工程力学第三版教学 第二章 力系的平衡方程及其应用.pdf

第二章力系的平衡方程及其应用本章主要研究系的简化、平衡条件和平衡方程,并应用平 衡方程求解物体及简单物体系统的平衡问题_直2-1平面一般系的简化回2-2平面系的平衡方程及其应用回习题课-回 2-3考虑摩擦时物体的平衡直2-4空间的平衡方程及其应用I 1 2-5物体的重心与形心年双中及网址:http:/-StringersFloor beam、2-1平面一般系的简化A平面一般系的工程实例4年教中及,社网址:http:/复习:的平移定理A复习:平面汇交力系的合成纭二E4多边形规则:作多边形,找封闭边。厂_ I隧|丨丨台4午双中及 甥 网址:http:/A复习:合力投影定理:尸R=K+B+居=2耳%=耳y+Ky+=ZEJ平面汇交系合力的大小和方向分别为:yX外二小竈+以=）2+0:）/式中a为合力与X轴所夹的锐角。tanaK|I由%教履,社題网址:http:/一、平面一般系的简化1.平面一般系向作用面内一点简化主矢和主矩月二GM=此(4)FF；=F2,M2=MO(F2)F：=F,M=Mo(FjF：=Fn,Mn=Mo(FJ 尺=Z耳=即_M0=Mi=M0(Fi)_合手敖公及加覇网址:http:/A平面一般系的主矢和对简化中心的主矩:尺二Z平面一般系的主矢。M0=ZM。（耳）平面一般系对。点的主矩。思考:能否称只为合力?能否称“涉合力偶?若选取不同的简化中心,对主矢、主矩有无影响?_1 冋鹿%款履題网址:http:/A平面一般系向作用面内一点简化结果:平面一般系向作用面内任一点。简化,可得一个和 个偶,这个力等于该系的主矢,作用线通过简化中心。这个偶的矩等于系对于点O的主矩。皿合4T教4及题网址:http:/主矢大小和方向:X扱=桨二与=耳/=Z 理=小口tana=/E与 厶E主矩的大小及转向:M=ZM(FJ%芋敖之发舅网址:http:/平面固定端的约束分析4年教中及,社网址:http:/A固定端工程实例4 T教中4K社題网址:http:/3.平面一般系的简化结果分析简化结果为合力偶,此时主矩与简化中 心的位置无关。简化结果为过简化中心的合力。IK NI IR名手敖了肌题网址:http:/冗WO（3 简化结果为不过简化中心的合力。其中Mf FR=F；合力矩定理根/4=。=河。（耳）系平衡。网I向4教,及 題网址:http:/例2-1如图所示平面一般系,已知工=尸2=10 N,尸3=居=10 N,若各方格边长=10 cm,试求力系向。点的简化结果。解（1 选取直角坐标系。町（图a 2 计算系的主矢和对。点的主矩%=、二一片+0-cos45+玛cos45=片=10N%=0 8+片 sin 45+冗 sin 451 ON+10J2 Nx +10V2 Nx 2 2二 10N I-尺二J(Z%+(Z,1+102 N=14.14NW合%款卡及题网址:http:/z工tana=1,0=45Z4Mo-Mo(F)=Fxa+F2a-F3 cos 45 x 2q+/cos 45 x 2a=2x10 x0.lN-m=2N-m平面一般系、尸2、死，/4向。点 简化,得到作用于。点的个/，和 个偶,如图b所示。思考:本例中力系的最终简化结果是什 么?合%款履題网址:http:/练习:已知=2kN,g=4kN,=10kN,求此力系的简 化结果。由%款履題网址:http:/解:F；X=R=-FI+F3 COS a=4 kN 尸、二Z 尸2+&sin a=4 kN月=J(凡)2+(g=+42 kN=5.65kNMo-F、Q+F3sma-a-F3 cos aa-4a(kN m)河臼合4T教中）及题网址:http:/ 2-2平面系的平衡方程及其应用一、平面一般系的平衡条件和平衡方程1.平面一般系平衡的充要条件力系的主矢和对作用面内任意点的主矩都等于零,即呢=0。=02.平面一般系的平衡方程一 FUY+WF,M=ZM。区）=一F=0平面一般系的平衡方程。Fv=0 （基本形式、两影一矩式）H=0）II|G4 nH版晶題网址:http:/A平面一般系平衡方程有三种形式z Z=0-尺 MU二矩式（矩心、万两点的连线不能与投影轴垂直）。000-MM M SIS三矩式（矩心、B、。三点不能共线）。由教履題网址:http:/二、平面特殊系的平衡方程L平面汇交系的平衡方程yXZ=0 2因言,款中拡及甥网址:http:/2.平面平行系的平衡方程平面平行力系的平衡方程有两种形式匕=。