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2021-2022学年高中数学 第1章 集合与常用逻辑用语 1.1 1.1.1 第2课时 集合的表示方法学案 新人教B版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第1章 集合与常用逻辑用语 1.1 1.1.1 第2课时 集合的表示方法学案 新人教B版必修第一册

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第2课时　集合的表示方法
学 习 任 务
核 心 素 养
1．掌握集合的两种表示方法．(重点)
2．掌握区间的概念及表示方法．(重点)
1．借助空集、区间的概念，培养数学抽象的素养．
2．通过学习集合的两种表示方法，培养数学运算的素养.

语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐”，英文为“Happy Birthday”……那么，对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
知识点一　集合的表示方法
1．列举法
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法．
1．一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？
[提示]　用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．
例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合．
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；
(2)集合中的元素必须是明确的；
(3)集合中的元素不能重复；
(4)集合中的元素可以是任何事物．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}． (　　)
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×
[提示]　(1)集合中的元素是互异的．
(2)集合{(1,2)}中的元素是(1,2)．
2.不等式x－3＜2且x∈N*的解集用列举法可表示为________．
{1,2,3,4}　[∵x－2＜3，∴x＜5.又x∈N*，∴x＝1,2,3,4，故可表示为{1,2,3,4}．]
2．描述法
一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．
2.观察下列集合：
(1)不等式x－2≥3的解集；
(2)函数y＝x2－1的图像上的所有点．
问题1：这两个集合能用列举法表示吗？
[提示]　不能．
问题2：如何表示这两个集合？
[提示]　利用描述法．
3.由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．
{0,1,2,3,4}　{x∈N|－1＜x＜5}　[大于－1小于5的自然数有0,1,2,3,4.故用列举法表示集合为{0,1,2,3,4}；用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且－1＜x＜5.故用描述法表示集合为{x∈N|－1＜x＜5}．]
知识点二　区间的概念及其表示方法
1．设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表：
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]

{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)

{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
[a，b)

{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
(a，b]

2.实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如：
符号
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
集合
{x|x≥a}
x＞a
{x|x≤a}
{x|x＜a}
(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．
(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．
4.用区间表示下列集合：
(1){x|－1≤x≤2}：________；
(2){x|1＜x≤3}：________；
(3){x|x＞2}：________；
(4){x|x≤－2}：________.
[答案]　(1)[－1,2]　(2)(1,3]　(3)(2，＋∞)　(4)(－∞，－2]

类型1　用列举法表示集合
【例1】　(1)若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是(　　)
A．1　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
(2)用列举法表示下列集合．
①不大于10的非负偶数组成的集合；
②方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
③直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
④方程组的解集．
(1)B　[集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．选B．]
(2)[解]　①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
②方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．
③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．
④解方程组得
∴用列举法表示方程组的解集为{(0,1)}．

用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．
提醒：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间用“，”隔开．

1．(1)用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(　　)
A．1　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
(2)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，则集合B＝________.
(1)C　(2){0,1,2,3}　[(1)由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．
(2)对任意a∈A，有|a|∈B，因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B．
又因为B中只有4个元素，所以B＝{0,1,2,3}．]
类型2　用描述法表示集合
【例2】　(对接教材P9练习A④)用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合；
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)大于4的所有偶数．
[解]　(1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x＞0，y＞0}．
(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．

1．描述法表示集合的2个步骤

2．选用列举法或描述法的原则
要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．

2．用描述法表示下列集合：
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合．
[解]　(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3，
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
类型3　区间及其表示
【例3】　(对接教材P9练习A⑤)将下列集合用区间及数轴表示出来：
(1){x|x＜2}；
(2){x|x≥3}；
(3){x|－1≤x＜5}．
[解]　(1){x|x＜2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下：

(2){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下：

(3){x|－1≤x＜5}用区间表示为[－1,5)，用数轴表示如下：

用区间表示数集的原则和方法
(1)用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错．
(2)用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．

3．(1)不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是(　　)
A．(2，＋∞)　　　　 B．[2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
(2)若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围为_________.
(1)B　(2)　[(1)不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2，＋∞)．
(2)由区间的定义可知3a－1＞a，即a＞.]
类型4　集合与方程的综合问题
【例4】　(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝(　　)
A．1 B．2　　　
C．0　　　 D．0或1
(2)设∈，则集合中所有元素之积为________．
(1)D　(2)　[(1)当a＝0时，
原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
(2)因为∈，
所以－a－＝0，
解得a＝－.
当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝－4×＝＞0，由x2－x＋＝0，解得x1＝，x2＝9，所以＝，故集合的所有元素的积为×9＝.]

[变条件]若本例(1)中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”，求a的取值范围．
[解]　A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例题解析可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a＞0，即a＜1且a≠0.所以A中至少有一个元素时，a的取值范围为(－∞，1]．

集合与方程综合问题的解题策略
(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ＜0，则方程无解；若Δ＞0，则方程有两个不等的实数根．
(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数(含参数)的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．

1．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为(　　)
A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}
C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}
D　[解方程x2－3x＋2＝0可得x＝1或x＝2，
故集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．]
2．已知M＝{x|x－1＜}，那么(　　)
A．2∈M，－2∈M B．2∈M，－2∉M
C．2∉M，－2∉M D．2∉M，－2∈M
A　[若x＝2，则x－1＝1＜，所以2∈M；
若x＝－2，则x－1＝－3＜，所以－2∈M.故选A．]
3．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1 B．3
C．5 D．9
C　[x－y∈{－2，－1,0,1,2}．]
4．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　)
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合
D　[集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D．]
5．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2<x≤4}＝________.
[答案]　(1)[1，＋∞)　(2)(2,4]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．∅与{0}有什么区别？
[提示]　(1)∅是不含任何元素的集合；
(2){0}是含有一个元素的集合．
2．在用列举法表示集合时应注意什么问题？
[提示]　(1)元素间用分隔号“，”；
(2)元素不重复；
(3)元素无顺序；
(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
3．在用描述法表示集合时应注意什么问题？
[提示]　(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑．
4．关于无穷大的两点注意事项是什么？
[提示]　(1)∞是一个符号，而不是一个数；
(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端点时，这一端必须用小括号．

以实际问题为背景的集合问题
幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验每年，家有即将幼升小的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位如何呢？某市东城区2020年率先发布了幼升小入学政策：
1．本市户籍适龄儿童入学．凡年满6周岁(2014年8月31日以前出生)的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证(监护人持有)的适龄儿童均需参加学龄人口信息采集，免试就近登记入学．
2．非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东城区同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在东城区接受义务教育的，参加信息采集，通过五证审核后，通过电脑派位在东城区内多校划片入学．
该市东城区2021年的入学顺位可以参考2020年公布的入学顺位说明：
第一顺序：“本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第二顺序：“房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市房口”；
第三顺序：“本片区户口＋‘四老’房屋产权”；
第四顺序：“本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第五顺序：“七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第六顺序：“本片区户口＋军产房或部队证明及住房”；
第七顺序：“本片户口＋‘(外)曾祖父’房屋产权”．

若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合A，则
(1)某儿童a具有该市户口(非本区)，a是集合A的元素吗？
[提示]　a不一定是A中的元素，由于a不是东城区户口，还需满足房屋产权所有人为儿童本人或其父或母．
(2)某儿童b的父母在东城区有房屋产权，b是集合A中的元素吗？
[提示]　b不一定是A中的元素，因为b不一定具有本片区户口．