结构动力学课件-部分.doc

第六章 结构动力学问题结构静力学的有限元法，是将作用在结构上的载荷假定为与时间无关.相应产生的位移，应变和应力也都与时间无关。动力学研究则不同。载荷随时间而变，相应产生的位移，应变和应力也都与时间有关。分析和步骤和方法与静力学相同，不同的是,要按机械振动的理论建立动力学方程。在单元分析中除形成单元刚度矩阵外，还有质量矩阵和阻尼矩阵。6.1 动力学方程根据达朗伯尔原理，动力学问题只要在外力中计及惯性力，就可以按静力学问题求解，静力学单刚方程：计及惯性力和阻尼力，就可以在上面方程的基础上导出动力学方程:由于力和位移是时间的函数，所以上式也就是时间的函数表征，选择位移插值函数,也就变为:则速度 则加速度 由于是单元惯性力，可以看成单元中分布的惯性力向节点移置的结果.设为结构的密度，则单位体积上产生的惯性力为： 其中负号表示力的方向与加速度相反.运用虚功原理，单元惯性力作的虚功:节点惯性力的虚功：由得：将 , 代入得：记 上式也就为： 其中 为单元质量矩阵同理可推出阻尼矩阵： 单元阻尼矩阵 单刚的动力学方程就为：将各个单元刚度矩阵扩展成总刚度矩阵的阶数，并完成坐标转换，进行迭加，就能得到结构的总动力学方程：该方程与多自由度系统的振动方程完全相同。6。2 单元质量矩阵单元质量矩阵的两种形式:（1） 一致质量矩阵，又称协调质量矩阵，这种矩阵与单元刚度矩阵形成的方法是一样的，即利用形函数矩阵导出,它比较准确地反映单元内质量分布的实际情况。（2） 集中质量矩阵，又称聚缩质量矩阵，是将单元内分布质量按重心不变的原则分配到单元的各个节点上。没有耦合项的对角阵，优点：使计算大为简化，虽然精度不如一致质量矩阵，但是也能满足工程计算。一 梁杆单元1。 纵向振动杆单元只有纵向位移 单元质量矩阵是阶矩阵.集中质量矩阵 均匀分布：节点节点各承担一致质量矩阵杆单元的形函数矩阵 则 6。3 单元阻尼矩阵比较和的计算公式可以发现，两者在形式上是完全相似的,只是常数不同，因此可以利用上面求得的质量矩阵来换算阻尼矩阵结构分析中,阻尼主要是指结构阻尼，即结构内部材料摩擦引起的阻尼,这种阻尼与应变和位移成正比，并与速度的方向相同,所以有的文献推荐 无论取上式中的哪一种形式,和智能由试验确定。6.4 固有频率和振形的计算有机械振动学可知：阻尼对于结构的固有频率和振形的影响是极其微小的,因此求解固有频率和振形时，就是用无阻尼的自由振动方程来求解自由振动时，结构上各点作简谐振动，所以 节点的振幅向量(振形） ；为该振形对应的频率代入上式得: 由于不全为零则：系数行列式 称作特征方程上式中，若结构离散化为几个自由度，总刚度矩阵和总质量矩阵都是阶方阵.就是的次多项式,求解可得个根(i=1,2，）将代入可求得对应的振形.由于一般很大，所以直接求解高次频率方程很困难，实际中常采用近似的解法。如幂迭代法,反迭代法和子空间迭代法。1。幂迭代法 是将广义特征值转变为动力矩阵D的标准特征值问题,通过求特征向量来求特征值（固有频率）适用于求解模最大的特征值和特征向量.即将代入，并令可得2.反迭代法 可直接对广义特征值问题求解，不如先转换成动力矩阵。适用于求解大型特征值问题。3.子空间迭代法 将一个大型的维空间中的广义特征值问题，降阶为一个维子空间中的特征值问题，然后采用反迭代法或者其他方法，求解维子空间的全部特征对，是有限元中的主要方法。6.5 动力响应计算是指结构在外加激振力作用下，即结构在强迫振动下，产生的的位移,速度和加速度，在该计算中，阻尼的作用不容忽视。一 振型迭代法必须先求出结构自由振动的各阶固有频率，相应的振型，由于振型满足正交条件，即当时 通常假设阻尼矩阵也满足正交条件，振动的响应 =，是组合的系数 = 将代入动力方程可得以左乘上式各项得，广义质量矩阵 广义阻尼矩阵 广义刚度矩阵根据振型的正交性，它们全部成为了对角阵 =1，2，n分别对n个方程求解，可得n个y值，然后代入式=可得解