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第二章 解 三 角 形
本章概述
●课程目标
1。双基目标
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量学、力学、运动学以及几何计算等有关的实际问题.
2。情感目标
(1)通过对任意三角形边角关系的研究，培养学生的归纳、猜想、论证能力及分析问题和解决问题的能力。
（2）通过解决一些实际问题,培养同学们的数学应用意识,激发同学们学习数学的兴趣，感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活.
(3）正弦定理、余弦定理的探索和验证、使用计算器进行近似计算等.一方面，同学们借助技术手段，从事一些富有探索性和创造性的数学活动，可以培养同学们的探索精神和创新精神；另一方面，借助计算器可以解决计算量大的问题，也可以根据实际需要进行近似计算，有利于激发同学们学习数学的兴趣.
●重点难点
重点：运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系，运用这两个定理解决一些测量以及与几何计算有关的实际问题。
难点：正、余弦定理的推导以及运用正、余弦定理解决实际问题。
●方法探究
1.注重知识形成的过程，通过从特殊到一般,再从一般到特殊的过程，引导我们从猜想、验证到证明等环节自主研究，从而养成良好的学习习惯。
2。注重数学与日常生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力.
3。学习本章应注意的问题
(1)重视数学思想方法的运用.解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时， 要注意函数与方程思想的运用.
（2）加强新旧知识的联系。本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有密切联系.同时要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力。
(3)提高数学建模能力.利用解三角形解决相关的实际问题，关键是读懂题意，找出量与量之间的关系,根据题意作出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型.
§1 正弦定理与余弦定理
第1课时 正 弦 定 理
知能目标解读
1。通过对特殊三角形边长和角度关系的研究,发现正弦定理，并初步学会这种由特殊到一般的思想方法来发现数学中的规律.
2.掌握用向量法证明正弦定理的方法，并能用正弦定理解决一些简单的三角形相关的度量问题。
3.学会用三角函数及计算器求解一些有关解斜三角形的近似计算问题。
重点难点点拨
重点:正弦定理的证明及利用正弦定理解题。
难点:已知三角形的两边和其中一边的对角，判定三角形解的情况.
学习方法指导
一、正弦定理
1.正弦定理指出了任意三角形的三边与对应角的正弦之间的关系式.结合正弦函数在区间上的单调性知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中的边与角的一种数量关系.
2。正弦定理的证明
正弦定理的证明，教材上通过构造向量投影相等的方法进行了证明.除此之外，还可以运用向量法和三角函数定义法给予证明。
方法一:建立直角坐标系,借助三角函数的定义进行证明.
在如图所示的直角坐标系中，点B,C的坐标分别是
B（ccosA，csinA),C(b,0).于是S△ABC=bcsinA.同理S△ABC还可以表示成absinC和acsinB.
从而可得==。
方法二：如图所示：当△ABC为锐角三角形时，设边AB上的高为CD，根据三角函数的定义,有CD=bsinA,CD=asinB，
所以bsinA=asinB，即＝;
同理可得=。
所以＝＝。
如下图所示,当△ABC为钝角三角形时，设A为钝角，AB边上的高为CD，
则CD=asinB，CD=bsin(180°－A）=bsinA。
所以asinB=bsinA，
即＝；
同理＝。
所以＝＝.
当△ABC为直角三角形时，上式也成立.
方法三:如下图所示：过A作单位向量j垂直于.由+=，
两边同乘以单位向量j，得j·(+)=ｊ·。
则j·+j·=j·。
∴１j｜｜|cos90°+｜ｊ|||cos(90°—C)=｜ j|｜|cos(90°-A)。
∴asinC=csinA。
∴=。
同理,过C作j垂直于，得=，
∴==。
二、利用正弦定理解三角形的类型
(1)已知两角与一边,用正弦定理,有解时，只有一解。
（2）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解，在△ABC中，已知a,b和∠A时，解的情况如下:.
∠A为锐角
∠A为钝角或直角
图 形
关
系
式
①a=bsinA
２a≥b
bsinA〈a<b
a<bsinA
a〉b
a≤b
解的个数
一解
两解
无解
一解
无解
三、三角形常用面积公式
（1）S=aha（h a表示边a上的高）；
(2)S=absinC=bcsinA=acsinB;
（3)S=r(a+b+c）（r为三角形内切圆半径）.
