山东省威海市2018届高三第二次模拟考试理科数学试卷.doc

山东省威海市2018届高三第二次模拟考试理科数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．若复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．对任意非零实数，若的运算原理如图所示，则的值为（ ）

A．2 B． C．3 D．
4．设满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．5
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．18 B．24 C．32 D．36
6．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（ ）
A． B． C． D．
7．曲线：如何变换得到曲线：（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
8．已知双曲线的左右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆交的右支于两点，若的一个内角为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
9．已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
11．设均为小于1的正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
12．在数列中，，一个5行6列的数表中，第行第列的元素为
，则该数表中所有元素之和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．三位同学要从两门课程中任选一门作为选修课，则两门课程都有同学选择的概率为 .
14．在平行四边形中，分别为边的中点，若（），则 .
15．二项式的展开式中各项系数的和为，则该展开式中系数最大的项为 .
16．抛物线的焦点为，是抛物线上的两个动点，线段的中点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，若，则的最大值为 .
三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在中，边上一点满足，.
（1）若，求边的长；
（2）若，求.
18．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.

（1）求的值；
（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？
（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）

，其中
19．多面体中，，，是边长为2的等边三角形，四边形是菱形，.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.

20．已知椭圆：的左右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，面积的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由.
21．已知函数，为的导函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在上存在最大值0，求函数在上的最大值；
（3）求证：当时，.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）若直线与相切，求的直角坐标方程；
（2）若，设与的交点为，求的面积.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.

参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
B
C
D
C
B
A
D
C
D
A
B
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 　　　　　14．2　　　　　15．　　　　16．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．解：（1）∵，∴在中，，
∴，
中，，由余弦定理可得，

所以
（2）在中，由正弦定理可得，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵
∴
∴
∴，化简得，
，
∵，
∴.
18．解：（1）由频率分布直方图可知，，
由中间三组的人数成等差数列可知，
可解得
（2）周平均消费不低于300元的频率为，
因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.
所以列联表为

所以有的把握认为消费金额与性别有关.
（3）调查对象的周平均消费为
，
由题意，∴
.

19.（1）证明：取的中点，连结，
是边长为2的等边三角形，所以，，
四边形是菱形，∴，∵，
∴，
∵，∴，
∴
又，所以平面
平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，两两垂直，分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系，

因为，所以四点共面，

得
设平面的一个法向量为，
由得，令
得
由题意知，，所以平面平面，
所以平面的一个法向量为
设二面角的大小为，则，
所以二面角的余弦值为.
20．（1）由题意可知
，解得
所以椭圆的方程为
（2）由（1）可知，
因为过与圆相切的直线分别切于两点，所以，
所以，
设点，则，圆的半径为
则直线的方程为
的方程设为，则
化简得
由，得
所以点

所以点在椭圆上，
∴，即.
21．解：（1）由题意可知，，则，
当时，，∴在上单调递增；
当时，解得时，，时，
∴在上单调递增，在上单调递减
综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）可知，且在处取得最大值，
，即，
观察可得当时，方程成立
令，
当时，，当时，
∴在上单调递减，在单调递增，
∴，
∴当且仅当时，，
所以，由题意可知，在上单调递减，
所以在处取得最大值
（3）由（2）可知，若，当时，，即，
可得，

令，即证
令，
∵
∴，又，∴
∴，在上单调递减，，
∴，当且仅当时等号成立
所以.
22．解：（1）由可得的直角坐标方程为
，即，
消去参数，可得，设，
则直线的方程为
由题意，圆心到直线的距离，解得
所以直线的直角坐标方程为
（2）因为，所以直线方程为，
原点到直线的距离
联立解得或
所以，所以.
23．解：（1）
所以等价于或或
解得或，所以不等式的解集为或
（2）由（1）可知，当时，取得最小值，
所以，即
由柯西不等式，
整理得，当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为.