浙教版八年级上册+特殊三角形综合复习.doc

初二几何第2单元疑难问题集锦一选择题（共10小题）1如图：在ABC中，CE平分ACB，CF平分ACD，且EFBC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（）A75B100C120D1252等腰RtABC中，BAC=90，D是AC的中点，ECBD于E，交BA的延长线于F，若BF=12，则FBC的面积为（）A40B46C48D503如图，将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起，其中点A与点A重合，点C落在边AB上，连接BC若ACB=ACB=90，AC=BC=3，则BC的长为（）A3B6C3D4如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F若AC=3，AB=5，则CE的长为（）ABCD5如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么（m+n）2的值为（）A23B24C25D无答案6要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（）有两条直角边对应相等； 有两个锐角对应相等； 有斜边和一条直角边对应相等； 有一条直角边和一个锐角相等； 有斜边和一个锐角对应相等； 有两条边相等A6个B5个C4个D3个7如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（xy），下列四个说法：x2+y2=49，xy=2，2xy+4=49，x+y=9其中说法正确的是（）ABCD8如图，锐角ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，ADCADC，AEBAEB，且CDEBBC，BE、CD交于点F若BAC=35，则BFC的大小是（）A105B110C100D1209如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A52B42C76D7210如图，ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，C1B=CB，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到A1B1C1第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到A2B2C2，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过（）次操作A7B6C5D4二填空题（共9小题）11在正三角形ABC所在平面内有一点P，使得PAB，PBC，PAC都是等腰三角形，则这样的P点有 个12如图，在锐角ABC中，BAC=45，AB=2，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 13在RtABC中，C=90，BC=8cm，AC=4cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为 秒（结果可含根号）14如图，已知AON=40，OA=6，点P是射线ON上一动点，当AOP为直角三角形时，A= 15如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），AON=30，当A= 时，AOP为直角三角形16如图，在ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，AOC=60，则当ABM为直角三角形时，AM的长为 17如图，在RtABC中，C=90，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP= 时，ABC和PQA全等18如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，ABF、BCG、CDH、DAE是四个全等的直角三角形若EF=2，DE=8，则AB的长为 19如图：在ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则A= 三解答题（共11小题）20如图，在ABC中，M为BC的中点，DMBC，DM与BAC的角平分线交于点D，DEAB，DFAC，E、F为垂足，求证：BE=CF21已知：如图，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G（1）求证：BF=AC； （2）求证：CE=BF22如图，D为AB上一点，ACEBCD，AD2+DB2=DE2，试判断ABC的形状，并说明理由23把两个含有45角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F说明：AFBE24图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB、EF的端点均在小正方形的顶点上（1）如图1，作出以AB为对角线的正方形并直接写出正方形的周长；（2）如图2，以线段EF为一边作出等腰EFG（点G在小正方形顶点处）且顶角为钝角，并使其面积等于425如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是1026如图，ABC中，B=90，AB=3，BC=4，若CD=12，AD=13求阴影部分