上除了你自己，没谁可以真正帮到你。
　　5, 我们总是带着面具走进爱情的,总想展示自己最优越的一面，你要接受一个人，不只是接受他的优越，而是看清了他的平凡普通却仍然去深爱。
　　事实经常是：我们走着走着，就感觉对方变了,其实我们并没有变，我们只是走进对方最真实的地方，然后迷失了自己.
　　6. 我捧你，你就是杯子，我放手，你就是玻璃渣子。无论是恋人还是朋友，珍惜在你每一次难过、伤心时都陪伴在你身边的人.
　　珍惜经常和你开玩笑的人，说明你在这个人的心中肯定有一定的分量。 珍惜在你心情不好时第一个发现的人。
　　7. 今天再大的事，到了明天就是小事；今年再大的事，到了明年就是故事；今生再大的事，到了来世就是传说。
　　人生如行路，一路艰辛,一路风景。你目光所及，就是你的人生境界。
　　总是看到比自己优秀的人，说明你正在走上坡路；总是看到不如自己的人，说明你正在走下坡路.与其埋怨，不如思变。
　　8. 归零是一种积极的心态.所有的成败相对于前一秒都是一种过去。过去能支撑未来，却代替不了明天。
　　学会归零，是一种积极面向未来的意识。把每一天的醒来都看作是一种新生，以婴儿学步的态度，认真用好睡眠以前的时刻。
　　归零,让坏的不影响未来，让好的不迷惑现在。
　　9. 总有一天，你会与那个对的人不期而遇：所谓的幸福，从来都是水到渠成的。
　　它无法预估，更没有办法计算，唯一能做得是:在遇见之前保持相信，在相遇之后寂静享用。
　　宁可怀着有所期待的心等待下去，也不愿去对岁月妥协，因为相信幸福也许会迟到，但不会缺席。