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2021七年级数学下册 第6章 实数章末知识汇总 新人教版

2021七年级数学下册 第6章 实数章末知识汇总 新人教版

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第六章章末知识汇总

类型一　正确区分平方根与算术平方根
1．区别：(1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根．
(2)一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数．
(3)表示方法不同，正数a的平方根，表示为±，正数a的算术平方根表示为.
2．联系：(1)二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个．
(2)存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根．
(3)零的平方根和算术平方根都是零．
例1　下列说法：①5是25的算术平方根；②是的一个平方根；③(－4)2的平方根是－4；④0的平方根与算术平方根都是0.正确的有(　　)
A．1个 B．2个　
C．3个 D．4个
解析：5是25的算术平方根，故①正确；是的一个平方根，故②正确；(－4)2的平方根是±4，故③错误；0的平方根与算术平方根都是0，故④正确；所以正确的有①②④3个．故选C．
答案：C
类型二　对无理数的概念的理解
1．易与无理数相混淆的概念：
(1)无理数不是无限小数，也不是不循环小数．确切地说，无理数是无限不循环小数．
(2)无理数不是带根号的数．如π.
(3)无理数不只是开方开不尽的数，只能说它包括开方开不尽的数．
2．对定义的理解：判别一个数是不是无理数，一定要依据定义，看它是不是“无限”且“不循环”．
例2　在下列数，0.31，，，3.6024×103，，1.212242…(相邻两个1之间逐次增加1个2)中，无理数的个数为(　　)
A．1个 B．2个　
C．3个 D．4个
解析：无理数有两个特征：(1)是无限小数，(2)是不循环的．判断一个数是不是无理数，应抓住无理数这两个特征去判断.，和1.212242……(相邻两个1之间逐次增加1个2)均为无理数．
答案：C
类型三　实数大小比较的常用方法
引进无理数后，实数之间仍可进行大小的比较，但较有理数之间的大小比较复杂了些．我们常用的比较实数大小的方法有以下几种：
1．比较绝对值法：该方法常用于两负数间的大小比较，即两负实数，绝对值大的反而小．
2．比较平方法：当被比较的两数中含有无理数时，可先分别将这两数平方，再进行比较．
3．比较平方根法：当有理数与无理数之间进行大小比较时，有时可先将有理数转化为含根号的形式，再利用“被开方数大的，算术平方根也大”来进行比较．
4．取近似值法：比较含有无理数形式的两个数的大小时，也可以先用计算器求出它们的近似值，不过取它们的近似值时，要取相同的精确度，再通过比较近似值的大小，得到被比较两数的大小．
5．作差比较法．作差法的依据为：若a－b<0，则a<b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b>0，则a>b.
例3　比较大小：
(1)与6；(2)－＋1与－.
解析：(1)用“比较平方根法”即把6还原成带根号的形式再比较被开方数即可比较大小；
(2)可采用近似求值的方法来比较大小较为简捷．
解：(1)因为6＝，而35＜36，所以<6；
(2)因为－＋1≈－2.236＋1＝－1.236，－≈－0.707，而1.236＞0.707，所以－1.236<－0.707，所以－＋1<－.
类型四　 实数的简单计算
例4　计算：(1)2×[9＋2×(－2)](精确到0.01)；(2)＋.
解析：(1)有理数的运算律和运算法则在实数范围内适用．先化简，再取其中各个无理数的近似值，最后按要求的精确度取近似值．(2)一般地，求一个正的带分数的算术平方根，应先把它化为假分数，再求这个假分数的算术平方根．
解：(1)2×[9＋2×(－2)]＝2×[9＋2×－4]＝2×[5＋2×] ＝10＋4×＝18.94427197≈18.94；
(2)＋＝＋3＝＋3＝4.
点拨：实数的计算可以运用运算定律，将其化简，取其中各个无理数的近似值，注意题目要求的精确度．