的面积27如图，在ACB中，ACB=90，CDAB于D（1）求证：ACD=B；（2）若AF平分CAB分别交CD、BC于E、F，求证：CEF=CFE28如图所示，在ACB中，ACB=90，1=B（1）求证：CDAB；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长29如图，在ABC中，B=90，M是AC上任意一点（M与A不重合）MDBC，且交BAC的平分线于点D，求证：MD=MA30已知，在ABC中，AC=BC，ACB=90，点D是AB的中点，点E是AB边上一点（1）直线BFCE于点F，交CD于点G（如图），求证：AE=CG；（2）直线AHCE于点H，交CD的延长线于点M（如图），找出图中与BE相等的线段，并证明初二几何第2单元疑难问题集锦参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1如图：在ABC中，CE平分ACB，CF平分ACD，且EFBC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（）A75B100C120D125【解答】解：CE平分ACB，CF平分ACD，ACE=ACB，ACF=ACD，即ECF=（ACB+ACD）=90，EFC为直角三角形，又EFBC，CE平分ACB，CF平分ACD，ECB=MEC=ECM，DCF=CFM=MCF，CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100故选B2等腰RtABC中，BAC=90，D是AC的中点，ECBD于E，交BA的延长线于F，若BF=12，则FBC的面积为（）A40B46C48D50【解答】解：CEBD，BEF=90，BAC=90，CAF=90，FAC=BAD=90，ABD+F=90，ACF+F=90，ABD=ACF，在ABD和ACF中，ABDACF，AD=AF，AB=AC，D为AC中点，AB=AC=2AD=2AF，BF=AB+AF=12，3AF=12，AF=4，AB=AC=2AF=8，FBC的面积是BFAC=128=48，故选C3如图，将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起，其中点A与点A重合，点C落在边AB上，连接BC若ACB=ACB=90，AC=BC=3，则BC的长为（）A3B6C3D【解答】解：ACB=ACB=90，AC=BC=3，AB=3，CAB=45，ABC和ABC大小、形状完全相同，CAB=CAB=45，AB=AB=3，CAB=90，BC=3，故选：A4如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F若AC=3，AB=5，则CE的长为（）ABCD【解答】解：过点F作FGAB于点G，ACB=90，CDAB，CDA=90，CAF+CFA=90，FAD+AED=90，AF平分CAB，CAF=FAD，CFA=AED=CEF，CE=CF，AF平分CAB，ACF=AGF=90，FC=FG，B=B，FGB=ACB=90，BFGBAC，=，AC=3，AB=5，ACB=90，BC=4，=，FC=FG，=，解得：FC=，即CE的长为故选：A5如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么（m+n）2的值为（）A23B24C25D无答案【解答】解：（m+n）2=m2+n2+2mn=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+（131）=25故选C6要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（）有两条直角边对应相等； 有两个锐角对应相等； 有斜边和一条直角边对应相等； 有一条直角边和一个锐角相等； 有斜边和一个锐角对应相等； 有两条边相等A6个B5个C4个D3个【解答】解：有两条直角边对应相等，可以利用SAS证明全等，正确； 有两个锐角对应相等，不能利用AAA证明全等，错误； 有斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明全等，正确； 有一条直角边和一个锐角相等，不一定可以利用AAS证明全等，错误； 有斜边和一个锐角对应相等，可以利用AAS证明全等，正确； 有两条边相等，不一定可以利用HL或SAS证明全等，错误；故选D7如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（xy），下列四个说法：x2+y2=49，xy=2，2xy+4=49，x+y=9其中说法正确的是（）ABCD【解答】解：由题意，得2xy=45 ，2xy+4=49，+得x2+2xy+y2=94，（x+y）2=94，正确，错误故选B8如图，锐角ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，ADCADC，AEBAEB，且CDEBBC，BE、CD交于点F若BAC=35，则BFC的大小是（）A105B110C100D120【解答】解：设C=，B=，ADCADC，AEBAEB，ACD=C=，ABE=B=，BAE=BAE=35，CDB=BAC+ACD=35+，CEB=35+CDEBBC，ABC=CDB=BAC+ACD=35+，ACB=CEB=35+，BAC+ABC+ACB=180，即105+=180则+=75BFC=BDC+DBE，BFC=35+=35+75=110故选：B9如