辽宁省朝阳市2021届高三数学下学期3月一模试题.doc

辽宁省朝阳市2021届高三数学下学期3月一模试题

辽宁省朝阳市2021届高三数学下学期3月一模试题

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- 12 -

辽宁省朝阳市2021届高三数学下学期3月一模试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|x·y＝1}，则A∩B＝
A.{(－1，－1)，(1，1)} B.{(1，1)} C.{(－1，－1)} D.
2.已知向量＝(x，1)，＝(－1，1)，若＋＝(0，2)，则
A.// B.⊥ C.－＝(－2，0) D.|－|＝
3.(1＋x)3·(1＋)3的展开式中的常数项为
A.12 B.15 C.20 D.35
4.两条不重合的直线m，n，两个不重合的平面α，β，若m⊥α，n⊥β，则m⊥n是α⊥β的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若a＝，b＝ln，c＝0.6－0.2，则a，b，c的大小关系为
A.c>b>a B.c>a>b C.b>a>c D.a>c>b
6.抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F与x轴垂直的直线交C于点M，N，有下列四个命题：
甲：点F坐标为(1，0)； 乙：抛物线C的准线方程为x＝－2；
丙：线段MN长为4； 丁：直线y＝x＋1与抛物线C相切
如果只有一个命题是假命题，则该命题是
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
7.设P为直线x－y＝0上的动点，PA，PB为圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，A，B为切点，则四边形APBC的面积的最小值为
A. B. C.2 D.1
8.过长方体的一个顶点的平面与这个长方体的十二条棱所在的直线成的角都相等，这样的平面个数为
A.4 B.1 C.0 D.无数多个
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下面是关于复数＝(i为虚数单位)的命题，其中真命题为
A.|z|＝ B.z－z2＝1＋i C.z的共轭复数为－1＋i D.z的虚部为1
10.关于变量x，y的n个样本点(x1，y1)(x2，y2)，…，(xn，yn)及其线性回归方程：，下列说法正确的有
A.若相关系数r越小，则表示x，y的线性相关程度越弱
B.若线性回归方程中的>0，则表示变量x，y正相关
C.若残差平方和越大，则表示线性回归方程拟合效果越好
D.若，，则点(，)一定在回归直线上
11.已知函数f(x)＝2sin(x－)cos(－x)，则
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的图象关于点(，0)中心对称
C.x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴
D.将函数g(x)＝cos2x－sin2x的图象向右平移个单位后得到函数f(x)的图象
12.关于函数f(x)＝，下列说法正确的是
A.函数f(x)的极小值为1＋ln2
B.函数y＝f(x)－x2有且只有1个零点
C.存在负实数a，使得f(x)＋ax2－4ax＋4a－1>0恒成立
D.对任意两个正实数x1，x2，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2>4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.写出一个值域为(－∞，1)，在区间(－∞，＋∞)上单调递增的函数f(x)＝ 。
14.青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一。如图是一个陶艺青花瓷罐，其底座以上部分的轴截面曲线可以看成是椭圆的一部分。若该青花瓷罐的最大截面圆的直径为20cm，罐口圆的直径为16cm，且罐口圆的圆心与最大截面圆的圆心距离为3cm，则该椭圆的离心率为 。

15.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和乙所示。为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取3%的学生进行调查，则样本容量为 ；抽取的高中生中近视的人数为 。

16.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an>0，8Sn2＝an＋1(2Sn＋an＋1)，则＝ 。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
在①an＝an－1＋2(n≥2)，②an＝4an－1(n≥2)，③Sn＝Sn－1＋an－1－2n(n≥2)，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由。
设数列{an}的前n项和为Sn，首项a＝11， ，数列{bn}是等比数列，数列b1＝，b1b2＝b3是否存在k，使得对任意的n∈N＋，恒有anbn≤akbk？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分。
18.(12分)
在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a－4sinBcosC－4sinCcosB＝0，且c＝2。
(1)求C的大小；
(2)求a＋b的最大值。
19.(12分)
选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为。
(1)若采用3局2胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？
(2)若采用5局3胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制与选手实力对比赛结果的影响？
20.(12分)
如图，在三棱锥P－ABC中，PC⊥底面ABC，CA＝CB＝CP＝AB，M，N分别是PA，PB的中点，AN与BM交于点E，F是PC上的一个点，记(0<λ<1)。

(1)若EF//平面ABC，求实数λ的值；
(2)当λ＝时，求二面角A－EF－B的余弦值。
21.(12分)
已知双曲线C：(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线C右支上一动点P(x0，y0)到两条渐近线l1，l2的距离之积为。
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l是曲线C在点P(x0，y0)处的切线，且l分别交两条渐近线l1，l2于M、N两点，O为坐标原点，证明：△MON面积为定值，并求出该定值。
22.(12分)
已知函数f(x)＝ex－asinx－x，曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为x＋y－1＝0。
(1)求实数a的值，并证明：对∀x∈R，f(x)>0恒成立。
(2)设函数h(x)＝f(x)＋x－1，试判断函数h(x)在(－π，0)上零点的个数，并说明理由。

