湖北省七市教科研协作体2021届高三数学下学期3月联考试题.doc

湖北省七市教科研协作体2021届高三数学下学期3月联考试题

湖北省七市教科研协作体2021届高三数学下学期3月联考试题

年级：
姓名：

11

湖北省七市（州）教科研协作体2021届高三数学下学期3月联考试题
本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x|log2x>1},B={x||x-1|<3},则A∩B=
A.(-2,4) B.(1,2) C.(1,4) D.(2,4)
2.设i·z=4-3i(i为虚数单位），则复数z的虚部为
A.-4 B.4 C.-4i D.4i
3.已知等比数列{an}中，a3=4,a2a7=8a4,则a1=
A.1 B.2 C.±1 D.±2
4.2020年，我国脱贫攻坚已取得决定性胜利，下图是2015-2019年年末全国农村贫困人口和贫困发生率（贫困人口占目标调查人口的比重）的变化情况（数据来源：国家统计局2019年统计年报）.根据图表可得出的正确统计结论是

A.五年来贫困发生率下降了5.2个百分点
B.五年来农村贫困人口减少超过九成
C.五年来农村贫困人口减少得越来越快
D.五年来目标调查人口逐年减少
5.已知圆M过点A(1,-1),B(1,2),C(5,2),则圆M在点B处的切线方程为
A.3x+4y-2=0 B.3x-4y-2=0 C.4x-3y+2=0 D.4x3y-2=0
6.函数(x∈[-π,0) ∪(0,π])的大致图象为

7.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进人决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为
A. B. C. D.
8.已知函数f(x)是定义在区间（0,+ ∞)上的可导函数，满足f(x)>0,且f(x)+f '(x)<0（f '(x)是f(x)的导函数），若0<a<1<b且ab=1,则下列不等式一定成立的是
A.f(a)>(a+1)f(b) B.f(b)>(1-a)f(a) C.af(a)>bf(b) D.af(b)>bf(a)
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设a,b,c,d为实数，且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的是
A.c2<cd B.a-c<b-d C.ac>bd D. >0
10.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
A.f(x)的最小正周期为2
B.把y=f(x)图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数
g(x)=2cos 2x的图象
C.f(x)在区间［,］上单调递减
D.( ,0)是y=f(x)图象的一个对称中心
11.已知抛物线Γ:x2=4y的焦点为F,过F与y轴垂直的直线交抛物线Γ于M,N两点，则下列说法正确的是
A.点F的坐标为（1,0) B.抛物线Γ的准线方程为y= -1
C.线段MN的长为4 D.直线y=x-2与抛物线Γ相切
12.半正多面体（semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美。二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为,则

A.BF⊥平面EAB
B.该二十四等边体的体积为
C.该二十四等边体外接球的表面积为8π
D.PN与平面EBFN所成角的正弦值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位
置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
13.已知矩形ABCD中，AB=2,AD=1,设AC与BD交于点O,则=
14.二项式的展开式中，x的系数为270,则：（1)a= ，（2)该二项式展开式中所有项的系数和为 ．（本题第一空3分，第二空2分）
15.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗，到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1-m2=2.5(lg E2-IgE1),其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的 倍。（结果精确到0.01.当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2)
16.已知双曲线C: ＝1(a>0,b>0)的右焦点为F(3,0),点N的坐标为（0,2),点M为双曲线C左支上的动点，且ΔMNF的周长不小于20,则双曲线C的离心率的取值范围为 .
四、解答题：本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分）
在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且4cos(A+C)+2cos 2B+3=0.
（1)求角B;
（2)若D是BC的中点，AD=4,AB=8,求ΔABC的面积．

18.(12分）
已知等差数列{an},其前n项和为Sn,若a1+a3=10,S3=35.
（1)求数列{an}的通项公式；
（2)若数列{bn}满足：a1b1+a2b2+a3b3+···+anbn=1+(2n-1)2n,求数列的前n项和Tn.

