基于小增益和Lipschitz条件的闭环EIV系统稳定性分析.pdf

收稿日期:基金项目:江西省科技厅面上项目()江西省自然科学基金面上项目()作者简介:王建宏()男副教授博士研究方向为自适应预测控制、系统辨识、数据驱动控制、飞行控制、工程控制等:.王建宏张金龙罗熙.基于小增益和 条件的闭环 系统稳定性分析.南昌大学学报(工科版)():.()():.基于小增益和 条件的闭环 系统稳定性分析王建宏张金龙罗熙(江西理工大学电气工程与自动化学院江西 赣州)摘要:研究了带有输入扰动和输出扰动的闭环变量带误差系统的稳定性分析 针对一个闭环变量带误差系统无论是线性还是非线性可以将其模型看成反馈互联系统闭环变量带误差系统的扰动项视为反馈互联系统的输入然后利用小增益定理判断反馈互联系统的有限增益 稳定从而判断闭环变量带误差系统的稳定性 同时也给出了使用 条件的方法推导并判断系统的稳定性 最后使用数值仿真验证理论结果关键词:稳定性分析闭环变量带误差有限增益稳定小增益 条件中图分类号:文献标志码:文章编号:()():().:系统是普遍存在、随处可见的目前许多实际的系统都是在反馈控制的情况下运行 实际系统中由于传感器故障、测量方法及周围环境的干扰等很多因素测量误差十分普遍地存在于很多领域例如经济、医疗、工业过程等 对于输入和输出都受到外界噪声干扰的系统称为变量误差()系统目前对 线性系统动态辨识的研究比较广泛对 系统做了调查给出了 系统识别的背景、动机和识别的几种方法 等提出了当测量噪声相互关联时 的识别方法并将广义工具变量估计器()推广到输入噪声和输出噪声相互关联的白噪声变量误差模型中 等将结构方程模型()应用到 系统中提出了如何将 单输入单输出()系统表示为 的 种方案 等讨论研究了当无噪声输入没有周期性为任意信号时 模型的识别问题提出了最大似然方法 等使用图形子空间方法处理 系统参数的估计提出了一种比常用的最小二乘法更为通用的估计算法 等在变量误差框架内对线性动态系统的非参数识别 等研究了 系统参数的非渐近置信区域的构造问题后面又研究了变量误第 卷第 期 年 月 南昌大学学报(工科版)().差系统传递函数的非渐近置信区 域 等研究了干扰为有色噪声、输入为准平稳的线性动态 的问题提出了扩展的频域极大似然估计的新公式它减少了非线性正态方程的解的数量要求目前许多研究大部分都是对 线性系统进行识别而没有对其稳定性进行分析 本文在 系统的基础上加点改进在其输出端加上负反馈那么系统的输入和输出噪声干扰会影响到系统的稳定性 对于一个系统而言稳定性是第一位而李雅普诺夫函数是验证系统稳定性的一种常用方法 但是该方法是一个充分条件很难构造一个满足充分条件的李雅普诺夫函数 因此针对闭环变量带误差系统使用以下 种方法 第 种是直接使用输入输出稳定的小增益定理避免了构造李雅普诺夫函数的困难 第 种是使用 条件推出系统是有界输入有界输出稳定的这 种方法本质上相同第 种是受到了关于非线性闭环系统结构的稳定性分析的启发特别是使用 对系统稳定性的推理小增益定理超越了李雅普诺夫理论在过去 年里对不确定系统的稳定性分析和综合控制发挥了重要作用是现代控制理论历史上的一个里程碑 等将小增益定理改进并应用到以外部干扰为输入的闭环事件触发系统的输入状态稳定性()分析 等将输入输出稳定的小增益定理应用到混合子系统所组成的大型互联系统中 等在事件触发控制的研究中利用了输入到状态稳定的小增益定理将事件触发控制问题转化为输入状态稳定问题并利用 的小增益参数来严格检验事件触发控制的前向完备性提出了一种控制非线性不确定系统事件触发控制设计的新方法解决了非线性基准测试系统的事件触发控制问题 等将输入到状态稳定的小增益定理应用到自适应反馈控制器的设计 将自适应神经设计、输入状态稳定分析和小增益定理相结合解决了非仿射纯反馈系统控制的难题避免了闭环系统整体李雅普诺夫函数的构造从而克服了纯反馈系统神经网络控制中的循环设计问题 小增益定理的基本知识 在研究闭环变量带误差系统的稳定性分析之前先了解有关小增益的一些基本知识首先给出以下定义定义 信号:)它把时间区间)映射到 维欧式空间 即对于)有()()()则对于分段连续 范数类有界信号(函数)空间 信号 全时间过程在 空间的信号范数被定义为()/()定义 )称为扩充空间.