2021-2022学年高中数学-第4章-指数函数与对数函数-4.5-4.5.1-函数的零点与方程的解.doc

2021-2022学年高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.5 4.5.1 函数的零点与方程的解学案 新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.5 4.5.1 函数的零点与方程的解学案 新人教A版必修第一册

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4.5　函数的应用(二)
4.5.1　函数的零点与方程的解
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)
2．会求函数的零点．(重点)
3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(难点)
1．借助零点的求法，培养数学运算和逻辑推理的素养．
2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养.

请观察下图，这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被不小心擦掉了，现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他吗？

知识点1　函数的零点
(1)函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
1.函数的零点是函数与x轴的交点吗？
[提示]　不是．函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
(2)方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．
1.函数y＝2x－1的零点是(　　)
A．　 B．　　
C． D．2
A　[由2x－1＝0得x＝.]
2.下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　)

　 A　　　　B　　　 C　　　　D
D　[结合函数零点的定义可知选项D没有零点．]
知识点2　函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
(1)定理要求具备两个条件：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f(a)f(b)<0.两个条件缺一不可．
(2)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数．
2.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
[提示]　不能．
3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．(　　)
(2)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(　　)
(3)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

类型1　求函数的零点
【例1】　(1)求函数f(x)＝的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
[解]　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－.
所以函数g(x)的零点为0和－.

函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．

1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；
(4)f(x)＝.
[解]　(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，
所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
类型2　零点个数的判断
【例2】　(对接教材P143例题)判断下列函数零点的个数：
(1)f(x)＝(x2－4)log2x；
(2)f(x)＝x2－；
(3)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2.
[解]　(1)令f(x)＝0，得(x2－4)log2x＝0，因此x2－4＝0或log2x＝0，
解得x＝±2或x＝1.
又因为函数定义域为(0，＋∞)，所以x＝－2不是函数的零点，故函数有2和1两个零点．
(2)法一：令f(x)＝x2－＝0，得x2＝，即x3＝1，解得x＝1，故函数f(x)＝x2－只有一个零点．
法二：令f(x)＝x2－＝0，得x2＝，设g(x)＝x2(x≠0)，h(x)＝，在同一坐标系中分别画出函数g(x)和h(x)的图象如图所示．

由图象可知，两个函数图象只有一个交点，
故函数只有一个零点．
(3)法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3>0，
∴f(x)＝0在(0,2)上必定存在实根．
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在区间(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．
法二：令h(x)＝2－2x，g(x)＝lg(x＋1)，在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个公共点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．

判断函数零点个数的常用方法
(1)直接法：解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0解的个数就是函数f(x)零点的个数．
(2)图象法：直接作出函数f(x)的图象，图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数．
(3)f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两个图象公共点的个数就是函数y＝f(x)零点的个数．

2．已知0<a<1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为(　　)
A．1　　 B．2　　　　
C．3　　 D．4
B　[函数y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零点的个数即方程a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的个数，也就是函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点的个数．
画出函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点的个数为2，从而函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为2.]
类型3　判断函数零点所在的区间
【例3】　(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(3,4) B．(2，e)
C．(1,2) D．(0,1)
(2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是
(　　)
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x＋3
2
3
4
5
6
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)

结合零点存在性定理思考怎样判定函数在区间(a，b)内存在零点？

(1)C　(2)C　[(1)因为f(1)＝ln 2－<0，f(2)＝ln 3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.
(2)构造函数f(x)＝ex－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0，
f(0)＝1－3＝－2<0，
f(1)＝2.72－4＝－1.28<0，
f(2)＝7.39－5＝2.39>0，
f(3)＝20.08－6＝14.08>0，
f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.]

判断函数零点所在区间的3个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数， 则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．

3．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．3
A　[f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.]

1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)
A．－，－1 B．，1
C．，－1 D．－，1
B　[方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.]
2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是(　　)
A．(0,1)　　 B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
B　[∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，
∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]
3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(　　)
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
D　[∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．]
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．
2　[由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．]
5．若函数f(x)＝＋a的零点是1，则实数a＝________.
－　[由f(1)＝＋a＝0得a＝－.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数的零点、相应方程的根及图象之间存在怎样的内在联系？
[提示]　函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：

2．函数零点存在定理满足的条件有哪些？
[提示]　定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
3．探求函数零点个数的方式有哪些？
[提示]　直接解方程法；图象交点个数法；定理法．