南航矩阵论2013研究生试卷及答案.doc

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南京航空航天大学2012级硕士研究生
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2012 ~ 2013学年第1学期 《矩阵论》 课程考试A卷
考试日期：2013年1月15日 课程编号：A080001 命题教师： 阅卷教师：
学院 专业 学号 姓名 成绩
一、(20分) 设是的一个线性子空间，对任意，定义：，其中.
(1) 求的一组基和维数；
(2) 对任意，定义：
，
证明是的一个内积；
(3) 求在题（2）所定义的内积下的一组标准正交基;
(4) 证明是的线性变换，并求在题（1）所取基下的矩阵.

解答：(1) 的一组基为维数为3.
……………………………………(5分)
(2) 直接验证内积定义的四个条件成立. …………………………… (4分)
(3) 标准正交基. …………(5分)
(4) 由于,所以是的一个变换.又直接验证,知
,
因此是的一个线性变换. ………………………………(3分)
线性变换在基下的矩阵为
. ……………………………………………(3分)

二、(20分)设三阶矩阵，，.
(1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan标准形；
(2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由.

解答: (1)的行列式因子为;…(3分)
不变因子为; …………………(3分)
初等因子为;……………………(2分)
Jordan标准形为. ……………………(2分)
(2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分)
相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分)

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三、(20分)已知线性方程组不相容.
(1) 求系数矩阵的满秩分解；
(2) 求广义逆矩阵；
(3) 求该线性方程组的极小最小二乘解.

解答:(1) 矩阵,的满秩分解为
. …………………(5分)
(2) . ……………………(10分)
(3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)

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四、(20分)已知幂级数的收敛半径为3,矩阵.
(1) 求；
(2) 证明矩阵幂级数收敛；
(3) 求矩阵幂级数的和.

解答：(1) . ………(10分)
(2) 因为是相容范数，且，则在收敛半径内，因此级数收敛. ……………(5分)
(3) . ……………(5分)

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五、(20分)设是两个阶矩阵,其中，证明:
(1) 若对任意，有则可逆；
(2) 若都是Hermite正定矩阵，则的特征值均为正数；
(3) 若都是Hermite半正定矩阵，则,并且当等号成立时,必有.

解答：
(1) 由可得，，由于是相容范数，则，的特征值都不为零，因此可逆. ………………………(6分)
(2) ,这里是可逆的Hermite矩阵,从而.由于与有相同的特征值，且，所以的特征值均为正数.
………………(8分)
(3) ，这里是Hermite矩阵.由于与有相同的特征值，且,所以的特征值均为非负数,从而. …………………(4分)
当时,有,从而.设这里也是Hermite矩阵,则
.
于是,由此得到. …………(2分)
.

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