系统有限增益 稳定假如系统输入输出映射关系为 其中 是映射或算子 表示 对 的运算不是简单的乘积并且映射:是因果的充要条件为()()下面定义有限增益 稳定的概念定义 一映射:是有限增益稳定的如果存在非负常数 和 对所有的 和)使得()()满足式()的最小增益 被称为系统增益系统有一小于或等于 的 增益有限增益 稳定性是一个输入输出意义上的稳定性因信号空间的不同有限增益 稳定可分为、稳定其中 稳定对每个有界输入()其对应的输出()是有界的因此 稳定也被称为输入有界输出有界稳定或称系统具有有界输入有界输出稳定性对定义 说明:)定义中 项为偏移项 包含 项是为了便于在 时 的系统使用)系统增益 取值应尽可能小)范数是在信号函数空间定义的下标 不能省略在全时间过程进行度量)对于因果的且有限增益 稳定的系统作如第 期 王建宏等:基于小增益和 条件的闭环 系统稳定性分析下推导:()则有 即()等价)定义是以映射 是因果的为前提的)如果存在正常数 使对所有的 满足()则称 是小信号有限增益 稳定的.反馈互联系统的小增益定理如图 所示反馈互联系统的结构由 和 两子系统构成 设系统:和系统:都是有限增益 稳定的分别满足 )()()互联后各信号可以向量表示为 设互联反馈系统在以下意义上是确定的:对每对输入 和 存在唯一的输出 和图 反馈互联系统.反馈互联系统有限增益 稳定被定义为 有限增益 稳定其向量表示为()式中:为一正值常数矩阵对于、和)式()可分解表示为 ()()易证明 有限增益 稳定当且仅当 有限增益 稳定 因此当、中任何一个是有限增益 稳定时反馈互联系统都是有限增益 稳定的参与互联的子系统 和 分别满足有限增益 稳定条件式()和式()并不一定能保证整个反馈互联系统有限增益 稳定 为了研究什么条件能够实现有限增益 稳定引出了小增益定理 小增益定理如下:在前述系统假设下如果反馈互联系统回路总增益 则反馈互联系统是有限增益稳定的 证明如下证明 在图 的反馈互联系统中假设、存在由互联关系得 ()()()()由于其子系统是有限增益 稳定的满足式()、式()联合式()和式()可得:()()()()因为 所以对所有的)有 ()()同理联合式()和式()可以得到 ()()证明完毕注:该方法是充分条件具体见仿真分析 闭环变量带误差系统稳定性分析 对于一个系统而言稳定性处在第一位而系统含有扰动是不可避免的所以对含有扰动的系统进行稳定性分析至关重要.闭环变量带误差系统结构变量误差()系统是指系统测量输入输出数据中均存在噪声干扰的系统在其输出位置加上一个反馈形成闭环变量带误差系统 闭环变量带误差系统结构如图 所示其中 为被控对象 为闭环反馈控制器()为系统测量输入()为系统测量输出()为系统实际输入()为系统实际输出()和()是外界噪声扰动即测量值与实际值之间的差值南昌大学学报(工科版)年图 闭环变量带误差系统结构.根据图 反馈互联系统和图 闭环变量带误差系统结构两图相比较假设()()看作()看作 那么闭环变量带误差系统的稳定性等同于反馈互联系统的稳定性.线性时不变闭环变量带误差系统稳定性从能量观点出发使用 稳定性对系统做稳定性分析假设子系统是线性时不变系统对于线性时不变系统 ()式中:为 的 设()()则系 统 有 限 增 益 稳 定 其 增 益 等 于()证明如下证明 由于是线性系统不失一般性令()则 的 变换是()()()()()输出 的 范数()()/()由 定理得()()()()()根据式()式()可得输出 的 范数平方为()()()()()()()()()()()()()这种方法叫频域法式()说明该系统的 增益必小于或等于()实际上该线性系统的 增益恰好等于()其他情况下只能求出 增益的上界.