数值分析试题及答案..doc

(完整word版)数值分析试题及答案.
 一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.
   A．4和3          B．3和2
   C．3和4          D．4和4
2. 已知求积公式，则＝（ ）
A．      B．      C．     D．
3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（    ）
   A．＝0，        B． ＝0，    
   C．＝1，         D． ＝1，
4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（    ）敛速。
    A．超线性     B．平方       C．线性           D．三次
5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（   ）.
       A．                B．
        C．                 D．　

单项选择题答案
1.A　2.D　3.D　4.C　5.B

得 分
评卷人

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设, 则        ，        .
2. 一阶均差                     
3. 已知时，科茨系数，那么            
4. 因为方程在区间上满足                 ，所以在区间内有根。
5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式                      .　

填空题答案
1.       9和 2.        
3.       4.      
5.       　

得 分
评卷人

三、计算题（每题15分，共60分）

1. 已知函数的一组数据：　
求分段线性插值函数，并计算的近似值.

计算题1.答案
1.       解 ，           
，
所以分段线性插值函数为

2. 已知线性方程组
（1）       写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；
（2）       对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）.

计算题2.答案

1.解 原方程组同解变形为

雅可比迭代公式为

高斯－塞德尔迭代法公式

用雅可比迭代公式得
用高斯－塞德尔迭代公式得

3. 用牛顿法求方程在之间的近似根
（1）请指出为什么初值应取2？
（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.

计算题3.答案
 3. 解 ，，
，，，故取作初始值
迭代公式为
，
，，

，              
方程的根

4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.　

计算题4.答案
4 解  梯形公式                         
         应用梯形公式得                   
         辛卜生公式为           
         应用辛卜生公式得

得 分
评卷人

 四、证明题（本题10分）

确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度

证明题答案
证明：求积公式中含有三个待定系数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得

得，。所求公式至少有两次代数精确度。     
又由于

故具有三次代数精确度。  

一、          填空（共20分，每题2分）

1. 设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x=      .
2.设一阶差商 ，

   则二阶差商
3. 设, 则        ，        。
4．求方程   的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么    
5．解初始值问题 近似解的梯形公式是
6、 ，则A的谱半径 ＝              。
7、设   ，则                和                  。       
8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都               。
9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为               。
10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成                              。

填空题答案
1、2.3150
2、
3、6 和
4、1.5
5、
6、
7、 8、 收敛 9、
10、

二、计算题  （共75 分，每题15分）

1．设
（1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式使满足
以升幂形式给出。
（2）写出余项 的表达式

计算题1.答案
1、（1）
   （2）

2．已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1…收敛？　

计算题2.答案
2、由 ，可得 ，   

3． 试确定常数A，B，C和 a，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？

计算题3.答案
3、 ，该数值
求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的

4． 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式： 
（提示： 利用Simpson求积公式。）

计算题4.答案
4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分，
得，记步长为h,
对积分 用Simpson求积公式得

所以得数值解公式：

5． 利用矩阵的LU分解法解方程 组

计算题5.答案
5、解：

三、证明题 （5分）

1．设  ，证明解 的Newton迭代公式是线性收敛的。

证明题答案
1、

一、填空题（20分）

(1).设是真值的近似值，则有                 位有效数字。
(2). 对, 差商(      )。
(3). 设, 则        。
(4).牛顿—柯特斯求积公式的系数和                       。
填空题答案
（1）3    （2）1    （3）7        （4）1

二、计算题

1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式的值。
插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。

计算题1.答案
1）

2).（15分）用二分法求方程区间内的一个根，误差限。
计算题2.答案
2)

3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。

计算题3.答案
3）迭代公式

4).（15分）求系数
。

计算题4.答案
4）

5). (10分)对方程组

试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由

计算题5.答案
 5) 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

取,经7步迭代可得：
.

 三、简答题

1)（5分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为什么?
2)（5分）先叙述Gauss求积公式, 再阐述为什么要引入它。

一、填空题（20分）

1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有(     )位有效数字.
2.  是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则
     (      ).
3.  设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是(                  ).
4.  迭代公式收敛的充要条件是            。
5. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式中的B称为(         ). 给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为(           )。
填空题答案
1．3
2.
3.
4.
5.迭代矩阵，   

得 分
评卷人

二、判断题（共10分）

1.          若，则在内一定有根。               (   )
2.          区间[a,b]上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。         (   )
3.          若方阵A的谱半径，则解方程组Ax=b 的Jacobi迭代法收敛。     (   )
4.          若f (x)与g (x) 都是n次多项式，且在n+1个互异点上，则 。                                          (   )
5.          用近似表示产生舍入误差。                     (   )

判断题答案
1.×  2.×  3.×  4.√  5.×

得 分
评卷人

三、计算题（70分）

1.      （10分）已知f (0)＝1，f (3)＝2.4，f (4)＝5.2，求过这三点的
二次插值基函数l1(x)=(                   )，=(             ), 插值多项式P2(x)=(                ), 用三点式求得(         ).
计算题1.答案
1．

2. （15分） 已知一元方程。
1）求方程的一个含正根的区间；
2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；
3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。

计算题2.答案
2.（1）
（2）
（3）

3. （15分）确定求积公式     的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.

计算题3.答案

4. （15分）设初值问题  . 
(1)     写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；
(2)     写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解，保留两位小数。

计算题4.答案
4.

5. （15分）取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差。

计算题5.答案
5．
             =1+2(

            ，

一、填空题( 每题4分，共20分)

1、数值计算中主要研究的误差有             和             。
2、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则                        ；     。
3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为         ；插值型求积公式中求积系数                    ；且          。
4、辛普生求积公式具有    次代数精度，其余项表达式为                                                。
5、则。
填空题答案
1.相对误差  绝对误差
2.       1
3. 至少是n              b-a
4. 3   
5. 1      0

二、计算题

1、已知函数的相关数据

由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的近似值。

计算题1.答案
解：差商表
由牛顿插值公式：

2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长，。
计算题2.答案
解：

3、（15分）确定求积公式
。
中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。

计算题3.答案
解：分别将，代入求积公式，可得。
令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为3。

4、（15分）已知一组试验数据如下 ：

求它的拟合曲线（直线）。

计算题4.答案
解：设则可得
于是，即。

5、（15分）用二分法求方程在区间内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。

计算题5.答案
解：6次；。

6、（15分）用列主元消去法解线性方程组

计算题6.答案
解：
即