（各力不得与投影轴垂直）MA MB=0二0（矩心、两点连线不得与各平行）%至敖4及製舅网址:http:/3.平面力偶系的平衡方程回手敖,社网址:http:/三、平面力系平衡方程的应用L单个物体平衡问题的求解例22如图所示悬臂梁,端为固定端支座,端为自由端,已知梁 上作用有载荷集度为的均布载荷和集中力,且歹=2%a=45,不计 梁的自重,试求固定端支座的约束。解取梁为研究对象。(2)画出梁的受图。梁上所受的均布载荷、集中力正和支座约束qCAaBa工和耳及约束偶乜 组成平面一般系。其 中有三个未知量,可以 求解。q“I I I IcBaa由4教卡及取題网址:http:/(3)建立坐标系,列平衡方程并求解。工工=。qa AyaFAY-FCOS6Z=0FAX=Feos a=2qa cos 45=72qCBa工月=0 FAV-F sin a-qa=0FAy=F sin a+qa=2qa sin 45+qa=(+6)qa Z此(/)=。MA-qa-sin a 2a=0例23 简易起重机如图所示。横梁4端为固定絞支座,刀端用拉杆刀。与 立柱相连。已知梁受重力Gi=4kN,载荷G2=12kN,梁长=6m，a=30。试求当载荷离端距离x=4m时,拉杆。的受力和钱支座的约束。今为敖卡及題网址:http:/解取横桀43（含电动葫芦和重物）为研究对象。（2）因4C杆为构件,横梁与（含电动葫芦和重物）的受如图所示。（3）选取坐标系如图所示（约定这种常规的坐标系可不画出）,列平衡方程 求解。儿2)二Fglsin(X G?x 0_ 2G2%+G _ 2x12x4+4x621 sin a 2x6sin30z凡=0 七一爲 cosa=0FAX=尸B cos a=20 cos 300=17.32 kNWX=FAyFBsina-Gl-G2=0A%二G1+G23 sina=4+12 20sin30=6kNP局敖卡及取題网址:http:/例24三角形支架的受情况如图所示。已知=10kN,=2kN/m。试求钱链、处的约束。解(1)取三角形支架整体为研究对象。(2)因C杆为构件,可画出整体的受力图,如图 所示。整体受均布载荷%集中力户及支座约束力以、和,它们组成平面一般系。(3)列平衡方程求解MA(F)=0-FX1.2-X1.2X0.6+Fg sinocX0.6=00.8m q：0.4mt*1AaC DB q1.2F+O.720 _ 1,2x10+0.72x2O.bsma0.6x0.8=28 kNSE(下)=0-Fxl.2-xl.2x0.6-Fx0.6=0FAX1.2+0.72 0.61.2x10+0.72x2”1-=-22.4 kN0.6Mc(F)=0-x0.4+xl.2x0.2-死y x0.8=0-0.4F+0.2400.8-0.4x10+0.24x2 1R1-=-4.4 kNBC D0.8.):Fy=F4y+FB cos。1.2q F=4.4+28x0.6 1.2x2 10-0F%加手教而及题网址:http:/讨论:A在受分析中,指向未知的约束力可以先假设个方向,当计算 结果为正时,说明其实际方向与所设的方向相同;当计算结果为负 时,说明实际方向与所设的方向相反;A平面一般系有三个独立的平衡方程,最多能求解三个未知量,但非独立的平衡方程可以校核计算结果是否正确;均布载荷的合力等于载荷集度与其分布长度的乘积,均布载荷 对某一点之矩或在某个轴上的投影,分别由合力矩定理或合力投 影定理计算。%|向为敖及題网址:http:/例25已知系统如图,不计杆、轮自重,忽 略滑轮大小,G=20kN。求系统平衡时,杆 AB.万。的受。解（1）46、5C杆为杆,取滑轮刀（或点 B,画受图。（2）建立图示坐标系,列平衡方程订=。-FBA+/cos 60-Fn cos 30.2 二 G解得:FRA=-7.32IkN=0FBC-4cos30-FT2 COS 60=0解得:F=27.32kNT合敖卡及題网址:http:/例2-6已知求支座、刀处约束。解法1：(1)取刚架为研究对象(2)画受图(3)建立坐标系,列方程求解2二，+尸=。FAX=FCDaB 777ZMA尸）=o,FB:,FB=Fz=，+I FAy=F%款履題网址:http:/解法2：工,鼠+F=05/)=0,FB2a-M=02X(歹)=o,FAy 2a+Fat-M=02a fC解上述方程,得晨二一尸，七二一尸,二尸AB解法3：ZMA(F)=Q,FB2a-M-Fa=QYMB(F)=0,FAy2a+Fa+M=0YMc(F)=0,FAxa+FB2a-M=0解上述方程,得已,心,二合手教及題网址:http:/例2-7已知 順=M2=10Nm，M=20Nm,/=200mm,求光滑 螺柱、3所受水平。