非线性闭环变量带误差系统稳定性分析上面是对线性时不变的变量带误差系统求系统增益 接下来对于非线性的闭环变量带误差系统同样可以求系统增益并利用小增益定理判断系统稳定性 但是除了直接用小增益定理之外还有另外一种方法即假如子系统是 的可以使用 条件直接对整个系统的输入输出性质进行推导从而确定系统的有限增益稳定性 本节主要使用 条件确定系统的有界输入有界输出稳定性其等同于系统的有限增益 稳定性以图 反馈互联系统为例作如下假设条件:)子系统、满足 条件即系统是 的 以子系统 为例必然)和、满足()()式中:、为子系统 的输入 为非负实数也称 常数 常数与使用的范数有关如式()使用的是无穷范数 本节主要以无穷范数为例进行推导运算)、有界即根据图 所示反馈互联系统的结构得到()()()()()()()()()()为了方便对式()符号变换即()()()()()假设此时()()()是满足上述假设条件)和条件)则有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()此时()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()第 期 王建宏等:基于小增益和 条件的闭环 系统稳定性分析联合式()式()可得()()()()()()其中()同样地经过一些计算可以得到以下结果()()()()()()()()()()继续计算最终得到()()()()如果 则 式()可化简为()()()故该反馈互联系统是输入输出稳定的 该方法与反馈互联系统的小增益定理进行比较相当于有限增益 稳定下面将 种方法进行比较对于小增益定理将反馈互联系统按输出形式展开根据式()式()得到 ()()()()()将式()进一步化简得到 ()()故系统的输出 对有界输入 和 是输出有界的 这意味着可以从能量角度(范数)和输入有界输出有界(无穷范数)的角度判断闭环变量带误差系统的稳定性当然也可以其他范数形式判断稳定性 除了可以直接使用小增益定理证明稳定性外还可以使用 条件直接进行推导来实现稳定性判断接下来本文给出两者的联系 通过将式()和式()相比较可以发现 ()()()联合式()式()可以轻易得到 ()()()()因此这 种分析方法本质相同相互联系当一种方法不好分析系统稳定性时可以用另外一种 仿真算例 在本节中为了验证所提出的闭环变量带误差系统稳定性分析的可行性和有效性本文分别对线性闭环变量带误差系统和非线性闭环变量带误差系统展开数值仿真并对仿真结果进行分析讨论.线性闭环变量带误差系统仿真下面进行数值仿真验证对于图 结构形式的线性闭环变量带误差系统将其看作反馈互联系统则()()看作()看作 闭环变量带误差系统的输出看作 假设输入()干扰是白噪声并将其放大 倍并且()()其中().()().()将式()和式()转化为如式()形式的状态方程可以得到子系统的系统矩阵 和 都是 的 将扰动看作反馈互联系统的输入可直接使用小增益定理判断系统稳定性以子系统()为例令 南昌大学学报(工科版)年则().()根据式()可求得()()()()()(.)(.)()其中:表示共轭转置 同样地()也是如此()和()的图形如图 所示则其增益为().()故 整个闭环变量带误差系统是有限增益 稳定的 系统扰动误差与系统输出仿真结果如图 所示可以看出输出有界 如图 所示将系统扰动误差与系统输出放在一起比较发现系统可以在很大扰动下保持输出有界稳定1.00.80.60.40.2010-1-22G(jw)的二范数C(jw)的二范数图 系统传递函数频域二范数.60402001802001201008014016040200-20-40白噪声干扰/6040200180200120100801401600.30.1-0.1输出y1/图 系统扰动和输出曲线图.为了验证小增益定理对闭环变量带误差系统的稳定性分析是充分条件可以保持其子系统()不变将子系统()变为().则可取()由于()不变可以得到.