第3章-线性代数-矩阵的初等变换与线性方程组.ppt

第三章第三章矩阵的初等变换矩阵的初等变换与与与与线性方程组的解线性方程组的解3.4 线性方程组的解线性方程组的解3.3 矩阵的秩矩阵的秩3.2 初等矩阵初等矩阵3.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换强烈推荐网站：强烈推荐网站：http:/http:/ 13.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换用用Gauss消元法求解下面方程组消元法求解下面方程组 方程组与增广矩阵是方程组与增广矩阵是一一对应一一对应一一对应一一对应关系关系,我们用增广我们用增广矩阵来写求解过程矩阵来写求解过程 引例引例2 首先搞清一个概念首先搞清一个概念:什么是什么是同解方程组同解方程组同解方程组同解方程组?同解方程同解方程组也称组也称等价方程组等价方程组等价方程组等价方程组.(.(注注:等价与同解有点小区别等价与同解有点小区别,这里这里就不区分了就不区分了)这个矩阵所对应的方程组与原这个矩阵所对应的方程组与原这个矩阵所对应的方程组与原这个矩阵所对应的方程组与原方程组同解吗方程组同解吗方程组同解吗方程组同解吗?逆变换是什么逆变换是什么逆变换是什么逆变换是什么?以后每一步都思考同样的问题以后每一步都思考同样的问题以后每一步都思考同样的问题以后每一步都思考同样的问题.34得到同解方程组得到同解方程组(就是解就是解)GaussGauss消元法的思想消元法的思想消元法的思想消元法的思想?5(3)把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、第三种第三种初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换(1)交换矩阵的某两行，记为交换矩阵的某两行，记为(2)以不等于的数乘矩阵的某一行，记为以不等于的数乘矩阵的某一行，记为记为记为类似定义三种类似定义三种初等列变换初等列变换初等列变换初等列变换以上六种变换统称为矩阵的以上六种变换统称为矩阵的初等变换初等变换初等变换初等变换定义定义定义定义6初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同且变换类型相同且变换类型相同逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换初等列变换也有类似的结果初等列变换也有类似的结果7等价关系等价关系在一个集合在一个集合 S 中如果有一种关系中如果有一种关系 R 满足满足 (1)自反性：自反性：aRa;(2)对称性：对称性：aRb bRa;(3)传递性：传递性：aRb,bRc aRc。则称则称 R 为为 S 的一个的一个等价关系等价关系。定义定义定义定义 有了等价关系就可以把有了等价关系就可以把S的元素进行分类，把相互等价的元的元素进行分类，把相互等价的元素归于同一类，称为等价类。即同一类中的元素都等价，不同素归于同一类，称为等价类。即同一类中的元素都等价，不同类中的元素不等价。在等类价中通常选一个类中的元素不等价。在等类价中通常选一个“简单简单”的元素作的元素作为代表，在矩阵中常称这个代表为某某标准形。为代表，在矩阵中常称这个代表为某某标准形。8 在在 的矩阵集合的矩阵集合 中中,如果如果 ,则称则称 A 与与 B 具有具有行相抵行相抵的关系的关系,问问行相抵行相抵是不是是不是 中的一个等价关系中的一个等价关系?在与方程组增在与方程组增广矩阵行相抵的矩阵中广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的找一个最简单的,然后求解然后求解这个最简单的矩阵所对应的方程组这个最简单的矩阵所对应的方程组.