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弹性力学与有限元分析试题及参考答案
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1），，；
（2），，；
其中，A，B，C，D，E，F为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程；（2）在区域内的相容方程；（3）在边界上的应力边界条件；（4）对于多连体的位移单值条件。
（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量，，，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。
解：将所给应力分量代入平衡微分方程

得

即

由x，y的任意性，得

由此解得，，，
3、已知应力分量，，，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
解：将已知应力分量，，，代入平衡微分方程

可知，已知应力分量，，一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。
按应力求解平面应力问题的相容方程：

将已知应力分量，，代入上式，可知满足相容方程。
按应力求解平面应变问题的相容方程：

将已知应力分量，，代入上式，可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。
（1），，；
（2），，；
（3），，；
其中，A，B，C，D为常数。
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即

将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。
（2）（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。
（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则，，（1分）。
5、证明应力函数能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，）。

l/2
l/2
h/2
h/2
y
x
O

解：将应力函数代入相容方程

可知，所给应力函数能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
，，
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边，，，，，；
下边，，，，，；
左边，，，，，；
右边，，，，，。
可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。
6、证明应力函数能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，）。

l/2
l/2
h/2
h/2
y
x
O

解：将应力函数代入相容方程

可知，所给应力函数能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
，，
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边，，，，，；
下边，，，，，；
左边，，，，，；
右边，，，，，。
可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数能解决矩形板受均布剪力的问题。
7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。
O
x
y
b
q
rg

解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设。由此可知

将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式

将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得

2.3 直角三角形固定在刚性基础上，受齐顶的水压力和自重作用，如图2.14所示。若按一个单元计算，水的容重，三角形平面构件容重,取泊松比=1/6，试求顶点位移和固定面上的反力。
解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3
建立坐标
（1） 求形函数矩阵：

图（2.14）
形函数:

所以：

形函数的矩阵为：

（2） 刚度矩阵

可得：

（3）位移列向量和右端项
由边界条件可确定：
水压力和构件厚分别为：

自重为W与支座反力：

所以：
由得到下列矩阵方程组：

化简得：

可得：

将代入下式：

固定面上的反力：
从而可得支座反力为：

这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即
，
这两个方程要求
，
代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得

对应应力分量为

以上常数可以根据边界条件确定。
左边，，，，沿y方向无面力，所以有

右边，，，，沿y方向的面力为q，所以有

上边，，，，没有水平面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即

将的表达式代入，并考虑到C=0，则有

而自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
，
将的表达式代入，则有

由此可得
，，，，
应力分量为
, ,
虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。

8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为，，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，，，，试导出相应的相容方程。
证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量，，应当满足平衡微分方程
（1分）
还应满足相容方程
（对于平面应力问题）
（对于平面应变问题）
并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。
首先考察平衡微分方程。将其改写为

这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为

根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得
，
同样，将第二个方程改写为
（1分）
可见也一定存在某一函数B（x，y），使得
，
由此得

因而又一定存在某一函数，使得
，
代入以上各式，得应力分量
，，
为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得

简写为

将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得

简写为

9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次的应力函数求解。
O
x
y
a
rg

解：纯三次的应力函数为

相应的应力分量表达式为
, ,
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。
上边，，，，没有水平面力，所以有

对上端面的任意x值都应成立，可见

同时，该边界上没有竖直面力，所以有

对上端面的任意x值都应成立，可见

因此，应力分量可以简化为
，，
斜面，，，，没有面力，所以有

由第一个方程，得

对斜面的任意x值都应成立，这就要求

由第二个方程，得

对斜面的任意x值都应成立，这就要求
（1分）
由此解得
（1分），
从而应力分量为
, ,
设三角形悬臂梁的长为l，高为h，则。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x方向的分量为0，沿y方向的分量为。因此，所求在这部分边界上合成的主矢应为零，应当合成为反力。

可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。
10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为，液体的密度为，试求应力分量。
r2g
r1g
a
y
x
O

解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与成正比（g是重力加速度）；另一部分由液体压力引起，应当与成正比。此外，每一部分还与，x，y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2，和的量纲是L-2MT-2，是量纲一的
量，而x和y的量纲是L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是，，，四项的组合，而其中的A，B，C，D是量纲一的量，只与有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。
其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设