四、应用正弦定理的解题规律
1。正弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律，是解三角形的重要工具.同时在三角形中与三角函数、平面向量有密切的联系。
2.利用正弦定理可以解决两类解三角形问题:一类是已知两角和任一边，求其他两边和一角；另一类是已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。
3.解题时，要注意“三角形内角和为180°”、“在一个三角形中，大边对大角”等平面几何性质的运用.
4.要注意正弦定理的变式在解题中的应用，在解题时体会分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的应用。
知能自主梳理
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 相等，即 =
= .
［答案］ 正弦的比
思路方法技巧
命题方向 正弦定理的理解
［例1］ 有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于直角三角形;
③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；
④在△ABC中，sinA：sinB：sinC=a：b:c.
其中正确的序号是 。
［分析］ 紧扣正弦定理进行推理判断.
［答案］ ③④
［解析] 正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确。
[说明］ 公式、定理的适用条件与公式、定理本身同样重要。
变式应用1
满足sinA：sinB：sinC=1:2：3的△ABC是否存在？
［解析] 假设满足条件的△ABC存在，并设内角A,B，C的对边分别是a，b,c。则由正弦定理知＝＝。
又∵sinA:sinB： sinC=1：2：3，
∴a：b：c=1：2：3.
则ｂ，=2a,c=3a，∴a+b=c.
与三角形中两边之和大于第三边矛盾.
故满足sinA：sinB:sinC=1：2:3的△ABC不存在。
命题方向 正弦定理的应用
[例2］ 在△ABC中，已知∠A=45°,∠B=30°，c=10,求b.
［分析］ 先利用三角形内角和定理求角C，再利用正弦定理求边b。
［解析］ ∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=105°，
∵＝,sin105 °=sin(45°+60°）
＝×（+）=，
∴b=c·==5()。
［说明］ 本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，此类问题的基本解法是:
（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边；
(2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边。
变式应用2
已知△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a=c=+，
且∠A=75°,则b=（ )
A.2 B. － C.4—2 Ｄ.4+2
［答案］ A
［解析］ 由a=c=＋可知，∠C=∠A＝75°，∴∠B=30°，sinB=。
又sinA=sin75°=sin（30°+45°) =sin30°cos45°+cos30°sin45°
=×+×=。
由正弦定理，得b==＝２
故选A.
［例3］ （2012·儋州高二检测)在△ABC中，a=1， b=，∠A=30°，求边c的长。
[分析］ 由正弦定理求sinB→判断∠B的范围→确定∠B的值→求边c
［解析］ 由＝,得sinB=＝.
∵a〈b，∴∠B>∠A=30°
∴∠B为60°或120°.
(1）当∠B＝60°时，∠C＝180°－60°－30°＝90°.
此时，c===2。
（2)当∠B＝120°时，∠C＝180°－120°－30°＝30°。
此时，c=a=1.
[说明］ 利用正弦定理解三角形,若已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解的情况,应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况,作出正确取舍.
变式应用3
本例中,若a=3,∠A=60°,其他条件不变，则∠B是多少度？
［解析］ 由＝，得sinB=sinA
=×＝，得∠B=30°或150°，
又a>b，∴∠A>∠B，而∠A＝60°,
∴∠B=30°。
探索延拓创新
命题方向 求三角形的面积
［例4] 在△ABC中，B=30°,AB=2，AC=2，求△ABC的面积.
［分析] 首先要讨论三角形解的个数，然后利用三角形的面积公式求解.
［解析］ 由正弦定理，得＝，
∴sinC=＝＝。
∵AB〉AC，∴C〉B=30°，即C有两解.
∴C=60°或120°。
当C=60°时，A=90°，
S△ABC=AB·AC·sinA=×2×2sin90°=2;
当C=120°时,A=30°，
S△ABC=AB·AC·sinA=×2×2sin30°=。
综上可知，△ABC的面积为2或。
［说明］ 利用三角形的面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB即可求出三角形的面积，同时要注意解的个数。
变式应用4
在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b,c，已知A=，b=1，△ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积S= .
［答案］
[解析］ 由正弦定理＝=2R,
∴a=,sinB=，
∵a〉b，∴A〉B，∴B=，C=.