解:由偶只能由偶平衡的性质,其受如图。5 L L M.+M0+M,-解得 F=Fn=亠-2-=200N有場子敖及加网址:http:/练习1:已知力C=CB=4 G=10kN。求钱链和刀Cff受。解（1 取48梁,画受图。（2 列平衡方程求解二0%sin45 2/=0E=0 x+%cos45=0Z 4二 4+为 sin45/=0解得心二28.28kNFAX=-20kN 厶=10kN慢%教履,社題网址:http:/练习2:取起重机如图所示。已知3=10kN,G2=40kN,尺寸如图。求轴 盛4、处的约束。解:取起重机,画受图。_-5_1.5.d_3.56=0F=-31kNZ以=+爲=o心二31kN二0 七Gf=0.kN J手敖中方发刀 题 网址:http:/练习3:已知G、外M=Ga、解:取吕梁,画受图。%=。FA、=OM。FB 4/M G,2a q,3 1r Cz HqaXFy=0 FAy-q2a-GFB，求支座、5处的约束。由 G丄3%教履,社网址:http:/例2-8欲使起重机满载和空载时均不翻倒,求平衡锤的重量。解:取起重机为研究对象,其受力如图所示。（I）满载时,其限制条件是:FNJ0%（尸）=0C（a+b）一久的-Ge卬=062 解得 G23La+b（2）空载时,其限制条件是:FN/?0G瓶XMA(F)=0,G2a+FNBb-G(e+b)=0解得G2 V生士 a因此,弓2必须满足:ABbN8Ge+GJr/G(e+-S Cr2 s-a+b aa敖田及,社骸网址:http:/M练习4:已知下=8kN,M=4kNm求、万处的约束解:取刚架为研究对象,受力如图所示。Z月=0 F+FAX=Q.FAX=-F=-8kNE仍）=o x4M x2.5=0尸 M+Fx2.5 FR 二-二 6k4 4Eg=0 FB+FAy=0二 FAy=FB=6kN%教及小題网址:http:/应用平面力系平衡方程的解题步骤可总结如下:根据题意,选取适当的研究对象。画受图。约束力根据约束的类型来确定,要注意正确判别 构件,由二平衡条件确定其约束力作用线的位置。当约束 力的方向未知时,可以先假设个方向,最后根据计算结果的正 负可确定其实际方向。列平衡方程,求解未知量。应根据物体所受力系的形式,选 取相应系的平衡方程及平衡方程的适当形式。要选取适当的矩 心和投影轴,求在个平衡方程中只含一个未知量,以便简化 计算。为此,在应用投影方程时,投影轴尽可能与较多的未知力 垂直;在应用矩方程时,矩心应尽可能取在较多未知力的交点 上。列出非独立的平衡方程,以校核计算结果是否正确。阉|向%敖及木題网址:http:/2.物体系统的平衡静定和静不定问题，平面汇交系只有两个独立方程,只能求两个未知量。平面力偶系只有一个独立方程,只能求一个未知量。平面平行力系只有两个独立方程,只能求两个未知量。、平面一般系只有三个独立方程,只能求三个未知量。受图（系）独立平衡方程个数存在的未知量个数 可求未知量个数-?-若干个物体通过适当的约束所组的系统,称为物系。静定问题:未知量个数W独立平衡方程个数超静定问题:未知量个数独立平衡方程个数,也称静不定问题。!一_回 IAI回手敖広队,社 网址:http:/静定与静不定问题刚体静力分析只能解决静定问题。4手敖一打及題网址:http:/a%款履題网址:http:/物系平衡的特点:A当物体系统平衡时,系统内任一物体（或几个物体组成的部分）均 处于平衡,求解静定物体系的平衡问题时,可以选每个物体为研究 对象,列出全部平衡方程,然后求解。A也可以先取整个系统为研究对象,列出平衡方程,这样的方程因 不含内力,式中未知量较少,解出部分未知量后,再从系统中选取 某些物体为研究对象,列出另外的平衡方程,直至求出所有的未知 量为止。用尽量少的平衡方程,平衡方程中尽量只含一个未知量,简 化计算。不P合%款卡及取題网址:http:/例2-9 图示组合梁,已知77P=10kN,M=20kN.m,夕=10kN/m,4=lm,试 求固定端、可动较支座刀及中间较链。的约束。Q化C分析:该组合梁由C梁和CB梁组成,其中固定端有三个未知的约束 力,中间较链c处有两个未知的约束,可动较支座刀处有一个未知的 约束,共有六个未知量,因此取整体不可解;取/C梁为研究对象,有五个未知量,也不可解;取。梁为研究对象,有三个未知量,可以求解。