相应的应力分量表达式为
, ,
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。
左面，，，，作用有水平面力，所以有

对左面的任意y值都应成立，可见

同时，该边界上没有竖直面力，所以有

对左面的任意y值都应成立，可见

因此，应力分量可以简化为
，，
斜面，，，，没有面力，所以有

由第一个方程，得

对斜面的任意y值都应成立，这就要求

由第二个方程，得

对斜面的任意x值都应成立，这就要求

由此解得
，
从而应力分量为

, ,
位移边界条件
对称、固定边和简支边上支点的已知位移条件如下：
对称轴: 法线转角=0
固定边: 挠度=0 (或已知值)
边线转角=0 (或已知值)
法线转角=0 (或已知值)
简支边: 挠度=0 (或已知值)
边线转角=0 (或已知值)

计算图示四边固定方板
方板的边长为l，厚度为t，弹性模型量为E，波松比μ=0.3，全板承受均布法向荷载ｑ，求薄板中的挠度和内力。
单元划分：
为了说明解题方法，采用最简单的网络2×2，
即把方板分成四个矩形单元。由于对称性，只需计
算一个单元，例如，计算图中有阴影的单元，单元
的节点编号为１，２，３，４。
此时，单元的a, b是
计算节点荷载:
由前面的均布荷载计算公式得：

边界条件：
边界23和34为固定边，因此节点2, 3, 4的挠度、边线和法线转角均为零。边界12和14为对称轴，因此θx1 =0、θy1 =0。于是，在4个节点和12个位移分量中,只有一个待求的未知量 。
结构的代数方程组：
这是一个单元的计算题目，单元刚度矩阵在此处即为总刚度矩阵。引入支承条件后，在总刚度矩阵中只取第一行、列元素，在方程组右端项中只保留第一个元素。于是结构的代数方程为：
同此解出 。其中
内力:
利用式(4-2-6)可求得方板中点力矩为：

由表看出，网格越密，计算结果越接近于精确答案。还可看出，位移的精度一般比内力的精度高，这是因为在位移法中，位移是由基本方程直接求出的，而内力则是根据位移间接求出的。

第三章 平面问题有限单元法
习题答案
3-2图示等腰直角三角形单元，设=1/4，记杨氏弹性模量E，厚度为t，求形函数矩阵[N]、应变矩阵[B]、应力矩阵[S]与单元刚度矩阵[K]e。
【解】：

3-3正方形薄板，受力与约束如图所示，划分为两个三角形单元，=1/4，板厚为t，求各节点位移与应力。
【解】：

载荷向量：

3-4三角形单元i,j,m的j，m边作用有如图所示线形分布面载荷，求结点载荷向量。
【解】：面力移置公式：
其中：

所以:
载荷分布函数：
积分函数：

所以:

3-5图示悬臂深梁，右端作用均布剪力，合力为P，取=1/3，厚度为t，如图示划分四个三角形单元，求整体刚度方程。
【解】：

算例2： 正方形薄板平面应力问题的求解

已知图示正方形薄板，沿其对角线承受压力作用，载荷沿厚度为均匀分布，P=20kN/m。设泊松比u=0，板厚t=1m，求此薄板应力。

课本第42页3.7节计算结果如下：
变形：

应力：
； ；
；
1、如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为，弹性模量为，泊松比；单元的边长及结点编号见图中所示。求
(1) 形函数矩阵
(2) 应变矩阵和应力矩阵
(3) 单元刚度矩阵
1、解：
设图1所示的各点坐标为
点1（a，0），点2（a，a），点3（0，0）
于是，可得单元的面积为 ，及
(1) 形函数矩阵为 (7分)
；
(2) 应变矩阵和应力矩阵分别为 (7分)
，，；

，，；

(3) 单元刚度矩阵 (6分)