19.(12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//DC, ∠BAD=90°,
PD=DC＝BC=2PA=2AB=2,PD⊥DC.
（1)求证：PA⊥平面ABCD;
（2)设 (0<λ<1),当二面角A-PM-B的余弦值为时，求入的值。

20.(12分）已知椭圆C1：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是双曲线C2: =1的左、
右顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为.
（1)求椭圆C1的方程；
（2)设椭圆C1的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),经过左焦点F1的直线l与椭圆C1交于M,N两点，且满足的点P也在椭圆C1上，求四边形F2MPN的面积．

21.(12分）
某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n-1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p,且每个电子元件能否正常工作相互独立。若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修。
（1)当n=2,p=时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设ξ为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求ξ的分布列与数学期望；
（2)为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？

22.(12分）
已知函数，其中e=2.718 28···为自然对数的底数．
（1)求f(x)的单调区间；
（2)若ex-2xlnx-kx-1≥0对x>0恒成立，记kmax=λ,证明：λ>1.1.

湖北省七市（州）教研协作体2021年高三年级3月联考
数学参考答案
一、单项选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
B
C
A
D
C

二、多项选择题
题号
9
10
11
12
答案
AD
CD
BC
BCD

三、填空题
13． 14． 15． 16．

四、解答题
17．（1）因为，所以，由，
可得，即， 3分
得，因为，所以. 5分
（2）在中，由余弦定理可得，
即，即，解得. 7分
所以. 10分

18．（1）因为，所以，解得， 2分
所以． 4分
（2）由(1)得:，①
所以，②
两式相减得：，所以， 7分
又由式得，适合上式，所以． 8分
所以， 10分
所以． 12分

19．（1）因为是直角梯形，∥，，所以，
又因为，，所以平面，
又因为平面，所以， 2分
取的中点，连接，在中，，，可得，
所以，又，所以，所以， 4分
又，所以平面. 5分
（2）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，所以，，
设平面的法向量，由，
得，令，得， 7分
设，由，得，
所以，所以，，
设平面的法向量，由，
得，令，
得平面的一个法向量为. 9分
设二面角的平面角为，
则有，
解得或，因为，所以. 12分

20．（1）椭圆的左右焦点分别为，，而双曲线：的顶点分别为，，
所以． 1分
又椭圆的上顶点为，而双曲线：的一条渐近线为，
则有，解得． 3分
，所以椭圆的方程为． 4分
（2）设直线的方程为，一定存在），代入，并整理得，
△恒成立，设，，，，
则，． 5分
设，，由，得，
即，又点在椭圆上，故，
即，解得（舍负）， 8分
因为满足的点也在椭圆上，所以四边形是平行四边形，
设四边形的面积为，则有
， 11分
代入，得四边形的面积． 12分

21．（1）当时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为 1分
设为该电子产品需要维修的系统个数，则， 2分
∴ 4分
∴的分布列为

∴ 6分
（2）记个元件组成的系统正常工作的概率为.个元件中有个正常工作的概率
为，因此系统工常工作的概率 7分
在个元件组成的系统中增加两个元件得到个元件组成的系统，则新系统正常
工作可分为下列情形：
（a）原系统中至少有个元件正常工作，概率为； 8分
（b）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，
概率为； 9分
（c）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，
概率为 10分
因此，

故当时，单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性. 12分

22．（1）， 1分
易证当时，，则，即，
所以，故在，上单调递增． 4分
（2）由题意得，，
令，要证：，即证．
，
令，则，，
所以在上单调递增，又，，
故，使得，即． 6分
所以，有，单调递减；
，，单调递增．
所以，，，
，所以存在，使得，
即，且满足，，单调递减；
，，单调递增；
所以． 8分
令，则，故单调递减，
又，所以． 9分
则只需证明，
又，可先证明，又，，则，
所以，而，所以，证毕！ 12分
注：关于的证明下面再给出一种证法:
由对数均值不等式（需要证明）得，即，
又，所以，证毕！