以后我们把这个最简单的矩阵叫做以后我们把这个最简单的矩阵叫做(行行)最简阶最简阶梯形矩阵梯形矩阵.Gauss消元法的思想又可表述为消元法的思想又可表述为,9下面形状的矩阵称为下面形状的矩阵称为(行行)阶梯形矩阵阶梯形矩阵下面形状的矩阵称为下面形状的矩阵称为(行行)最简阶梯形矩阵最简阶梯形矩阵定义定义定义定义定义定义定义定义10 只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形，只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形，从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一，最简阶梯形唯从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一，最简阶梯形唯一。一。定理定理定理定理11例例112 下面讨论对一个矩阵实施初等变换下面讨论对一个矩阵实施初等变换(既可用行变换既可用行变换又可用列变换又可用列变换)能把矩阵化成最简单的形状是什么能把矩阵化成最简单的形状是什么?如果如果 ,则称则称 A A 与与与与 B B 相抵相抵相抵相抵(也称也称等价等价等价等价)定义定义定义定义在在 中相抵关系是不是一个等价关系中相抵关系是不是一个等价关系?13 用初等变换必能将矩阵化为如下用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形等价标准形等价标准形等价标准形（也称（也称相抵标准形相抵标准形相抵标准形相抵标准形）：）：等价标准形是唯一的。等价标准形是唯一的。(等价标准形定理等价标准形定理)定理定理定理定理14例例2（接例（接例1）形状为形状为15第三章第三章矩阵的初等变换矩阵的初等变换与与与与线性方程组的解线性方程组的解3.4 线性方程组的解线性方程组的解3.3 矩阵的秩矩阵的秩3.2 初等矩阵初等矩阵3.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换3.2 初等矩阵初等矩阵 矩阵初等变换前后两个矩阵之间的关系是矩阵初等变换前后两个矩阵之间的关系是什么？什么？,如何把它们用等号联系起来？如何把它们用等号联系起来？17回顾回顾把单位矩阵作同样变换得到把单位矩阵作同样变换得到的矩阵放在的矩阵放在A的的左左边！边！18把单位矩阵作同样变换得到把单位矩阵作同样变换得到的矩阵放在的矩阵放在A的的左左边！边！19把单位矩阵作同样变换得到把单位矩阵作同样变换得到的矩阵放在的矩阵放在A的的左左边！边！20把单位矩阵作同样变换得到把单位矩阵作同样变换得到的矩阵放在的矩阵放在A的的右右边！边！21把单位矩阵作同样变换得到把单位矩阵作同样变换得到的矩阵放在的矩阵放在A的的右右边！边！22把单位矩阵作同样变换得到把单位矩阵作同样变换得到的矩阵放在的矩阵放在A的的右右边！边！23 把单位矩阵分别作第一、第二、第三种初等把单位矩阵分别作第一、第二、第三种初等行变换得到的矩阵分别称为第一、第二、第三种行变换得到的矩阵分别称为第一、第二、第三种初等初等矩阵矩阵。定义定义定义定义记号记号24 100010001 10001000125 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵。同一种初等矩阵。为什么为什么?定理定理定理定理回想它们逆变换？再验证如下：回想它们逆变换？