图1

2、图2（a）所示为正方形薄板，其板厚度为，四边受到均匀荷载的作用，荷载集度为，同时在方向相应的两顶点处分别承受大小为且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。设薄板材料的弹性模量为，泊松比。试求
(1) 利用对称性，取图（b）所示结构作为研究对象，并将其划分为4个面积大小相等、形状相同的直角三角形单元。给出可供有限元分析的计算模型（即根据对称性条件，在图（b）中添加适当的约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）。
(2) 设单元结点的局部编号分别为、、，为使每个单元刚度矩阵相同，试在图（b）中正确标出每个单元的合理局部编号；并求单元刚度矩阵。
(3) 计算等效结点荷载。
(4) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。

（a）
（b）

图2

2、解：

(1) 对称性及计算模型正确 (5分)

(2) 正确标出每个单元的合理局部编号 (3分)

(3) 求单元刚度矩阵 (4分)

(4) 计算等效结点荷载 (3分)

(5) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。
(5分)

对
称

对
称
①

②

③

④

如图3.11所示的平面三角形单元，厚度t=1cm，弹性模量E=2.0*105mpa，泊松比γ=0.3，试求插值函数矩阵N，应变矩阵B，应力矩阵S，单元刚度矩阵Ke。
解：此三角形单元可得：
2△=（10-2）*4=32，故有
a1=1/32*（8u1-5u2-16u3）
a2=1/32*（4u1-4u2）
a3=1/32*（-8u1+8u3）
a4=1/32*（56v1-8v2-16v3）
a5=1/32*（-4v1+4v2）
a6=1/32*（-8v1+8v3）
而b1=y2-y3=-4 b1=x2-x3=-8
b1=y3-y1=4 b1=x3-x1=0
b1=y1-y2=0 b1=x1-x2=8

b1 0 b2 0 b3 0 -4 0 4 0 0
[B]=1/2△* 0 c1 0 c2 0 c3 =1/32* 0 -8 0 0 8
c1 b1 c2 b2 c3 b3 -8 4 0 8 0

1 γ 0 1 0.3 0
[D]=[E/(1-γ2)]* γ 1 0 =[E/0.91]* 0.3 1 0
0 0 (1-γ)/2 0 0 0.35
1 0.3 0 -0.125 0 0.125 0 0
[S]=[D]*[B]={E/0.91}* 0.3 1 0 * 0 -0.25 0 0 0.25
0 0 0.35 -0.25 0.125 0 0.25 0
1.4 0 -1.4 -0.7 0 0.7
0 4 -0.6 -4 0 0
[K]①=BT*D*B①*t*△={E/36.4}* -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 0.7
-0.7 -4 1.3 -0.6 -1 0.35
0 0 0.6 -1 -0.6 0
0.7 0 0.7 -0.35 0 0
1 0 0 0.6 -1 -0.6
0 0.35 0.7 0 -0.7 -0.35
0 0.7 1.4 0 -1.4 -0.7
[K]②=BT*D*B②*t*△={E/36.4}* 0.6 0 0 4 -0.6 -4
1 -0.7 -1.4 -0.6 2.4 1.3
0.6 -0.35 -1.4 -4 1.3 3.5

3.12 求下图中所示的三角形的单元插值函数矩阵及应变矩阵，u1=2.0mm，v1=1.2mm，u2=2.4mm，v2=1.2mm，u3=2.1mm，v3=1.4mm，求单元内的应变和应力，求出主应力及方向。若在单元jm边作用有线性分布面载荷（x轴），求结点的的载荷分量。
解：如图2△=64/3，解得以下参数：
a1=19 a2=-2 a3=6； b1=-3 b2=4 b3=-1；c1=-1 c2=-3 c3=4；
N1={64/3}*(19-3x-y) N2={64/3}*(-2-3x-3y)
N3={64/3}*(6-x+4y)
故N= Ni 0 Nj 0 Nm 0
0 Ni 0 Nj 0 Nm
1 0 1 0 1 0
= 0 1 0 1 0 1

bi 0 bj 0 bm 0
[B]={1/2△}* 0 ci 0 cj 0 cm
ci bi cj bj cm bm
-3 0 4 0 -1 0
={64/3}* 0 -1 0 -3 0 4
-1 -3 -3 4 4 -1
1 γ 0
[D]={E/(1-γ2)}* γ 1 0
0 0 (1-γ)/2