()不满足小增益定理 此时系统扰动和输出曲线如图 所示系统扰动和输出曲线对比如图 所示整个系统仍然是有界输入有输出稳定的故小增益定理是充分条件白噪声干扰输出y140200-20-40604020018020012010080140160/图 系统扰动和输出曲线对比图.60402001802001201008014016040200-20-40白噪声干扰/6040200180200120100801401600.40.20-0.2输出y1/图 时系统扰动和输出曲线图.白噪声干扰输出y140200-20-40604020018020012010080140160/图 时系统扰动和输出曲线对比图.第 期 王建宏等:基于小增益和 条件的闭环 系统稳定性分析.非线性闭环变量带误差系统仿真对于非线性闭环变量带误差系统其子系统是非线性的不能写成传递函数的形式接下来本文使用 增益的小增益定理来对系统的稳定性进行分析并对结果进行讨论验证将非线性闭环变量带误差系统看作反馈互联系统同理.小节 此时()()看作()看作 非线性闭环变量带误差系统的输出看作 假设输入()干扰()()且是白噪声的.倍则有()()().()()().()().()假设子系统 的输入输出关系为()()()子系统 的输入输出关系为()()其中、是非负常数下面推导输出和输入之间的不等式关系对于子系统 对双曲正切函数求导得()()()()当 时函数斜率有最大值故有()()()()根据式()和式()得 ()()()根据式()或式()可知 的系统增益为 ()同理对于式()对于子系统 可以得到()其系统增益为()如果使用 的分析方法会发现 个子系统的 常数就是 和 在对参数、赋值之前先作如下分析根据式()将不等式的右端设为()则()()()根据式()和式()得 ()令 可得()()其中 和 是常数()对 求偏导数得()()()根据式()、式()、式()()随 和 的增大而增大 当 和 的值变小()会变小从而整个反馈互联系统的输出上界会变小因此 和 的值越小越好但是对于系统实际的输出上界并不是这么简单的规律具体分析如下在非线性闭环变量带误差系统中子系统如式()和式()对参数、取不同的值可以得到不同的系统增益 和 则在子系统构成的非线性闭环变量带误差系统中令 和 取.或.对于不同的 和 值输出 的曲线如图 图 其中 取.有 .取.有 .对于 取.或.有 .或 .图 中:.()根据式()、式()、式()、式()、式()得(.).()同理图 中:.()(.).()同理图 中:.()南昌大学学报(工科版)年(.).()同理图 中:.()(.).()根据式()、式()、式()、式()得(.)(.)(.)(.)(.)当 变小时 会缩小造成上述情况的原因是 变小时变大设.从.变到.时 的曲线如图 所示增益变小后上界变大6040200180200120100801401601.00.90.80.70.6e1变小前/6040200180200120100801401601.42.21.00.80.6e1变小后/图 变小前后的 曲线图.第 期 王建宏等:基于小增益和 条件的闭环 系统稳定性分析 结束语 本文研究了闭环变量带误差系统的输入输出意义上的稳定性分析 在分析之前将系统视为黑盒子只过问输入、输出不过问系统内部状态并给出了输入输出意义上的稳定性概念 稳定性和反馈互联系统的小增益定理 对于含有输入输出扰动误差的闭环系统将其看作是一个反馈互联系统可以直接应用小增益定理对闭环变量带误差系统进行稳定性分析 除此之外还可以使用 常数并利用几何级数的收敛性进行稳定性分析 另外针对这 种稳定性分析方法给出了其中的联系 最后使用数值分析证明了该方法的有效性和可行性并对仿真结果进行讨论 同样地该稳定性分析方法可以扩展到其他闭环控制系统中比如模型预测控制和自适应控制等参考文献:.:.:.():.():.:.:.:.:.:.():.:.():.:.:.:.():.():.():.():.李殿璞.非线性控制系统.西安:西北工业大学出版社.南昌大学学报(工科版)年