再验证如下：26(左行右列原则左行右列原则左行右列原则左行右列原则)对一个矩阵施行一次初等对一个矩阵施行一次初等对一个矩阵施行一次初等对一个矩阵施行一次初等行行行行变换，相当于在它变换，相当于在它变换，相当于在它变换，相当于在它的的的的左左左左边乘以一个边乘以一个边乘以一个边乘以一个相应的相应的相应的相应的初等矩阵；对一个矩阵施行初等矩阵；对一个矩阵施行初等矩阵；对一个矩阵施行初等矩阵；对一个矩阵施行一次初等一次初等一次初等一次初等列列列列变换，相当于在它的变换，相当于在它的变换，相当于在它的变换，相当于在它的右右右右边乘以一个边乘以一个边乘以一个边乘以一个相应相应相应相应的的的的初等矩阵。初等矩阵。初等矩阵。初等矩阵。定理定理定理定理27例例128例例229根据根据“左行右列左行右列”原则和原则和“等价标准形定理等价标准形定理”得一些有用的推论：得一些有用的推论：推论推论1存在有限个初等矩阵存在有限个初等矩阵 和和使得使得30在推论在推论 1 中如果中如果 A 可逆可逆,右边的标准形是什么？右边的标准形是什么？注意到初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，又得注意到初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，又得 任一可逆矩阵必可分解为有限个初等矩阵任一可逆矩阵必可分解为有限个初等矩阵的乘积。从而的乘积。从而,矩阵可逆的充要条件是它可分解为矩阵可逆的充要条件是它可分解为有限初等矩阵的乘积。有限初等矩阵的乘积。推论推论231 设设 A 是可逆矩阵是可逆矩阵,则则A-1也是可逆矩阵也是可逆矩阵,由推论由推论2，A-1 可分解为初等矩阵的乘积：可分解为初等矩阵的乘积：把上式用左行右列原则看又得：把上式用左行右列原则看又得：A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 .推论推论3思考思考:32 A 与与 B 等价等价(即即 )的充要条件是存在的充要条件是存在可逆矩阵可逆矩阵 P 和和 Q 使得使得推论推论4根据以上分析，根据以上分析，(1)用可逆矩阵用可逆矩阵P左乘左乘矩阵矩阵A,相当于对相当于对A作了一系作了一系列的初等列的初等行变换行变换，反之，反之.(2)用可逆矩阵用可逆矩阵Q右乘右乘矩阵矩阵A,相当于对相当于对A作了一系作了一系列的初等列的初等列变换列变换，反之，反之.33设设 即有初等矩阵即有初等矩阵 使得使得问问作一次行变换作一次行变换再作一次行变换再作一次行变换继续继续考虑对考虑对 作行变换作行变换求逆矩阵的初等变换法求逆矩阵的初等变换法求逆矩阵的初等变换法求逆矩阵的初等变换法求逆矩阵的初等变换法求逆矩阵的初等变换法34例例3（把第（把第1节解方程组的题重做）节解方程组的题重做）记为记为35的解的解36回忆第回忆第 1 节用节用 Gauss 消元法是这样做的消元法是这样做的:直接就得到方程组的解，而且更简单。直接就得到方程组的解，而且更简单。这实际上是把求这实际上是把求 和计算和计算 合并完成了。合并完成了。再看看求逆的原理：再看看求逆的原理：换成换成 b 如何？如何？37矩阵方程矩阵方程 AX=B (假设假设 A 可逆可逆)，如何求解？，如何求解？方法一方法一方法一方法一：先求：先求 ，再计算，再计算方法二方法二方法二方法二：则则方法一方法一方法一方法一：求：求 ，再计算，再计算XA=B(假设假设 A 可逆可逆)？方法二方法二方法二方法二：38例例3解矩阵方程解矩阵方程解解394041第三章第三章矩阵的初等变换矩阵的初等变换与与与与线性方程组的解线性方程组的解3.4 线性方程组的解线性方程组的解3.3 矩阵的秩矩阵的秩3.2 初等矩阵初等矩阵3.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换3.3 矩阵的秩矩阵的秩在矩阵在矩阵 的等价标准形中的等价标准形中数数 r 由由 A 惟一确定惟一确定,它也是它也是 A 的阶梯形矩阵的非零行的阶梯形矩阵的非零行数，称之为矩阵数，称之为矩阵 A 的的秩秩秩秩。这个数特别重要：。