因此,应先取C8梁为 研究对象,求出。、万处的约束之后,再取C梁或整体可求出处的约 束。M L I%敖及題网址:http:/解（1）选取。石梁为研究对象,画出其受图。列平衡方程Mc=0,FBx2a-F?sm300 xa-qax=0二丄(弓 sin30。+巧(10sin30+a)=5kNZa=0,%一片 cos3(y=0FCx=Fp cos300=10cos30=8.66kN 工=0,FCy-qa-Fp sin 30+7=0FCy=qa+Fp sin 30-7=lOkNMl I慢%款履題网址:http:/(2)选取C梁为研究对象,画出其 MA受力图。列平衡方程 万吟M/=0,MA-M-qax-Fcyx2a p MA M+-qa2+2aF=55kN 1aEa=o,七一居二o LW=8.66kNZ二，FAy-Fcy-qa=Q FAy=qa+%=20kNq 亜 c a本题也可在取。梁之后,再取组合梁整体为研究对象。%款履題网址:http:/讨论:本题中的组合梁,如将C絞链去掉,会发现C梁可以独立平衡 载荷,称为基本部分,而梁不能独立平衡载荷,称为附属部分。由基本部分与附属部分组成的结构,称为主从关系的结构。对这 类结构,应先算附属部分,后算基本部分。4T教4及题网址:http:/主从关系的结构基本部分+附属部分先算附属部分,后算基本部分q例210如图所示三校刚架,已知Fp=12kN,夕=8kN/m,试求 支座、刀及钱。处的约束。Q Fp|4mCki/l0 4T双寸及 题 网址:http:/分析:分析整体和左、右折杆的受力,画出它们的受力图,如图所示。整体和左、右折杆都分别有四个未知量,但总未知量的个数只有六个,左、右折杆 受平面一般系作用,可列出六个独立的平衡方程,因此可以求出六个未知量。若分别选取左折杆和右折杆,则需要解联立方程,计算较繁琐。若取整体为 研究对象,虽然也有四个未知力,而只有三个独立的平衡方程,但由于,B 两个钱在同一水平线上,以点和与点为矩心建立矩方程,可求出、B 支座的竖向约束力和歹坊,然后再考虑左折杆或右折杆的平衡,每个折 杆都只有三个未知量,可求出全部未知量。qcrrrmc什回 I|BJ44教中式收題网址:http:/解(1)取整体为研究对象,画出其受图。列平衡方程求解力(尸)=0-qx6x3一片X8 十七,X12=OqC塩18+8 !8x8+8x12”丁=-L=-=20kN12(/)二12 X 6x9+为 x4/7bxi2=0七=54+4月二 54X8+4X12.okN12ER=。,FAX-FBX12=,FAX=FBX(a)FA(2)取右折杆为研究对象,画出其受图。ZMc(F)=O,4X2+七X6。X8=0 65-2的卜=-及 86x20-2x12 1丁-二!2kN8BBx=0.+=0%=的5=-8kN 号=0,FCFBX=0 匕=5=l2kN由式(a)得 FAx=FBx=l2kNB以FKJ丨合%教履題网址:http:/讨论:对于两个固定较（上、。钱）在同一水平线上的三钱结 构,一般先取整体为研究对象,求出两个竖向约束力后,再取受力简单的部分为研究对象,可求出全部未知量。yi合为敖及題网址:http:/求解物体系统平衡问题的一般步骤总结如下:习题课小结:1.平面一般系向平面内任一点。简化,一般情况下,可得一个作 用线通过简化中心的力和一个偶,这个力等于该系的主矢,这 个偶的矩等于该系对于点。的主矩,即n nF=此（.），=1 1=12.平面一般系向一点简化,可能出现的四种情况:主矢 主矩 简化结果 说 明此为原系的合力,合力的作用线通过简 化中心Mo=0 氏-Mo0此W0F；=0-Mo=0合力合力偶合力作用线离简化中心的距离d=Afo/a此偶为原系的合力偶,在这种情况下主矩与简化中心的位置无关平衡%教履,社題网址:http:/3.平面一般系平衡的必要与充分条件是:系的主矢和对任一点的主 矩都等于零,即:/三ZB=0,、2（歹）二04.平面一般系的平衡方程基本形式 z4二，X4二，Z）0矩式 工凡二,ZM/歹）二,Z%（歹）二（投影轴*不得垂直于矩心、刀两点的连线）三矩式 Z也（歹）二,Z%（歹）=o,Jc（歹）二0（矩心、B、。三点不得共线）%教履,社題网址:http:/5.其它各种平面力系都是平面一般系的特殊情形,其平衡方程如下:系名称平衡方程独立平衡方程的数目共线系纭=0 1平面偶系ZM 二。1平面交系 Fx=Q-”,=02平面平行力系EFy=02-（歹）=0.2 _-Z 此（歹）=0-Z仍=0合%款履題网址:http:/例1:求三杆对三角形平板5c的约束。