模糊推理方法.doc

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几种典型的模糊推理方法
根据模糊推理的定义可知，模糊推理的结论主要取决于模糊蕴含关系及模糊关系与模糊集合之间的合成运算法则。对于确定的模糊推理系统，模糊蕴含关系一般是确定的，而合成运算法则并不唯一。根据合成运算法则的不同，模糊推理方法又可分为Mamdani推理法、Larsen推理法、Zadeh推理法等等。
一、Mamdani模糊推理法
Mamdani模糊推理法是最常用的一种推理方法，其模糊蕴涵关系定义简单，可以通过模糊集合和的笛卡尔积(取小)求得，即
(3.2.1)
例3.2.1　已知模糊集合，。求模糊集合和之间的模糊蕴含关系。
解：根据Mamdani模糊蕴含关系的定义可知：

Mamdani将经典的极大—极小合成运算方法作为模糊关系与模糊集合的合成运算法则。在此定义下，Mamdani模糊推理过程易于进行图形解释。下面通过几种具体情况来分析Mamdani模糊推理过程。
(i) 具有单个前件的单一规则
设和论域上的模糊集合，是论域上的模糊集合，和间的模糊关系是，有
大前提(规则)： if is then is
小前提(事实)： is

结论： is
当时，有
(3.2.2)
其中，称为和的适配度。
在给定模糊集合、及的情况下，Mamdani模糊推理的结果如图3.2.1所示。

图3.2.1 单前提单规则的推理过程
根据Mamdani推理方法可知，欲求，应先求出适配度（即的最大值）；然后用适配度去切割的MF，即可获得推论结果，如图3.2.1中后件部分的阴影区域。所以这种方法经常又形象地称为削顶法。
对于单前件单规则（即若是则是）的模糊推理，当给定事实是精确量时，基于Mamdani推理方法的模糊推理过程见图3.2.2。

图3.2.2 事实为精确量时的单前提单规则推理过程
例3.2.2 设和分别是论域和上的模糊集合，其中论域(水的温度) = { 0, 20, 40, 60, 80, 100 }，(蒸汽压力) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }，＝温度高，＝压力大。模糊规则“若则”，在此模糊规则下，试求在＝温度较高时对应的压力情况。

解：首先确定各模糊集合的隶属度为##带有主观性的确定

求对的适配度

用适配度去切割的隶属函数，即可获得

推理结果是“＝压力较大”，这与我们平常的推理结果是一致的。
(ii) 具有多个前件的单一规则
设、、、和、分别是论域、和上的模糊集合，已知、和间的模糊关系为。根据此模糊关系和论域、上的模糊集合、，推出论域上新的模糊集合。即
大前提(规则)： if is and is ，then is
小前提(事实)： is and is
后件(结论)： is
根据Mamdani模糊关系的定义，有
笛卡尔积 取小 (3.2.3)
此时
(3.2.4)
其中是隶属函数的最大值，表示对的适配度；
是隶属函数的最大值，表示对的匹配度；
由于模糊规则的前件部分由连词“与”连接而成，因此称为模糊规则的激励强度或满足度，它表示规则的前件部分被满足的程度。图3.2.3给出了多个前件的单一规则的Mamdani模糊推理过程，其中推理结果的MF是模糊集合的MF被激励强度() 截切后的结果。这个结论可以直接推广到具有多于两个前件的情况。

图3.2.3 多前提单规则的Mamdani模糊推理过程
对于两前件单规则（即若是和是，那么是）的模糊推理，当给定事实为精确量时（即是，是），Mamdani模糊推理过程见图3.2.4。

图3.2.4 给定事实为精确量时Mamdani推理过程
例3.2.3 已知、、、和、分别是给定论域、和上的模糊集合，若且，则。现在知道及，求模糊集合。
解法一：由于，故先求

然后将写成列向量的形式，并以表示，即

于是可以求得：

由于，令，有

将写成行向量，并以表示，即

于是可以求得

即
解法二：首先与、与的适配度，即

然后求激励强度，即

最后用激励强度去切割的隶属函数，即可获得

(iii) 具有多个前件多条规则的模糊推理
设、、、、、和、、分别是论域、和上的模糊集合， 是、和间的模糊蕴含关系，是、和间的模糊蕴含关系。已知论域、上的模糊集合、，推出论域上新的模糊集合。即
大前提1 (规则1)： if is and is ，then is
大前提2 (规则2)： if is and is ，then is
小前提 (事实)： is and is
后件(结论)： is
对于多个前件多条规则的模糊推理问题，通常将多条规则处理为相应于每条模糊规则的模糊关系的并集。上述的模糊推理问题可以表示为
(3.2.5)
其中：；
；
和分别是在规则1和规则2下所得到的模糊集合。
对于两个前件两条规则（即是和是，则是；是和是，则是）的模糊推理问题，当已知事实为模糊集合时（即是和是），模糊推理过程见图3.2.5。

图3.2.5 两前题两规则的Mamdani模糊推理过程
综上所述，多个前件多条规则的模糊推理过程可以分为四步：
⑴ 计算适配度 把事实与模糊规则的前件进行比较，求出事实对每个前件MF的适配度。
⑵ 求激励强度 用模糊与、或算子，把规则中各前件MF的适配度合并，求得激励强度。
⑶ 求有效的后件MF。用激励强度去切割相应规则的后件MF，获得有效的后件MF。
⑷ 计算总输出MF。将所有的有效后件MF进行综合，求得总输出MF。
二、Larsen模糊推理法
Larsen推理方法又称为乘积推理法，是另一种应用较为广泛的模糊推方法。Larsen推理方法与Mamdani方法的推理过程非常相似，不同的是在激励强度的求取与推理合成时用乘积运算取代了取小运算。
(i) 具有单个前件的单一规则
设和论域上的模糊集合，是论域上的模糊集合，和间的模糊关系确定，求在关系下的，即
大前提(规则)： if is then is
小前提(事实)： is