这个数特别重要：例如例如例如例如,设设 A 是是 n 阶的方阵阶的方阵,如果如果 r=n,则则 A 可逆可逆,否则否则 r n，则，则 A 不可逆不可逆.再如再如再如再如，对方程组，对方程组 Ax=b,增增广矩阵的秩就是独立方程的个数。广矩阵的秩就是独立方程的个数。43 在矩阵在矩阵 A 中中,任取任取 k 行行 k 列列,位于这些行列交点位于这些行列交点上的元素按原次序构成的上的元素按原次序构成的 k 阶行列式阶行列式,称为称为 A 的的 k k 阶阶阶阶子式子式子式子式.定义定义定义定义例如例如等等等等,它们都是二阶子式它们都是二阶子式.等等等等,它们都是三阶子式它们都是三阶子式.每一个元素都是一阶子式每一个元素都是一阶子式.44 矩阵矩阵A的非零子式的最高阶数的非零子式的最高阶数,称为称为A的的秩秩秩秩,记记做做r(A).规定规定:零矩阵的秩是零零矩阵的秩是零.定义定义定义定义例如例如45回答下面问题：回答下面问题：回答下面问题：回答下面问题：(2)mn 的矩阵的矩阵 A,其秩最大可能是其秩最大可能是?r(A)min(m,n)(3)A 有一个有一个 r 阶子式不为零阶子式不为零,其秩至少是其秩至少是?r(A)r(4)A 有一个有一个 r 阶子式不为零阶子式不为零,且所有且所有 r+1 阶都等于零阶都等于零,所有所有 r+2 子式都等于子式都等于 ,A 的秩等于的秩等于 如果如果 A 的所有的所有 r 阶子式都等于零阶子式都等于零,A 的秩最大可能是的秩最大可能是 。(5)r(A)?=r(AT)零零r(6)A为为 n 可逆矩阵的充要条件是可逆矩阵的充要条件是 r(A)=r(A)=r(AT)n(7)A=O 的充要条件是的充要条件是 r(A)=0r1(1)矩阵的秩是否惟一矩阵的秩是否惟一?当然惟一当然惟一满秩矩阵满秩矩阵46初等变换不改变矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩。设设 r(A)=r 且且(1)证证证证例如例如从而，从而，r(B)r(A)，又第一种初等行变换是可逆的，其逆仍是第，又第一种初等行变换是可逆的，其逆仍是第一种初等行变换，所以又有一种初等行变换，所以又有r(A)r(B)，综上，综上 r(A)=r(B)。秩的基本定理秩的基本定理秩的基本定理秩的基本定理(P68 定理定理3)47(2)例如例如与前面同样的道理与前面同样的道理,第二种初等行变换不改变矩阵的秩。第二种初等行变换不改变矩阵的秩。48例如例如因此矩阵的秩不变。因此矩阵的秩不变。，由于，由于 时结论成立，只需考虑时结论成立，只需考虑(3)49(4)以上证明了初等行变换不改变矩阵的秩，即以上证明了初等行变换不改变矩阵的秩，即 r(PA)=r(A)(P是初等矩阵是初等矩阵)，考虑转置，考虑转置 r(ATPT)=r(AT)即知初等列变即知初等列变 换也不改变矩阵的秩。证毕。换也不改变矩阵的秩。证毕。秩的基本定理秩的基本定理秩的基本定理秩的基本定理又可叙述为又可叙述为:r(P m A mn Q n)=r(A)(其中其中 P，Q 是可逆矩阵是可逆矩阵)注注：该定理回答了矩阵标准形：该定理回答了矩阵标准形中中 r 是唯一的。它就是矩阵是唯一的。它就是矩阵 A 的秩。的秩。50如何求矩阵的秩？如何求矩阵的秩？阶梯形矩阵的秩就是其非零行数阶梯形矩阵的秩就是其非零行数阶梯形矩阵的秩就是其非零行数阶梯形矩阵的秩就是其非零行数！