数学物理方法试卷答案.doc

《数学物理方法》试卷答案

一、选择题(每题4分，共20分）
1．柯西问题指的是( B ）
A．微分方程和边界条件。 B。 微分方程和初始条件。
C．微分方程和初始边界条件. D。 以上都不正确。
2．定解问题的适定性指定解问题的解具有( D )
A．存在性和唯一性。 B. 唯一性和稳定性。
C。 存在性和稳定性。 D. 存在性、唯一性和稳定性。
3．牛曼内问题 有解的必要条件是（ C )
A．. B．.
C．. D．.
4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题 的解是（ B ）
A．. B．.
C．。 D．.
5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ D ）
A．.
B．。
C．.
D．.

二、填空题（每题4分，共20分）
1．求定解问题的解是（）。
2．对于如下的二阶线性偏微分方程

其特征方程为( ）。
3．二阶常微分方程的任一特解（ 或0)。
4．二维拉普拉斯方程的基本解为( ），三维拉普拉斯方程的基本解为( ）。
5．已知，利用Bessel函数递推公式求
（ ）。

三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题

解:第一步：分离变量 （4分)
设，代入方程可得

此式中，左端是关于的函数，右端是关于的函数。因此,左端和右端相等，就必须等于一个与无关的常数。设为，则有

将代入边界条件得

从而可得特征值问题

第二步：求解特征值问题 （4分）
1) 若，方程的通解形式为

由定解条件知,从而，不符合要求。
2) 若，方程的通解形式为

由边界条件知,从而。
3) 若，方程的通解形式为

代入边界条件得

从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数

第三步：求特解，并叠加出一般解 (3分）
求解了特征值问题后，将每特征值代入函数满足的方程可得出相应的解

因此,也就得到满足偏微分方程和边界条件的一般解

第四步：确定叠加系数 （4分)
由初始条件可知

可得

故原方程的解为

四、(10分）用行波法求解下列问题

解:其特征方程为
(2分)
由此可得特征线方程为
(2分）
因此作变换
(2分)
从而可得
＝0
从而有

由初始条件可得

所以有
，
从而可得
(2分)
故而可知
。 (2分)

五、(10分）用Laplace变换法求解定解问题：

解：由题意知，需关于时间t作拉普拉斯变换,记，对方程做拉氏变换可得
(4分)
用系数待定法很容易解求上常微分方程的一特解
(2分）
又上常微分方程相应的齐次问题的通解为

所以,上常微分方程的通解为
， （2分）
再由定解条件可得A＝B＝0，从而

故而，原定解问题的解
。 （2分)

六、（15分）用格林函数法求解下定解问题

解：设为下半平面中任意一点。已知二维调和函数的积分表达式为
（2分)
设为调和函数,则由第二格林公式知
（2）
（1）＋（2)可得
（2分）
若能求得满足
（3）
则定义格林函数，则有
（2分）
由电象法可知，为的象点，故可取
（2分）
显然其满足（3）.从而可得格林函数
(5分)
故而
（2分）

七、(10分）将函数在区间［0，1]上展成Bessel函数系的级数,其中为Bessel函数的正零点，。
解：设有如下级数形式
（1分）
下面利用Bessel函数的正交性确定系数
易知，对上等式两边同时乘以并关于x在［0,1]内积分可得
（2分）
再由递推公式，可得
(2分)
故而
（3分）
这里用到递推公式
.
所以，
(2分)

T12、(12分)将函数在区间上展开成Bessel函数系的级数，其中是Bessel函数的正零点，.
解：设
其中 （3分）
作变量代换,令，则

由递推公式,可得
(4分)
再由递推公式
.
所以，
(3分）
从而
（2分）