1 γ 0 -3 0 4 0 -1 0
单元应力矩阵[S]=[D]*[B]= {E/13(1-γ2)}* γ 1 0 * 0 -1 0 -3 0 4
0 0 (1-γ)/2 -1 -3 -3 4 4 -1
2
1.1
-3 -u 4 3u -1 4u 2.4
单元应力[δ]=[S]*[q]= {E/13(1-γ2)}* -3u -1 4u -3 -u 4 * 1.2
(u-1)/2 (3u-3)/2 (3u-3)/2 2-2u 2-2u (u-1)/2 2.4
1.4

3.13
解：二维单元在x,y坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同，在平面矩阵
180°时变化，单元作上述变化时，应力矩阵不变化。

（0,1）
（2,1）
3.14
（2,0）
（0,0）
②
①
y
x
解：令，，而，，

单元①

单元②：

由和扩充KZ（总刚度阵）

而，其中，
，化简得：

则，

3.15如图所示有限元网格，，单元厚度，弹性模量，泊松比。回答下述问题：
（1）结点如何编号才能使结构刚度矩阵带宽最小？
（2）如何设置位移边界条件才能约束结构的刚体移动？
（3）形成单元刚度矩阵并集成结构刚度矩阵。
（4）如果施加一定载荷，拟定求解步骤。

(1) (2) （3）
解：1、节点编号如图(2)所示；
2、如图(3)设置位移边界条件才能约束结构的刚体移动；
3、如图(2)所示各节点的坐标为(以m为单位)：1(0,0)，2(0.08,0)，3(0,0.04)，4(0.08,0.04 )，5(0,0.08)，6(0.08,0.08)，7(0,0.12)，8(0.08,0.12)
解：单元号 1 2 3 4 5 6
相邻结点 1 3 4 5 5 7
2 2 5 4 6 6
3 4 3 6 7 8

对于单元号1：；；；
；；；
对于单元号2：；；；
；；；
对于单元号3：；；；
；；；
对于单元号4：；；；
；；；
对于单元号5：；；；
；；；
对于单元号6：；；；
；；；
平面三角形单元的面积均为
弹性矩阵均为
应变矩阵

应力矩阵

单元刚度矩阵

结构刚度矩阵为：

若施加一定载荷，求解步骤为：
1、对单元编号，并列出各单元三个结点的结点号；
2、计算外载荷的等效结点力，列出结构结点载荷列阵；
3、计算单元刚度矩阵，组集结构整体刚度矩阵
4、引入边界条件，即根据约束情况修正结构有限元方程，特别是消除整体刚度矩阵的
奇异性，得到考虑约束条件的可解的有限元方程。
5、利用线性方程组的数值解法，对结构的有限元方程进行求解，得到所有各结点的位
移向量。最后根据需要求解单元应力。
3.16一长方形薄板如图所示。其两端受均匀拉伸。板长12cm,宽4cm，厚1cm。材料，泊松比。均匀拉力。使用有限元法求解板的内应力，并和精确解比较（提示：可利用结构对称性，并用2个三角形单元对结构进行离散）。

解：

解：结点编号 1 2 3 4 单元号 1 2
X坐标 0 12 0 12 相邻结点 1 3
Y坐标 0 0 4 4 2 2
3 4

平面三角形单元的面积均为

应力矩阵为：
单元1的应变距阵为：

单元1的单元刚度矩阵为：

单元2的应变距阵为：

单元2的单元刚度矩阵为：

总刚度矩阵为：
位移分量为：
载荷列阵为：
因为
可以得
单元1的单元应力：
单元2的单元应力：
长方形薄板内应力的精确解为：拉应力，用有限元法求解出的结果与精确解大致相等。
3.17 验证三角形单元的位移差值函数满足及。
解：平面三角形形函数为：，其中，，
分别是行列式2A中的第一行，第二行和第三行各元素的代数余子式。行列式中，任一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行的元素与其它行对应元素的代数余子式乘积之和为零，故有：
当，同时有，