51例例1(P68 例例5)求矩阵求矩阵 A 的秩的秩建议只用行变换建议只用行变换阶梯形不唯一阶梯形不唯一52例例2(P69 例例6)求求 和和把上面矩阵与方程组把上面矩阵与方程组把上面矩阵与方程组把上面矩阵与方程组 Ax Ax=b b 对应起来对应起来对应起来对应起来,方程组有解吗方程组有解吗方程组有解吗方程组有解吗?53秩的重要性质秩的重要性质秩的重要性质秩的重要性质54(4)的证明的证明:只证只证阶阶梯梯形形阶阶梯梯形形考虑转置考虑转置55证证证证56(P101 例例15)(P110 习题习题27)(P101 例例13)(A称为称为列满秩矩阵列满秩矩阵列满秩矩阵列满秩矩阵)(A称为称为行满秩矩阵行满秩矩阵行满秩矩阵行满秩矩阵)57永远是奇异矩阵永远是奇异矩阵有可能是非奇异矩阵有可能是非奇异矩阵例例358(参见参见P71 例例8)证证例例459则则(A)t=6 时时,必有必有 r(P)=1(B)t=6 时时,必有必有 r(P)=2(C)t 6 时时,必有必有 r(P)=1(D)t 6 时时,必有必有 r(P)=2首先首先,又又例例560第三章第三章矩阵的初等变换矩阵的初等变换与与与与线性方程组的解线性方程组的解3.4 线性方程组的解线性方程组的解3.3 矩阵的秩矩阵的秩3.2 初等矩阵初等矩阵3.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换3.4 线性方程组的解线性方程组的解(1)如何判别方程组无解？有唯一解？有无穷多解？如何判别方程组无解？有唯一解？有无穷多解？(2)如何求方程组的通解？如何求方程组的通解？(3)根据方程组解的判别定理，进行理论证明。根据方程组解的判别定理，进行理论证明。学习内容学习内容学习内容学习内容62解方程组解方程组例例1第一步第一步第一步第一步:把增广矩阵化阶梯形把增广矩阵化阶梯形,如果如果 ,则无解则无解(为什么为什么),如果如果 则继续化为最简阶梯形。则继续化为最简阶梯形。问问:此时此时 其含义是其含义是 独立独立(或有效或有效)方程的个数。方程的个数。以下问题针对以下问题针对 的一般方程组来回答。的一般方程组来回答。63第二步第二步第二步第二步：写出等价的：写出等价的(独立的独立的)方程组，保留第一个未知数在左边方程组，保留第一个未知数在左边其余的移到右边，移到右边的称为其余的移到右边，移到右边的称为自由变量自由变量。问问：自由变量的个数：自由变量的个数=即未知数的个数减去独立方程的个数。即未知数的个数减去独立方程的个数。问问：何时有唯一解？何时有无穷多解？：何时有唯一解？何时有无穷多解？当出现自由变量时，令自量为任意数就可得到无穷多解，当出现自由变量时，令自量为任意数就可得到无穷多解，当没有自由变量时有唯一解。即当当没有自由变量时有唯一解。即当 时，时，有无穷多解，当有无穷多解，当 时有唯一解。时有唯一解。64第三步第三步第三步第三步：令自由变量为任意实数，写出通解。再改写为向量形式。：令自由变量为任意实数，写出通解。再改写为向量形式。令令通解通解即即65对于非齐次方程组对于非齐次方程组如果如果 ，则无解；，则无解；如果如果 ，则有解；，则有解；当当 时，有唯一解；时，有唯一解；当当 时，有无穷多解时，有无穷多解.非齐次方程组解的判别定理非齐次方程组解的判别定理非齐次方程组解的判别定理非齐次方程组解的判别定理66对于非齐次方程组对于非齐次方程组当当 时，有唯一的零解；时，有唯一的零解；当当 时，有无穷多解，即有非零解。时，有无穷多解，即有非零解。齐次方程组解的判别定理齐次方程组解的判别定理齐次方程组解的判别定理齐次方程组解的判别定理67例例2(P73 例例9)求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解 对系数矩阵对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形施行初等行变换化为最简阶梯形:68写出等价方程组并移项写出等价方程组并移项:69令令写出参数形式的通解写出参数形式的通解,再改写为向量形式再改写为向量形式:通解通解即即其中其中为任意实数。为任意实数。70例例3问问 a 为何值时，该方程组有非零解，并求通解。为何值时，该方程组有非零解，并求通解。