解:取三角形板4BC为研究对象,受力如图所示。K1X(歹)=o,2拒MFc=-c 3aMB(F)=0aFA-M-G-=0 26M G+YMc(F)=0,a-FB-M+G-=04教及小題网址:http:/例2:已知:Q4=A,48=,当。4水平时,冲压为&时,系统平衡,求:M=?。点的约束反?力6杆内力?冲头给导轨的侧压?解（1）取滑块外 受力如图所示。yFx-FNB-FB-sina=Q Fy=0 Fp-FB cosa=0FB=FPcos。,FNB=FP tan a（2）取轮。受如图所示。M。（玲=OFAM=FPR ZFx=。七 十死,sina=0.FOx=-Fp tanaZX=。FAcosa+FOy=0Foy=Fp 由为敖卡及題网址:http:/例3:已知a=4m,r=lm,FP=12kNo求、万处的反。解:取整体,受如图所示。-4 0 0-取風 X3;-8 (-此FX z z Z FA=9kN.七二二9kN，丹玲二12kN%教履,社題网址:http:/例4:已知、a,求物块M的压。解(1)取钱链凰画出其受图。；24二。尸一即 sin。一 sina=。aFAB Z4二 cosa-%cosa=0 FFRr=FAR=-FBC 2sincr(2)取物块,画出其受图。aZ4二。72-cos6r=0F外 2 二玲 cosa cota7ZAxyi合教中4及題网址:http:/解法2:(1)取图示部分为研究对象,画出其受图。四臼合敖中士收社題网址:http:/例5:已知跖=2kNm,OA=r=0.5m9，=30 求平衡时 的弧及钱链0、上处的约束。解（1 取轮,由偶只能由偶平衡的性质,画受图。2河=0 M1-7-r sin=0 一解得 外=巳二8kN(2)取杆上C,画受图。M=0 M2=0 smu解得 M2=8kN-m 厶,弓=8kN L;M_/I合4I款卡及題网址:http:/讨论题:求:、C、0处的约束。区 解取整体为研究对象（3）取co杆为研究对军）=0,七.2。二 0 得 FOy=0 Z也/=0:.”。2 取CED杆为研究对象 X=0,外 曙一N 必（歹）=0,-必.一片.Zg=0,七一残二0 一2屈0（）=0，一Z 黒2Q=0 F（）x=-Fp,=Fp,FAy=Fp _Fcy=Fpcx=_2Fp 网 IA 烏敖履,社題网址:http:/2-3考虑摩擦时物体的平衡摩擦分类:滑动摩擦摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦静滚动摩擦动滚动摩擦干摩擦 摩擦,湿摩擦年教4及題网址:http:/、滑动摩擦规律两个相互接触的物体,当接触面间有相对滑动或相对滑动的趋势时,在接触面上将会产生阻碍物体相对滑动的切向约束,称为滑动摩 擦,简称摩擦(friction force)。滑动摩擦力作用在接触处,其方向沿接触面的公切线与物体相对 滑动或相对滑动趋势的方向相反。接触面间有相对滑动趋势但仍保持相对静止的两个物体间的摩擦 力,称为静摩擦(static friction force)。接触面间有相对滑动的两个物体间的摩擦,称为动摩擦。阉|向为敖及題网址:http:/1,静摩擦G(1)物体保持静止。F 一 静摩擦(static friction force)由平衡条件F=可得:F=Fp(2)FP=FPm,物体处于临界平衡状态。Fmax一最大静摩擦(maximum static friction force)A静摩擦力的方向与物体相对滑动的趋势相 反,大小由平衡条件确定,在零与最大值之 间,即為手教中及,社题网址:http:/最大静摩擦/ax的大小与接触物体间的正压(法向约束力)成正 比,即Fmax=/S,PN-库仑静摩擦定律(Coulomb law of friction)FN-法向压,fs-静摩擦因数(static friction factor)取决于接触物体的材料以及接触表面的物理状态,如粗糙度、温度、湿度等,与接触表面的面积无关。的数值由实验测定。工程中常用材料的 静摩擦因数,可查阅有关工程手册,表2-1给出了部分材料的静摩擦因数值。表27材料/s的参考值材料静摩擦因数材料静摩擦因数钢钢0.10.2木材-木材0.4 0.6钢铸铁0.20.3木材 土0.3 0.7皮革铸铁0.30.5混凝土 土0.7 0.8橡胶铸铁0.50.8混凝土 砖0.3 0.4合4年教步及,社題网址:http:/2.