2020-2021学年高中数学-第一讲-坐标系-一-平面直角坐标系学案新人教A版选修4-4.doc

2020-2021学年高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系学案新人教A版选修4-4

2020-2021学年高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系学案新人教A版选修4-4

年级：
姓名：

一　平面直角坐标系
考　纲　定　位
重　难　突　破
1.理解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法.
2.能建立适当的直角坐标系，解决数学问题.
重点：平面直角坐标系中点的坐标的伸缩变换.
难点：建立适当的坐标系，运用坐标法解决有关问题.

授课提示：对应学生用书第1页

[自主梳理]
1．平面直角坐标系
(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．
(2)平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系．通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴叫做x轴或横轴，竖直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴或y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点．平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．
(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：
两点间的距离公式
中点P的坐标公式
|P1P2|＝

2.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
[双基自测]
1．两个定点的距离为4，点M到这两个定点的距离的平方和为16，则点M的轨迹是(　　)
A．圆　　　　　　　　 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：设两定点分别为A、B，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，设动点M(x，y)，则由|MA|2＋|MB|2＝16，可得：(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，化简得轨迹方程x2＋y2＝4.故选A.
答案：A
2．△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为(3，)，(3，－)，(0,0)，动点到A，B的距离的平方和等于它到C点的距离的平方，则动点的轨迹方程为(　　)
A．(x－6)2＋y2＝12
B．(x＋6)2＋y2＝12
C．x2＋(y－6)2＝12
D．x2＋(y＋6)2＝12
解析：设动点坐标为(x，y)，则(x－3)2＋(y－)2＋(x－3)2＋(y＋)2＝x2＋y2，整理得(x－6)2＋y2＝12，故选A.
答案：A
3．把方程y＝cos x变为y′＝ cos 4x′的伸缩变换公式为________．
解析：比较两方程知故伸缩变换公式为
答案：
4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos 2x按伸缩变换后变换为________．
解析：由得
代入曲线y＝cos 2x，得y′＝cos x′，
即y＝cos x.
答案：y＝cos x

授课提示：对应学生用书第2页

探究一　运用坐标法解决平面几何问题
[例1]　已知▱ABCD，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
[证明]　

方法一　解析法
以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，　
则AC的中点E(，)，
由对称性知D(b－a，c)，
所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，
|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，
|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab
＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，
|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，
所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
方法二　向量法
在▱ABCD中，＝＋，
两边平方得＝||2
＝＋＋2 ·，
同理得＝||2
＝＋＋2·，
以上两式相加，得
||2＋||2＝2(||2＋||2)＋2·(＋)
＝2(||2＋||2)，
即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．

建立平面直角坐标系的技巧
(1)如果平面几何图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点．
(2)如果平面几何图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴．
(3)尽量使平面几何图形上的特殊点在坐标轴上．

1．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出此最小值．
解析：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
则A，B，
C.
设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋2＋2＋y2＋2＋y2
＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋32＋a2≥a2，
当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立．
∴所求的最小值为a2，此时P点的坐标为P，即为正三角形ABC的中心．
探究二　用平面直角坐标系解决实际问题
[例2]　已知B村庄位于A村庄的正西方向1 km处，原计划在经过B村庄且沿着北偏东60°的方向上埋设一条地下管线l，但在A村庄的西北方向400 m处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100 m范围划为禁区．试问，埋设地下管线l的计划需要修改吗？
[解析]　以A为坐标原点，正东方向和正北方向分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(－1 000,0)．由W位于A的西北方向及|AW|＝400，得W(－200，200)．
由直线l过点B且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线l的方程是x－y＋1 000＝0.
于是，点W到直线l的距离为
d＝
＝
＝500－100(＋)≈114>100，
所以埋设地下管线l的计划不需要修改．

合理建立坐标系的作用
合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立的合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，反之，将会带来计算的烦琐，结果也不明确．

2.如图所示，某村庄P处有一堆肥料，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到呈矩形的一块田地ABCD中去，已知PA＝100 m，PB＝150 m，BC＝60 m．∠APB＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥料较近，而另一侧的点沿PB送肥料较近？如果能，请说明这条界线是什么曲线，并求出它的方程．
解析：田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥料较近，第二类沿PB送肥料较近，第三类沿PA或PB送肥料一样远近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．
设M是界线上的任一点，
则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，
即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)．
故所求界线是以A、B为焦点的双曲线的一支，若以直线AB为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则所求双曲线方程为－＝1，其中a＝25.
又2c＝|AB|＝＝50，
即c＝25，b2＝c2－a2＝3 750.
因此，双曲线方程为－＝1(25≤x≤25，0≤y≤60)，
此方程为所求界线的方程．
探究三　平面直角坐标系中的伸缩变换
[例3]　在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．
[解析]　设满足条件的伸缩变换为将其代入第二个方程，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4.
所以
直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍即可得到直线2x′－y′＝4.

坐标伸缩变换需注意的事项
坐标伸缩变换φ：注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知变换前后曲线方程也可求伸缩变换φ.

3．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x2＋y2＝1变成曲线＋＝1.
解析：设变换为
代入方程＋＝1，得＋＝1.
与x2＋y2＝1比较，将其变形为
x2＋y2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.
∴即将圆x2＋y2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆＋＝1.

平面直角坐标系下的轨迹问题
[典例]　(本题满分6分)如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．

[解析]　以O1O2的中点O为坐标原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，1分

则O1(－2,0)，O2(2,0)，设P(x，y).2分
由已知|PM|＝|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.
因为两圆的半径均为1，
所以|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12)．则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，5分
所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0).6分
[规律探究]　　(1)求轨迹方程的一般步骤：

(2)选择适当的坐标系，建系不同，求得的轨迹方程也不同，坐标系的选取应以求解过程的计算量最小，求出的轨迹方程最简单为目标，在求解过程中不仅要从约束条件中的等量关系求出轨迹方程，同时还要关注约束条件中的不等关系，并转化成x，y的取值范围在方程后面加以注明．

[随堂训练]　对应学生用书第3页
1．若平行四边形ABCD的顶点为A(0,0)，B(0，b)，C(a，c)，则第四个顶点D的坐标是(　　)
A．(a，b＋c)　　　　　 B．(－a，b＋c)
C．(a，c－b) D．(－a，b－c)
解析：设D(x，y)，由题知＝，
即(0，b)＝(a－x，c－y)，
∴x＝a，y＝c－b，
∴D点的坐标为(a，c－b)．
答案：C
2．已知平面上两个定点A，B，且A(－1,0)，B(1,0)，动点P与两定点连线的斜率之积为－1，则动点P的轨迹是(　　)
A．直线 B．圆的一部分
C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分
解析：设点P的坐标为(x，y)．
因为kPA·kPB＝－1，
所以·＝－1，
整理得x2＋y2＝1(x≠±1)．
答案：B
3．点经过伸缩变换后的点的坐标是________．
解析：设点经过伸缩变换后的点的坐标为(x′，y′)，则x′＝2x＝2×＝π，y′＝5y＝5×1＝5.
答案：(π，5)