a=0 时，时，r(A)4,有非零解。同解方程组为有非零解。同解方程组为方法一方法一方法一方法一71令令得通解得通解即即当当 a0 时，时，当当 a=10 时，时，r(A)=34,有非零解。同解方程组为有非零解。同解方程组为72 （当系数矩阵为方阵时还可用行列式法，此法往往（当系数矩阵为方阵时还可用行列式法，此法往往简单，建议当系数矩阵为方阵时首选行列式法）简单，建议当系数矩阵为方阵时首选行列式法）令令得通解得通解方法二方法二方法二方法二(显然对显然对 a=0 也成立也成立)当当 a=0 或或 a=10时有非零解。其它同前。时有非零解。其它同前。73例例4解解：系数矩阵是方阵首选行列式法：系数矩阵是方阵首选行列式法问问 为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有无穷多解时，求通解。无穷多解时，求通解。74分析分析：当：当 时有唯一解，当时有唯一解，当 时，方程组可能无解，时，方程组可能无解，也可能有无穷多解，这取决于右端项。此时系数矩阵中的参数也可能有无穷多解，这取决于右端项。此时系数矩阵中的参数已确定，只能用初等变换法加以判别。已确定，只能用初等变换法加以判别。当当 时，方程组有唯一解。时，方程组有唯一解。当当 时时当当 时，时，方程组无解。，方程组无解。当当 时，时，方程组有无穷多解。，方程组有无穷多解。75通解为通解为76例例5时，时，有无穷多解。有无穷多解。，时，时，无解。无解。，时，时，有无穷多解。有无穷多解。问问 a,b 为何值时为何值时,方程组有解方程组有解,无解。无解。分析分析：系数矩阵不是方阵只能用行初等变换法。：系数矩阵不是方阵只能用行初等变换法。77下面我们把方程组的情况推广到矩阵方程下面我们把方程组的情况推广到矩阵方程把把(1)改写为改写为其中其中 是是 X 的列的列,是是 B 的列。的列。(1)有解相当于上面方程同时有解。有解相当于上面方程同时有解。(2)也类似。也类似。易证易证(参见参见P78)有解的充要条件是有解的充要条件是只有零解的充要条件是只有零解的充要条件是(即即A是列满秩是列满秩)定理定理定理定理78例例6(P81 习题习题19)证明证明(1)Amn X=Em 有解的充要条件是有解的充要条件是 r(A)=m(2)Y Amn=En 有解的充要条件是有解的充要条件是 r(A)=n 回顾可逆矩阵的定义实际上是回顾可逆矩阵的定义实际上是 AX=E 与与 XA=E 都有解。都有解。当当 A 不是方阵时，把可逆矩阵推广到上面两条。即当不是方阵时，把可逆矩阵推广到上面两条。即当 A 是行满是行满秩时，秩时，(1)有解，当有解，当 A 是列满秩时是列满秩时(2)有解。可见行有解。可见行(列列)满秩矩阵满秩矩阵相当于半个可逆矩阵。相当于半个可逆矩阵。首先分析此题的意思：首先分析此题的意思：证证证证根据上一定理，根据上一定理，(1)解。得证。解。得证。(2)考虑转置考虑转置 ,是行满秩是行满秩,由由(1)得证得证。79当当 r(A)=m,Amn X nm=Em 时时,X 必是列满矩阵必是列满矩阵.同样，当同样，当 r(A)=n,Y nmAmn=En 时时,Y 必是行满秩矩阵必是行满秩矩阵.总之总之给了行满给了行满能能找找列列满满能找行满能找行满给给了了列列满满进一步进一步:80例例7在秩的重要性质中，可借用在秩的重要性质中，可借用Sylvester不等式证明下不等式证明下面列面列(行行)满秩矩阵的性质满秩矩阵的性质下面用例下面用例6的结论来证明（只证第一个）的结论来证明（只证第一个）:又存在矩阵又存在矩阵 X 使使 XA=E，C=AB 两边左乘两边左乘 X XC=B,从而双有从而双有 r(B)=r(XC)r(C)记记 C=AB，从而从而 r(C)r(B)综上，综上，r(C)=r(B)强烈推荐网站：强烈推荐网站：http:/http:/ 81