同理也有：

，即。
3.18 推导如图所示的9节点矩形单元的形函数。

解:三维杆单元的形状函数，
①
在局部坐标系中令节点1,5,2所对应的带入①式得到节点1,5,2仅在x方向上的形函数：
②
同理可得：

由，即节点2,6,3，可得到沿着全局坐标系y轴的形状函数(通过变量轮换)，节点1的形函数即x，y方向的乘积：

由此可得：

同理可整理得：

，，，
，，，
3.19 如图所示为一个桁架单元，端点力为[U1，U2]，端点位移为[u1，u2]，设内部任一点的轴向位移u是坐标x的线性函数：

推导其形函数矩阵N。

解：轴向位移u是坐标x的线性函数，，写成向量形式为，设两个节点的坐标为，代入向量形式的位移函数解得：

则由位移函数可得形函数为：

4.1 答：轴对称三角形环单元不是常应变单元，如果弹性体的几何形状、约束条件及载荷都对称于某一轴，则所有的位移应变及应力也是对称于此轴，这样问题称为轴对称。轴对称三角形环单元与平面常应变单元是不同的，轴对称三角形环单元的应变不是常数矩阵，其应变矩阵B=[B B B],其中B=，（i,j,m）。应变分量，，都是常量，但环向应变不是常量，它与，，中的r和z有关。
4.2 答：轴对称问题中，刚度自由度：环向位移，径向位移，轴向位移。以三角环单元平均半径、平均高度进行计算的单元刚度矩阵，配合以精确积分所得的等效结点载荷矩阵，计算的结果还是不错的！
4.3 轴对称问题的两个单元a和b，设材料的弹性模量为E，泊松比为μ = 0.15，试手算这两个单元的刚度矩阵。

解：对于单元，由题可知：

单元a的截面面积为

单元a的刚度矩阵写成分块矩阵形式为：
其中子矩阵可写为：

所以的刚度矩阵为

对于单元，由题可知

单元的截面面积为

单元的刚度矩阵写成分块矩阵形式为：

其中子矩阵可写为：

所以单元的刚度矩阵为

5.1 答：杆件受到纵向（平行于杆轴）载荷的作用，这样杆件的拉压问题；杆件受到横向（垂直于杆轴）载荷的作用，这是梁的弯曲问题。杆件受到力相似到薄板就有，薄板受到纵向载荷的作用，这是平面应力问题；薄板受到横向载荷的作用，这是薄板的弯曲问题。薄板的弯曲可以认为是梁弯曲的推广，是双向的弯曲问题，中面法线在变形后保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线，中面在变形后，其线段和面积的投影形状保持不变（小挠度薄板）。已知中面的挠度，而纵向位移、，主要应力分量，，。
某一点的位移：，，。
某一点的应力：,,
弹性曲面微分方程,其中……板的抗挠刚度。
5.2 答：矩形薄板单元：薄板单元位移函数并不满足连续性或相容性要求，采用这种位移函数的单元是非协调单元，这种四节点矩形弯曲单元变形后，其挠度面在单元间虽然互相连续，但其法向导数并不连续，单元间在变形后是不连续光滑（有棱）的，当单元逐渐取小的时候，还能够收敛于精确解。
三角形薄板单元：常使用面积坐标，分析表明，只以挠度 及其一阶导数 作为节点的位移函数用一般的形状函数是不可能构造满足相容性的薄板单元，需再加上二阶导数，就可以实现。在相邻单元之间，挠度是连续的，但法向的斜率是不连续的，这种位移模式是非协调单云，收敛不如矩形单元，单元足够小，节点增多，如六节点三角形，九节点三角形等。
5.3谈论在平面应力和弯曲状态组合的情况下，三角形刚度矩阵的特点
（1） 平面内的作用力产生的变形不影响弯曲变形，反之亦然
（2） 节点把转向 在两种应力状态下都不加入到变形中，相应的节点力也不存在，将平面应力状态和弯曲状态加以组合后，单元的每个节点的位移向量和节点力向量是 要指出的是，在局部坐标系中，节点位移不包括 ，但为了下一步将局部坐标系的单元刚度阵换到总体坐标系下进行集成，由于平面应力状态下的节点力和平面应力状态下的节点位移 互不影响，弯曲应力状态下的节点与平面应力状态下的节点位移互不影响，所以组合应力状态下的平板、薄板单元的单元刚度矩阵如下：，=
其中矩阵和分别是平面应力问题和薄板弯曲问题的相应子矩阵，三角形单元的单元刚度矩阵是18×18矩阵。