动摩擦(3)bpbpm,物体滑动。GFd-动摩擦(dynamic friction force)。P 亠A动摩擦力的方向与物体相对滑动的方向 相反,大小与接触面间的正压(法向约 束力)成正比,即尸d=/,尸NFN-法向压,/-动摩擦因数(dynamic friction fact的Fd动摩擦因数/除了与接触物体的材料和接 触面的状况有关外,还与物体之间的相对滑 动速度有关。但在工程计算中,常忽略后 者的影响,认为动摩擦因数是仅与材料和接 触表面状况有关的常数。一般情况下,动 摩擦因数略小于静摩擦因数。摩擦力随主动力的变化图Klll向%款履題网址:http:/分析讨论:作出下列各物体的受图。FP最小维持平衡状态的受力图FP最大维持平衡状态的受力图二、摩擦角与自锁现象全约束力(全反)：F=F+F临界平衡状态下,静摩擦力达到最大值五max，全约束为其二十厂 max,Rm,N max确达到最大值0m-摩擦角(angle of friction)匕口外二誓二/;然A摩擦角的正切等于静摩擦因数,摩擦角为全约束力与接触面法线间的r最大夹角。皿与/;都是表征材料摩擦性质的物理量。同后1 0手数及 网址:http:/2.摩擦锥改变主动片的方向,则全反演 的方向也随之改变,假如接触面在各方 向的静摩擦因数都相同,则全反外作 用线的极限位置形成一个以接触点为顶 点顶角为2%的圆锥,称为摩擦锥(cone of static friction)9 如图所示。尸。图中,为主动的合力,即bQ=+G合%款卡及題网址:http:/3.摩擦自锁现象对于考虑摩擦的物体,其受力可以分为主动和约束。当物体平衡时,主动力的合力/与全反/必共线,由于全反与接触面法线间的夹角傩零与摩擦角外之间,即。W綜因此,如果作用于物体上全部主动力的合力bQ的作用线在摩擦角之内,则无论bQ有多大,在接触面上总能产生与它等值、反向、共线的全反&而 使物体保持静止;反之,如果全部主动力的合力FQ的作用线在摩擦角之外,则无论bQ多小,全约束不能与其共线,因而物体不能静止。主动力合力的 作用线在摩擦角之内而使物体静止的现象称为摩擦自锁(self-lock)摩擦自 锁的条件为 iHiyi日合%款卡及取題网址:http:/当01n时,不论主动多小,物体都滑动不自锁。4年依及,社題网址:http:/、摩擦自锁在工程中的应用1.斜面上物块的自锁和静摩擦因数的测定摩擦系数的测定:绕0轴转动使物块刚开始下滑时测出确,tan冋,（该两种材料间静摩擦系数）2.螺纹自锁条件”妬回I由4T教中）及题网址:http:/四、考虑摩擦时物体平衡问题的求解考虑摩擦时物体平衡问题的特点:1.受分析中除接触面的法向约束力外,还有切向约束力（静摩擦）。2.平衡方程式中除主动、约束力外还出现了静摩擦,因而未知量 增多。3.除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程Ffs FN 4.除为避免解不等式,可以解临界情况,即补充方程招1ax=4bN。常见的问题有:A判断物体是否平衡;A临界平衡问题;A求平衡范围问题。|川|丨合%款卡及題网址:http:/例2-11 已知bQ=400N,G=1500N,Fax 物块不可能静止,而是向下滑#-此时的摩擦应为动滑动摩擦,方向沿斜面向上,大小为用=/=2698N由題教履,社网址:http:/例2T2如图所示重为G的物块,放在倾角为a的斜面上,且。大于物块与斜面间的摩擦角,物块与斜面间的静摩擦因数为。求物块平衡时,作用于其上的水平力心的大小。分析:由于,当q=0或五Q太小时物块 将下滑,因此使物块不下滑五Q不能小于某 极限值五Qmin。当歹Q=歹Qmin时,物块处于下 滑的临界平衡状态;当太大时,物块将上 滑,因此使物块不上滑,歹Q不能大于某极限值歹Qmax。当正Q=五Qmax时,物块处于上滑 的临界平衡状态。这样,物块的平衡范围为bQminQ Qmax 合%款卡及題网址:http:/解(1)求物块平衡时力的最小值方Qmin，此时物块处于向下滑动的 临界平衡状态,摩擦沿斜面向上。取物块为研究对象,其受图如 图所示。列平衡方程VF=0,K.n cosa-Gsina+F=0 氏二，Gcosa一 minSina 二。列补充方程 F-Fmax=fsF联立可解得sina cosa户Qmin 一,r-丿cosa+/s sma一=G：an：）=Gtan 7-（pm 1+tan a侍力至敖q及労蠶网址:http:/（2）求物块平衡时力bQ的最大值五Qmax，此时物块处于向上滑动的临界平衡 状态,摩擦沿斜面而下,画出物块的受力图。