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A52B42C76D72【解答】解：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169，解得x=13故“数学风车”的周长是：（13+6）4=76故选：C10如图，ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，C1B=CB，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到A1B1C1第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到A2B2C2，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过（）次操作A7B6C5D4【解答】解：ABC与A1BB1底相等（AB=A1B），高为1：2（BB1=2BC），故面积比为1：2，ABC面积为1，SA1B1B=2同理可得，SC1B1C=2，SAA1C=2，SA1B1C1=SC1B1C+SAA1C+SA1B1B+SABC=2+2+2+1=7；同理可证A2B2C2的面积=7A1B1C1的面积=49，第三次操作后的面积为749=343，第四次操作后的面积为7343=2401故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过4次操作故选D二填空题（共9小题）11在正三角形ABC所在平面内有一点P，使得PAB，PBC，PAC都是等腰三角形，则这样的P点有10 个【解答】解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个，故答案为：1012如图，在锐角ABC中，BAC=45，AB=2，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是【解答】解：如图，作BHAC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MNAB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值AD是BAC的平分线，MH=MN，BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），AB=2，BAC=45，BH=ABsin45=2=，BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=故答案为：13在RtABC中，C=90，BC=8cm，AC=4cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为秒（结果可含根号）【解答】解：如图1，当AD=BD时，在RtACD中，根据勾股定理得到：AD2=AC2+CD2，即BD2=（8BD）2+42，解得，BD=5（cm），则t=（秒）；如图2，当AB=BD时在RtABC中，根据勾股定理得到：AB=4，则t=4（秒）；如图3，当AD=AB时，BD=2BC=16，则t=（秒）；综上所述，t的值可以是：；故答案是：14如图，已知AON=40，OA=6，点P是射线ON上一动点，当AOP为直角三角形时，A=50或90【解答】解：当APON时，APO=90，则A=50，当PAOA时，A=90，即当AOP为直角三角形时，A=50或90故答案为：50或9015如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），AON=30，当A=60或90时，AOP为直角三角形【解答】解：若APO是直角，则A=90AON=9030=60，若APO是锐角，AON=30是锐角，A=90，综上所述，A=60或90故答案为：60或9016如图，在ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，AOC=60，则当ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4【解答】解：如图1，当AMB=90时，O是AB的中点，AB=8，OM=OB=4，又AOC=BOM=60，BOM是等边三角形，BM=BO=4，RtABM中，AM=4；如图2，当AMB=90时，O是AB的中点，AB=8，OM=OA=4，又AOC=60，AOM是等边三角形，AM=AO=4；如图3，当ABM=90时，BOM=AOC=60，BMO=30，MO=2BO=24=8，RtBOM中，BM=4，RtABM中，AM=4，综上所述，当ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4故答案为：4或4或417如图，在RtABC中，C=90，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=5或10时，ABC和PQA全等【解答】解：当AP=5或10时，ABC和PQA全等，理由是：C=90，AOAC，C=QAP=90，当AP=5=BC时，在RtACB和RtQAP中RtACBRtQAP（HL），当AP=10=AC时，在RtACB和RtPAQ中RtACBRtPAQ（HL），故答案为：5或1018如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，ABF、BCG、CDH、DAE是四个全等的直角三角形若EF=2，DE=8，则AB的长为10【解答】解：依题意知