6.1 结构的动态特性：结构的固有频率及其相应的模型，以及在随着时间而变形的外加激振力的激励下，机器或结构被激起的位移，应力或称被激起的动力响应，机械产品的动态性能是其重要的性能指标，尤其对现代复杂、高速、重载精密机械系统，动态性能是影响其工作性能及产品指标的关键技术指标，机械结构的动态特性问题早在上个世纪30年代就引起人们的重视，动态特性的发展为机械动态设计提供了坚实的基础。
6.2 结构离散后，在运动状态各节点的动力平衡为：其中,,分别以惯性力、阻尼力和动力载荷均为矢量，为弹性力，弹性力矢量可用节点位移和刚度矩阵表示为：=式中刚度矩阵的元素为节点j的单位位移在节点i引起的弹性力，根据达朗贝尔原理，可利用质量矩阵和节点加速度表示惯性如下：=式中质量矩阵为节点j的单位加速度在节点i引起的惯性力，设结构阻尼（滞粘），可用阻尼矩阵C和节点速度，表示阻尼如下：=，将各式带入：++=，记=，=。则运动方程：++=
6.3单元的质量矩阵：=
质量矩阵是对称阵，各节点的质量互相耦合，即平动惯性和转动惯性之间耦合，如果把单元的一致质量集中的分配在它们的节点上，则此质量矩阵成为集中质量矩阵质量分配原则：按静力学平行力的分配法则，将单元的一致质量矩阵用集中于节点外的质量来代替，形函数计算所得的[M]称为一致质量矩阵。
6.5 结构阻尼（只与结构本身材料性质有关）
结构在自由振动过程中，如果没有能量的耗散，振动将永远保持由初始条件决定的振幅持续不停，但实际上，结构自由振动的振幅都会随时间而衰减，经过一定时间后，这是因为系统的能量因某些原因而消耗，这种能量的耗散作用称阻尼，由阻尼使振动衰减的系统称为阻尼系统。
在结构内部阻尼是非粘线的，但它近似于线性的，弹性材料，特别是金属材料表示一种结构阻尼的性质，这种阻尼是由于材料受力变形而产生的内摩擦力和变形之间产生了相位滞后。
产生能量耗散的原因有结构的内摩擦（或粘性）构件接口处的摩擦、周围介质（如空气、建筑物地基）的阻尼影响等，但有关阻尼的作用机理，目前尚未完全研究清楚。
1.推导横截面积为A的一维桁架架构单元刚度矩阵。
解：设杆件两端点位i，j，ξ，η为单元局部坐标，ξ表示单元任一截面的位置，则其发生的位移：u=a0+b1ξ，v=b0+b1ξ+b2ξ2+b3ξ3，即：
u 1 0 0 ξ 0 0
= *（a0 b0 b1 a1 b2 b3）T
v 1 0 ξ 0 ξ2 ξ2
[H] [α]
记{U}=[u,v]=[H]* [α]，
由i，j两端的位移分量可得：{ζ}=[G]*[ α],
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
其中[G]= 0 0 1 0 0 0 给上式左乘[G]-1,则有
1 0 0 L 0 0
0 1 L 0 L2 L3
0 0 1 0 2L 3L2
{u}=[H]* [G]-1*{ζ},令[N]= [H]* [G]-1
N1=[1-ξ/L 0 0 ξ/L 0 0],
N2=[0 1-3[ξ/L]2+2[ξ/L]3 ξ*（1-ξ/L）2 0 3[ξ/L]2+2[ξ/L]3 ξ*（ξ/L-1）*ξ/L]，

应用几何物理方程可得：[ε]= ξn = *[ζ]=[B]* [ζ]