∴S△ABC=。
名师辨误做答
［例5］ 在△ABC中，若tanA：tanB=a2：b2，试判断△ABC的形状.
［误解] 由正弦定理得,
＝＝，
∴a2:b2=sin2A：sin2B,
∵tanA：tanB=a2：b2,
∴ ··。
∵sinA≠0，sinB≠0,
∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
∴2A=2B,
∴A=B。
故△ABC是等腰三角形.
[辨析] 在△ABC中，若sin2A=sin2B,
则2A=2B或2A+2B=π,
误解中漏掉2A+2B=π这一情况.
［正解］ 由正弦定理得，＝＝，
∴a2：b2=sin2A：sin2B,
∵tanA：tanB=a2：b2，
∴ ··。
sinA≠0,sinB≠0,
∴sinAcosA=sinBcosB,
∴sin2A=sin2B,
∴2A=2B或2A+2B=π，
∴A=B或A+B=，
故△ABC是等腰三角形或直角三角形。
课堂巩固训练
一、选择题
1。一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4,则30°角所对的边长为（ )
A。2 B。3 C.2 D.3
［答案］ C
［解析］ 设所求边长为x，由正弦定理得，
=,∴x=2,故选C。
2.已知△ABC中，a=1，b=，∠A=30°，则∠B=（ ）
A. B. C. 或π D. π或
[答案] C
［解析］ 由 ＝，得sinB=，
∴sinB= =,∴B=或π。
3。已知△ABC的三个内角之比为A：B:C=3：2：1，那么对应的三边之比a：b：c等于（ ）A.3：2:1 B。 ：2：1 C。 ：：1 D.2：：1
［答案］ D
A:B：C=3：２：１
［解析] ∵
A+B+C=180°
∴A=90°，B=60°,C=30°。
∴a：b:c=sinA：sinB：sinC
=1：：=2：：1。
二、填空题
4。在△ABC中，若b=1,c=，∠C=，则a= .
［答案] 1
［解析］ 由正弦定理，得
=，
∴sinB=。∵∠C为钝角,
∴∠B必为锐角，∴∠B=，
∴∠A=,∴a=b=1。
5.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，若∠A=105°,∠B=45°,b=2，则c= 。
[答案] 2
[解析］ 由已知,得∠C=180°-105°-45°=30°.
∵ =
∴c====2.
三、解答题
6。在△ABC中，已知A=45°，B=30°，c=10，求b。
［解析] ∵A+B+C=180°，∴C=105°.
∵=,
∴b==,
又∵sin105°=sin(60°＋45°)＝×+×=，
∴b=5(）。
课后强化作业
一、选择题
1.在△ABC中，下列关系中一定成立的是（ ）
A.a>bsinA B.a=bsinA
C.a<bsinA D.a≥bsinA
［答案］ D
［解析］ 由正弦定理，得＝，∴a=，在△ABC中,0〈sinB≤1,故≥1,∴a≥bsinA。
2.在△ABC中,已知（b+c):（c+a）：(a+b）=4：5：6,则sinA；sinB；sinC等于( ）
A.6：5：4 B.7：5：3
C。3：5:7 D.4：5:6
[答案］ B
［解析］ 设b+c=4x,c+a=5x，a+b=6x(x>0）,
从而解出a=x,b=x,c=x。
∴a：b：c=7:5：3。
∴sinA：sinB：sinC=7:5：3。
3.已知锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，则角C的大小为( ）
A。75° B.60° C。45° D.30°
［答案］ B
［解析］ 由题意，得×4×3sinC＝3，
∴sinC=,
又0°〈C<90°,∴C=60°.
4。不解三角形，下列判断中不正确的是 （ )
A。a=7,b=14，A=30°,有两解
B。a=30,b=25，A=150°，有一解
C.a=6，b=9,A=45°,无解
D。b=9，c=10,B=60°,有两解
[答案］ A
[解析］ 对于A，由于a=bsinA,故应有一解;对于B,a〉b,A=150°,故应有一解；对于C，a<bsinA，故无解;对于D,csinB〈b〈c,故有两解。
5.△ABC中，a=2，b=，B=，则A等于（ ）
A. B. C。 或 D。 或
［答案］ C
[解析］ ∵=,∴sinA=，
∴A=或A=，又∵a＞b，∴A＞B,∴A=或，∴选C。
6.（2012·潍坊高二期末)在ΔABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（ ）
A.— B。 C。— D。
［答案］ D
[解析］ 由正弦定理，得=
，∴sinB===。
∵a〉b，A=60°,∴B为锐角.