结论： is
与Mamdani推理方法一样，首先求适配度：
　　　 (3.2.6)
然后用适配度与模糊规则的后件作乘积合成运算，即可得
　　　　 (3.2.7)
在给定模糊集合、及的情况下，Larsen模糊推理的结果如图3.2.6所示。

图3.2.6 单前提单规则的推理过程
(ii) 具有多个前件的单一规则
设、、、和、分别是论域、和上的模糊集合，已知、和间的模糊关系确定。根据此模糊关系和论域、上的模糊集合、，推出论域上新的模糊集合。即

大前提(规则)： if is and is ，then is
小前提(事实)： is and is
后件(结论)： is
首先求适配度和：
　　　 (3.2.8)
然后求激励强度：
　　　　　　 　 (3.2.9)
最后用激励度与模糊规则的后件作乘积合成运算，即
　 　　　　 (3.2.10)
图3.2.7给出了两个前件的单一规则的Larsen模糊推理过程，其中推理结果的MF是模糊集合的MF与激励强度() 合成的结果。这种合成方法可以直接推广到具有多于两个前件的情况。

图3.2.7 多前提单规则的Larsen模糊推理过程
(iii) 具有多个前件多条规则的模糊推理
设、、、、、和、、分别是论域、和上的模糊集合， 、和间的模糊关系及、和间的模糊关系都已知。现在根据论域、上的模糊集合、，推出论域上新的模糊集合。即
大前提1 (规则1)： if is and is ，then is
大前提2 (规则2)： if is and is ，then is
小前提 (事实)： is and is
后件(结论)： is
首先求出规则1的适配度和：
　　　 (3.2.11)
同样求出规则2的适配度和：
　　　 (3.2.12)
然后分别求出两条规则的激励强度和：
　　　　　　 (3.2.13)
最后用激励度与相应的模糊规则的后件作乘积合成运算，分别求出每规则所得的结论，并且做取大运算获得最终的结论，即
　 　 (3.2.14)
图3.2.8给出的是两前件两规则的Larsen模糊推理过程，当这种推理过程可以推广到任意个前件任意多条规则的情况。

图3.2.8 两前件两规则的Larsen模糊推理过程
三、Zadeh模糊推理法
通过前面分析可知，模糊推理的结果主要取决于模糊关系及合成运算法则。与Mamdani推理法相比，Zadeh推理法也是采用取小合成运算法则，但是其模糊关系的定义不同。下面具体给出Zadeh的模糊关系定义。
设是上的模糊集合，是上的模糊集合，二者间的模糊蕴涵关系用表示。Zadeh把定义为
　 (3.2.15)
如果已知模糊集合和的模糊关系为，又知论域上的另一个模糊集合，那么Zadeh模糊推理法得到的结果为：
(3.2.16)
其中“”表示合成运算，即是模糊关系的Sup—运算。
(3.2.17)
式中“Sup”表示对后面算式结果取上界。若为有限论域时，Sup就是取大运算V。
Zadeh模糊推理法提出比较早，其模糊关系的定义比较繁琐，导致合成运算比较复杂，而且实际意义的表达也不直观，因此目前很少采用。

四、Takagi－Sugeno模糊推理法
日本高木（Takagi）和杉野（Sugeno）于1985年提出了Takagi－Sugeno模糊推理法，简称为T-S模糊推理法。这种推理方法便于建立动态系统的模糊模型，因此在模糊控制中得到广泛应用。T-S模糊推理过程中典型的模糊规则形式为：
如果是 and 是，则
其中和是前件中的模糊集合，而是后件中的精确函数。
通常是输入变量和的多项式，可以是任意函数。当是一阶多项式时，模糊推理系统被称为一阶T-S模糊模型；当是常数时，所得到的模糊推理系统被称为零阶T-S模糊模型。零阶T-S模糊模型可以看作是Mamdani模糊推理系统的特例，其中每条规则的后件由一个模糊单点表示(或是一个预先去模糊化的后件)。
对于多前提的模糊推理问题，每个前提都会有一个适配度，T-S模糊推理过程中激励强度的求取可以采用取小运算，也可以采用乘积运算。对于形如“若 is and is ，then ”的模糊规则，其激励强度为
　 (3.2.18)
或 　 (3.2.19)
对于多规则的模糊推理问题，每一个规则都可以产生一个推理结果。最终的结论往往是通过对每一个推理结果进行加权平均得到。对于两规则的模糊推理，如：
IF is and is ，then
IF is and is ，then
若已知“ is and is ”，那么T-S模糊推理的结论为
　 (3.2.20)
实际上，为了进一步减少计算量，有时可以用加权和算子直接代替加权平均算子，即
　 (3.2.21)
图3.2.9给出的是一个两前提两规则的一阶T-S模糊模型的模糊推理过程。当然，T-S模糊推理方法也可以推广到多前件多规则的情况。

图3.2.9 两前件两规则的T-S模糊推理过程
与Mamdani模糊推理方法不同，T-S模糊模型在其推理机制中不严格遵循推理复合规则。当T-S模糊模型的输入是模糊的时，会造成一定困难。对于T-S模糊推理方法，通过加权平均或加权和所获得的整体输出通常是精确的，这与常规的模糊推理方法有所不同，因为常规的模糊推理系统往往是以适当的方式把模糊性从输入传播到输出。由于T-S模糊推理得到的结果是精确的，所以T-S模糊推理过程不需要进行耗时的、数学上不易分析的去模糊化运算。正是如此，T-S模糊推理是目前基于样本的模糊建模中最常选用的方法。

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