数学参考答案
第I卷（选择题）
一、单项选择题
1．A 2．B 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．A
二、多项选择题
9． AD 10．BD 11．ACD 12．ABD
12.【解析】对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，
∴时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，∴，故A正确；
对于B选项，，∴，
∴ 函数在上单调递减，又∵ ，，
∴ 函数有且只有1个零点，故B正确；
对于C选项，结合A选项可知，不存在负实数，使得恒成立，故C错误；
对于D选项，设，结合A选项可知，可证，D正确.故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
13.【答案】（答案不唯一） 14.【答案】 15. 【答案】； 16. 【答案】
16【解析】由已知，，，可得， ，
所以，，，因此.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
解：数列是等比数列，数列，，所以，
故数列是公比是等比数列，因此. …………………………………………2分
方案一：选条件①.
数列是公差是，首项为1的等差数列，因此. ….………………………4分
则，由解得，. ………………………8分
因此存在，使得对任意的，恒有成立. ………………………10分
方案二：选条件②
数列是公比是，首项为1的等比数列，因此…..….………………………4分
则，所以由可知，
数列是公比是，首项为的递增等比数列，….……………….……………………8分
因此不存在，使得对任意的，恒有成立. ….……………………….10分
方案三：选条件③
，所以，…..….………………………4分
所以，即，
，当时，，…..….……………………….…………………………….8分
因此存在，使得对任意的，恒有成立. …….……………………10分
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.

18.（本小题满分12分）
解：（1）由得.…………2分
由正弦定理得，因为，所以.…………4分
又因为△ABC是锐角三角形， 所以．………………………6分
（2）解法一：因为，，
由余弦定理得，，即.…………………………8分
所以，即．
所以，当且仅当时，等号成立
因此的最大值是4．…………………………………………………12分
解法二：因为，，
由正弦定理得， .……………………………………………………8分
所以，
当且仅当时，等号成立，
因此的最大值是4．…………………………………………………12分

19. （本小题满分12分）
解：（1）采用3局2胜制，甲获胜有两种可能的比分2：0或2：1，因为每局比赛的结果是独立的，所以
甲、乙比赛，甲获胜的概率为..4分
甲、丙比赛，甲获胜的概率为6分
（2）采用5局3胜制，甲获胜有3种可能的比分3：0，3：1或3：2，
因为每局比赛的结果是独立的，所以
甲、乙比赛，甲获胜的概率为

甲、 丙比赛，甲获胜的概率为
..10分
因为，所以甲、乙比赛，采用5局3胜制对甲有利；
因为，所以甲、丙比赛，无论采用5局3胜制还是采用3局2胜制，甲获胜结果是一样的，这说明比赛局数越多对实力较强者越有利。.. ..12分

20. （本小题满分12分）
解：（1）分别是的中点，与交于点，
则点是的重心，连接并延长交于点，所以，..2分
连接，则直线是平面与平面的交线，
因为平面，所以，
所以在中，，
由已知，所以.4分

（2）不妨设，则，所以，
在中，，所以，
由题意在三棱锥中，底面，
所以，．
以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，.6分
则，，，，，
当时，由（1）可知，在中，，，
所以，

，8分
设平面的法向量为，则，即，
取
设平面的法向量为，则，即，
取10分
设二面角的大小为，由题意可知，为钝角，
所以..12分

21.（本小题满分12分）
解：（1）设双曲线的焦距为，则
不妨设双曲线的两条渐近线方程为，，
则由题意得，
即
又因为，所以，即
由，可得，
所以双曲线的方程为；..4分
（2）由（1）可得双曲线的两条渐近线方程为，，
由于直线与双曲线右支相切，切点为
当时，则直线的斜率不存在，
此时分别交两条渐近线，于、，面积为.6分
当时，则直线的斜率存在，
设直线的方程为，
则消得，由题意可知
由，可得..8分
设与轴交于一点，，
，
由，解得
由，解得，.10分
因为，所以
.
综上，面积为定值，该定值为..12分
22.（本小题满分12分）
解：（1），则，
已知函数在点处的切线方程为，
所以3分
下面证明对恒成立.
当，
当时，可证明（证明略），
因此，欲证，只需证明，即证明.
因为成立，所以对恒成立..6分
（2）由题意可知，，
当单调递增，
故在上存在唯一零点.
当时，设
在上单调递增
又
故存在唯一，使得即
当单调递减
当时，， 单调递增.. .. .. .. .10分
又
故存在唯一的，使单调递增
单调递减
而故在上没有零点
综上，在上只有一个零点.. .. .. .. ... .12分