∴cosB= ==。
7.在△ABC中，a=10,B=60°，C=45°，则c等于 ( )
A。10+ B。10（-1） C.10（+1） D.10
［答案］ B
[解析］ 由已知得A=75°，sinA=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=
,
c===10（—1).
8.已知△ABC中，a=x,b=2，∠B=45°，若三角形有两解，则x的取值范围是（ ）
A.x>2 B.x<2 C。2<x<2 D。2〈x〈2
［答案] C
x>2
［解析] 由题设条件可知
xsin45°<2
∴2<x<2。
二、填空题
9。在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A＝，a=，b=1,则c= .
［答案］ 2
［解析］ 由正弦定理得sinB=·sinA=×=,
又∵b=1<a=,
∴B<A=,而0<B〈π，
∴B=,C=,
由勾股定理得c===2。
10。在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2。则此三角形的最小边长为 .
[答案］ 2-2
［解析］ ∵A=60°，C=45°,∴B=75°，
∴最小边为c，由正弦定理，得＝,
∴=］,
又∵sin75°=sin(45°+30°)
=sin45°cos30°+cos45°sin30°
=×+×＝，
∴c=＝＝2—2.
11.△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a=b,A=2B，则cosB= .
［答案］
［解析］ 由正弦定理，得 =，
∴a=b可转化为=。
又∵A=2B，∴=，
∴cosB=。
12.在△ABC中,已知tanB=，cosC=，AC=3，求△ABC的面积 。
［答案］ 6+8
［解析] 设在△ABC中AB、BC、CA的边长分别为c、a、b。
由tanB=，得B＝60°,
∴sinB=,cosB=.
又cosC=,∴sinC=＝.
由正弦定理，得c===8.
又∵sinA=sin(B+C）=sinBcosC+cosBsinC
=+,
∴S△ABC=bcsinA=×3×8×（+)=6+8。
三、解答题
13.在△ABC中,已知a=,b=，B=45°，求A、C及边c。
［解析] 由正弦定理得,sinA==＝ =，
∵a＞b，
∴A＞B=45°，
∴A为锐角或钝角(或asinB＜b＜a)，
∴A=60°或A=120°,
当A=60°时,C=180°—45°—60°=75°，
sin75°=sin（45°+30°）= ×+×=,
c====，
当A=120°时，C=180°-45°-120°=15°,
sin15°=sin（45°-30°）= ，
c=＝= =，
∴A=60°,C=75°,c＝，或A=120°,C=15°,c=。
14.在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若a=2，C=，cos=，求△ABC的面积.
［解析] 由题意知cos=,则cosB=2cos2—1=，∴B为锐角,
∴sinB=,sinA=sin(π-B—C)=sin(π—B)=
由正弦定理，得c＝==.
∴S△ABC=acsinB=×2××=。
15.已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为a、b的对角，试判断△ABC的形状.
［解析］ 设方程的两根为x1、x2，由韦达定理得
x1+x2=bcosA，x1x2=acosB，由题意得bcosA=acosB,
由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB, sinAcosB-cosAsinB=0.
即sin（A—B）=0.
在△ABC中，∵A、B为其内角，
∴0＜A＜π，0＜B＜π，-π＜A—B＜π。
∴A-B=0,即A=B.∴△ABC为等腰三角形。
16.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对应的边为a、b、c。且b=acosC，且△ABC的最大边长为12,最小角的正弦值为。
（1）判断三角形的形状；
（2)求△ABC的面积.
［解析］ (1）因为b=acosC,所以由正弦定理得： sinB=sinAcosC,
从而sin(A+C）=sinAcosC,
所以sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC
所以cosAsinC=0.由于sinC≠0.所以cosA=0
所以∠A=,所以△ABC为直角三角形.
(2)∵斜边a=12.不妨设∠C最小,则=12,且sinC=,
∴c=4，从而b==8，
∴S△ABC=bc=16.
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