列平衡方程Ee=0，4maxCos。Gsina 尸=。xZ=0，Gcosa4maxSina=0 FQmax 列补充方程尸=/二片 联立解得_ sina+cos。户 Qmax 7:丿cos a 一 工 smcr=G(tancr+f1 tan a)=Gtan(a+9m)故使物块平衡的水平FQ的大小为G tan 似-(pm)F0 G tan 似+(pm)不，合4教卡及題网址:http:/解法2：QminQminhmm 二 Gtan(0一%)Qmax跳二 Gtan(a+%)Gtan(cr-m)R A2 fs合%款卡及取題网址:http:/例214 制动器的结构和尺寸如图所示。已知圆轮上作用偶枚,制动块和圆轮表面之间的静摩擦因数为。忽略制动块的厚度,求制动圆轮 所需的的最小值。分析:这是个物体系统的 平衡问题。圆轮的制动是靠 制动块与圆轮间的摩擦来 实现的。当圆轮恰能被制动 时,物体系统处于临界平衡 状态,此时,静摩擦达到 最大值,有最小值。先 选圆轮。研究,求出圆轮与 制动块间的约束之后,再 选制动杆4B刀为研究对象,可求出最小作用的大小。_ I I IR%款卡及题网址:http:/解（1 取圆轮0为研究对象,并画出其受图（图a、b o列平衡方程和静摩擦力的补充方程ZM/F =0 M Fr=G F=Fmax=fsFN解得二包练二处 r fsr取制动杆助为研究 对象,画出其受图（图c。列平衡方程MA=Q,Fpa+Fc-Fb=QM b解得用二竺（夕。）ra js_ 幽 冋|卬%敖步及木题网址:http:/例215已知我、b 求a为多大,推 杆不致被卡。解:取推杆为研究对象%二 几=0Fy=0-FA-FB+F=0X。（万）二，尸综初一乙+二。A 三d0 H0时考虑平衡的临界情况,可 得补充方程F-片“FNB_ b“极限 2/4敖卡及題网址:http:/用几何法求解上例:_ j 极限 _I _ 1_ _(极附 1 a1*-1解:由图示几何关系得a+1)tan%+(极限 !)tan(pm=b_ b _ b极限 2 tan外一2-Ml 令4竽款及q題网址:http:/讨论题:已知均质木箱重G=5kN,0 木箱无翻倒趋势。所以木箱平衡。2 设木箱将要滑动时拉为，=0 cos 夕=0氏=0 F-G-Fism0=OF=F=f F丄 s max s NGAE=-叵-=1876Ncos8+sin设木箱有翻倒趋势时拉为巴月=o geos 一G，q=0 F2GYA V。二1443N2 4 cos 6所以能保持木箱平衡的最大拉为1443NE合44敖中幺及労題网址:http:/ 2-4空间系的平衡方程及其应用一,在空间直角坐标轴上的投影L直接投影法（已知力及其与三个轴的夹角）设与空间直角坐标系的三个坐标Z轴X、Z的正向之间的夹角分别为外仇从力的起点和终点分别作与 三个坐标轴垂直的平面,这些平面在X三坐标轴上所截线段的长度并冠以适 当的正负号,分别为称为在X、坐标轴上的投影仆、,即Fx=Feos a-y F=F cos 0 F=Fcos/J_回尸=F cos/。在平面上的投影是矢量,而在轴上 的投影是代数量。同口|合4 年教中広发,社覇网址:http:/如果已知力方在三个坐标轴上的投影死、,由图中可求得力歹的 大小和方向余弦国 陀商4T教4及题网址:http:/二、沿空间直角坐标轴的分解如图为求力广沿三个坐标轴方向的分力,先将刀分解为沿Z轴方向的分力和在0盯平面上的分力“再将/分解为沿X、轴方向的 两个分力因和4,即得力沿三个坐标轴方向的分力、4、。Z II_说明:A沿直角轴的分力与力在该轴上投 影的大小相等,但在坐标轴上的投 影是代数量,而分力是矢量。当在坐标轴上的投影为正时,说 明沿该坐标轴方向的分力指向坐标 轴的正向;反之,则指向负向。yyi合%款卡及取題网址:http:/如图所示,圆柱斜齿轮 轮齿的啮合力居的作用线在 法平面必c内,平面必cd与齿 轮端面取Z之间的夹角B称为 齿倾角或螺旋角,平面aG为 切平面,啮合力居与切平面 的夹角。称为压角。啮合力 死沿平行于齿轮轴线的分力 居称为轴向,沿啮合圆切 线的分力名称为切向,沿啮 合圆半径方向的分力称为径 向。Fr=FnsmaFt=Fn cos 6K cos =4 cos a sin 年教中士及加醪网址:http:/斜齿轮及其受分析:回可，手敖门版,社題由网址:http:/7如图所示为圆锥齿轮,轮 齿和轴线的夹角为顶锥角 轮齿的啮合力工和啮合点 所在圆周切线的夹角为压 角。