，BG=AF=DE=8，EF=FG=2BF=BGBF=6，直角ABF中，利用勾股定理得：AB=10故答案是：1019如图：在ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则A=45【解答】解：DE=EB设BDE=ABD=x，AED=A=2x，BDC=C=ABC=3x，在ABC中，3x+3x+2x=180，解得x=22.5A=2x=22.52=45故答案为：45三解答题（共11小题）20如图，在ABC中，M为BC的中点，DMBC，DM与BAC的角平分线交于点D，DEAB，DFAC，E、F为垂足，求证：BE=CF【解答】解：连接DB点D在BC的垂直平分线上，DB=DC；D在BAC的平分线上，DEAB，DFAC，DE=DF；DFC=DEB=90，在RtDCF和RtDBE中，RtDCFRtDBE（HL），CF=BE（全等三角形的对应边相等）21已知：如图，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G（1）求证：BF=AC； （2）求证：CE=BF【解答】（1）证明：CDAB，ABC=45，BCD是等腰直角三角形BD=CDDBF=90BFD，DCA=90EFC，且BFD=EFC，DBF=DCA在RtDFB和RtDAC中，RtDFBRtDAC（AAS），BF=AC（2）证明：BE平分ABC，ABE=CBE在RtBEA和RtBEC中，RtBEARtBEC（ASA）CE=AE=AC，又BF=AC，CE=BF22如图，D为AB上一点，ACEBCD，AD2+DB2=DE2，试判断ABC的形状，并说明理由【解答】解：ABC是等腰直角三角形，理由是：ACEBCD，AC=BC，EAC=B，AE=BD，AD2+DB2=DE2，AD2+AE2=DE2，EAD=90，EAC+DAC=90，DAC+B=90，ACB=18090=90，AC=BC，ABC是等腰直角三角形23把两个含有45角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F说明：AFBE【解答】证明：AFBE，理由如下：由题意可知DEC=EDC=45，CBA=CAB=45，EC=DC，BC=AC，又DCE=DCA=90，ECD和BCA都是等腰直角三角形，EC=DC，BC=AC，ECD=ACB=90在BEC和ADC中EC=DC，ECB=DCA，BC=AC，BECADC（SAS）EBC=DACDAC+CDA=90，FDB=CDA，EBC+FDB=90BFD=90，即AFBE24图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB、EF的端点均在小正方形的顶点上（1）如图1，作出以AB为对角线的正方形并直接写出正方形的周长；（2）如图2，以线段EF为一边作出等腰EFG（点G在小正方形顶点处）且顶角为钝角，并使其面积等于4【解答】解：（1）以AB为对角线的正方形AEBF如图所示，正方形的周长为4（2）等腰EFG如图所示，SEFG=425如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10【解答】解：（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）；（2）三边分别为：、2、（如图2）；（3）画一个边长为的正方形（如图3）26如图，ABC中，B=90，AB=3，BC=4，若CD=12，AD=13求阴影部分的面积【解答】解：ABC中，B=90，AB=3，AC=5CD=12，AD=13AC=5，AC2+CD2=AD2，ACD是直角三角形，S阴影=SACDSABC=51234=306=2427如图，在ACB中，ACB=90，CDAB于D（1）求证：ACD=B；（2）若AF平分CAB分别交CD、BC于E、F，求证：CEF=CFE【解答】证明：（1）ACB=90，CDAB于D，ACD+BCD=90，B+BCD=90，ACD=B；（2）在RtAFC中，CFA=90CAF，同理在RtAED中，AED=90DAE又AF平分CAB，CAF=DAE，AED=CFE，又CEF=AED，CEF=CFE28如图所示，在ACB中，ACB=90，1=B（1）求证：CDAB；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长【解答】（1）证明：ACB=90，1+BCD=90，1=B，B+BCD=90，BDC=90，CDAB；（2）解：SABC=ABCD=ACBC，CD=4.829如图，在ABC中，B=90，M是AC上任意一点（M与A不重合）MDBC，且交BAC的平分线于点D，求证：MD=MA【解答】证明：MDBC，且B=90，ABMD，BAD=D又AD为BAC的平分线BAD=MAD，D=MAD，MA=MD30已知，在ABC中，AC=BC，ACB=90，点D是AB的中点，点E是AB边上一点（1）直线BFCE于点F，交CD于点G（如图），求证：AE=CG；（2）直线AHCE于点H，交CD的延长线于点M（如图），找出图中与BE相等的线段，并证明【解答】（1）证明：AC=BC，ACD=BCD=45，ACB=90，A=ABC=45，ACE=90BCF，BFCE，CFB=90，CBG=90BCF，ACE=CBG，在ACE和CBG中，ACECBG（ASA），AE=CG；（2）解：CM=BE；理由：CDAB，AHCE，CDE=CHM=90，DCE+CEB=90，DCE+CMA=90，CEB=CMA，在BCE和ACM中，BCEACM（AAS），CM=BE第31页（共31页）