江西省六校2021届高三数学下学期3月联考试题-理.doc

江西省六校2021届高三数学下学期3月联考试题 理

江西省六校2021届高三数学下学期3月联考试题 理

年级：
姓名：

10

江西省六校2021届高三数学下学期3月联考试题 理
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集为R，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，不共线，且，，若与方向相反，则实数k的值为（ ）
A. B. C.1或 D. 或
4.已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（ ）
A. B. C. D.8
5.已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点，设直线的倾斜角为，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.将函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标保持不变，得到图象，若，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在直角坐标系中，点，点，点A在x轴上、曲线与线段交于点.若在四边形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）

A. B. C. D.
8.甲、乙、丙三人中，一人是董事长，一人是总经理，一人是秘书，已知丙的年龄比秘书的大，甲的年龄和总经理不同；总经理的年龄比乙小，则下列判断正确的是（ ）
A.甲是董事长，乙是秘书，丙是总经理 B.甲是秘书，乙是总经理，丙是董事长
C.甲是秘书，乙是董事长，丙是总经理 D.甲是总经理，乙是秘书，丙是董事长
9.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，且甲、乙不在同一路口的分配方案共有（ ）
A.18种 B.24种 C.36种 D.42种
10.已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.已知双曲线的左顶点为A，直线l经过A点且斜率为，以右焦点F为圆心、为半径的圆与直线l从左往右依次交于P、Q两点（O为坐标原点），若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
12.已知关于x的不等式对任意的都成立，则实数k的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若x，y满足约束条件，则的最大值为________.
14.某射击运动员一次击中目标的概率是，连续两次击中目标的概率是，已知该运动员第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率是________.
15.已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，，则正整数m的值为________.
16.在棱长为2的正方体中，点P是直线上的一个动点，点Q在平面上，则的最小值为________.
三、解答题：共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）已知点D在边上，，，，求的面积.
18.如图，已知三棱台，平面平面，和均为等边三角形，，O为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19.已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为M，，且原点O到直线的距离为.
（1）求椭圆C的方程：
（2）己知斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，求的取值范围.
20.已知
（1）讨论在上的单调性；
（2）设，试判断在R上的零点个数，并说明理由.
21.某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的2倍，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的.
（1）若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排2个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次接种花费元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续2次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次花费元，每个周期接种3次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当，时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
附：，

0.10
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22.平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），在以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：上，且点P到极点O的距离为4.
（1）求曲线C的普通方程与点P的直角坐标；
（2）求的面积.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求a的取值范围.
江西省六校2021届高三联考数学（理）试卷答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
B
A
B
B
C
D
C
C
B
12.
∴
，∴
13.2 14. 15.5 16.
17.（Ⅰ），
∴
∵，∴
（Ⅱ）根据题意，为等边三角形.
在中，由余弦定理得，
∴的面积
18.（1）取的中点为F，连接，，
∵，∴O，B，，F四点共面，
∵，，∴平面
（2）补全三棱锥
在中，，
即为等腰三角形，所以
由（1）知，平面，平面，
所以
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系

设，则，
，，，
，，
设平面的法向量为

取，则
设直线与平面所成角为
所以
19.（1）由题可得曲线C的方程为
（2）设直线的方程为，
联立方程
化简得
因为直线l交椭圆于A，B两点，
故，解得
又，
，
所以
20.（1）
∴在递增，在递减；
（2）易知是偶函数，当时，
，，
，，易知
∴在有唯一零点；
当，
又，由对称性知在R上有且只有3个零点.
21.解：（1）设男性患者有z人，则女性患者有人，列联表如下：

Ⅰ型病
Ⅱ型病
合计
男

z
女

合计

要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则，
解得，
∵，，
∴z的最小整数值为12，
∴男性患者至少有12人；
（2）①设甲研发团队试验总花费为X元，
则X的可能取值为，，，
∵，
，
，
∴
在递减，∴
设乙研发团队试验总花费为Y元，则Y的可能取值为，，
∴，
，
∴，
设，
∴该函数递减，
∴恒成立，
∴该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
22.（1）曲线C的参数方程为（为参数）
化简为，
根据消参
∴曲线C的普通方程为
利用极坐标化直角坐标的公式：
点P的极坐标为，直角坐标为.
（2）圆心，
，即
点P到的距离，且，
∴.
23.（1）当时，
当时，由得，解得；
当时，无解：
当时，由得，解得.
所以的解为.
（2）.
当时，，
由条件得且，解得，
故满足条件的实数a的取值范围为.