啮合力居沿平行于 齿轮轴线的分力居称为轴 向,沿啮合圆切线的分 力居称为切向,沿啮合 圆半径方向的分力称为 径向。工=Fn sinacosbG=4 cos a Fa=FQ sin a sin正合4教卡及取題网址:http:/锥齿轮及其受分析:4教中広及覇网址:http:/三、对轴之矩1.对轴之矩对轴之矩是使物体绕某轴转动效应的度量。对某轴之矩,等于力在垂直于该轴的平面内的投影对轴与平面 交点之矩,力FMz轴之矩用MCF)表示,即Mz(F)=M0(Fxy)=Fxy-d式中,为。点到投影/的垂直距离;正负号表示力使物体绕轴转动的方向,一般用右手定则确定,用右手四指表示力使物体绕轴转动的方向,当大姆指指 向轴的正向时,取正号,反之取负号。可见对轴之矩是代数量,其单位与力 对点之矩的单位相同,常用单位为11I或kN-m。合%款发題网址:http:/对轴之矩ZZ（万）=此（）二士说明:A当力的作用线与轴平行 4=0 或相交（=0,即与轴共面时,对轴之矩 等于零。A对轴之矩的定义可知,在平面问题中力对平面内某点。的矩,实际上是 对通过该点且与平面垂直的轴之矩。A在计算对轴之矩时,仍可以使用合力矩定理,即合力对某轴之矩等于 各分力对该轴之矩的代数和。_回款履,社 題 网址:http:/例2 16如图所示托架套在转轴z上,力 F=100kN,求力FX寸z轴之矩。解本题可用合力矩定理计算,将己沿坐标轴 X、y、Z方向分解为三个分力厶、F,其大 小分别为F-F cos sin 67=F X x=-J FX V35 V10 V35,0 3 3F、,-FcosOcos(p=Fxj=xi=-j=F r V35 V10 V35F=Fsing=Fxj=/Fz V35 V35由合力矩定理可得对z轴之矩为此)=呪()+必(4)+%()二一Ex(0.1+0.05)-x0.15+0=丝!外y-10.14N-m四、常见的空间约束及其约束4T教中）及网址:http:/五、空间一般系的平衡方程可以证明,空间一般系平衡方程为-二EL工工二0 _（尸）”Z%（歹）=0 此（歹）二oA空间一般系平衡的充分和必要条件是:系中所有各在空间直角坐 标系三个坐标轴上投影的代数和分别等于零,各对三个坐标轴之矩的代 数和也分别等于零。空间一般系有六个独立的平衡方程,可以求解六个 未知量。合%款履題网址:http:/六、空间特殊系的平衡方程1.空间汇交力系的平衡方程若以系的汇交点。为坐标原点,则系中各 对三个坐标轴之矩均等于零。因此,空间汇 交系的平衡方程为=00=0A空间汇交系平衡的充分和必要条件是:系中所有各在三个坐标轴上的投 影的代数和都等于零。空间汇交系有三个独立的平衡方程,可以求解三个未知%款履骸网址:http:/2.空间平行系的平衡方程设Z轴与力系中各力的作用线平行,则各力在X轴、轴上的投影均等于零,各 对Z轴之矩均等于零。因此,空间平行力系的平衡方程为X I z ZA空间平行力系平衡的充分和必要条件是:系中所有各力在与力的作用线平 行的坐标轴上投影的代数和等于零,各力对与力作用线垂直的两个坐标轴之矩 的代数和分别等于零。空间平行力系有三个独立的平衡方程,可以求解三个未 知量。合%款履題网址:http:/例2 17如图所示电动机E通过皮带带动万 轴转动,从而将重物刀匀速起吊。已知带与 J水平线成30角,轮轴的半径r=10cm,螃/%=20cm,重物刀的重量G=10kN,带紧边（下边）拉力为松边（上边）拉力的两倍。宀片丁求轴承、处的约束。z L解（1 取整个轮轴系统为研究对象,受如图。您逾7 2 选取坐标系如图所示。Z（3）列平衡方程并求解 Z%（尸）=0 Gr-FlR+F2R=0:先片s-.片=2 月 片=10kN=5kN 外 nDYMX F =0 一Gx30+4 sin30 x60-gsin30 x60+&zXldlbr0 1.5幻-1 Bz,VM F =0-FRX100-F cos30 x60-月 cos30 x60=0 FBx=-7.8kNZ4/二。z x 100+K，1 sin x 40+12 sin x 4-J AZ E此I 歹）=0 x x 100+4 cos 30 x40+cos30 x40=0 FAx=-5.2kN 例2 18 传动轴如图所示,皮带轮刀的半径A=600mm,自重=2kN,紧边拉 月的倾角为45,松边拉的倾角为30,且玛=2万2;齿轮。