电路与电子技术 8 逻辑代数基础.pdf

第8章逻辑代数基础8.1数字 电路概述 8.2逻 辑运算与逻辑函数 8.3集 成逻辑门电路 8.4逻 辑函数的化简 8.5具 有约束项的逻辑函数 8.6 逻辑函数不同表达形式之间的相互转换81数字电路概述模拟电路：父理和传输模拟信号的 电路。模拟信号:时间上连续：任意时刻有一个相对的值。数值上连续：可以是在一定范内的任意值。例如：电压、电流、温度、声音等。优点：用精确的值表示事物。岐点：很难度量；容易受噪声的干扰;难以保存。数字电路：处理和传输数字信号的 电路。数字信号：时间上离散：只在某些时刻有定义。数值上离散:只能是某一个最小单位的整数倍。如原子的个数、汽车的数量等。模拟信号可以用数字的形式来表示即把模拟信号经过取样、量化、编H01；1100码,就可转化成二进制的数字信息（由0、1数字串所构成的数字流）o1010，t1001 1000数字电路与模拟电路的比较区别点模拟电路数字电路工作信号时间、数值都连续的 模拟信号时间、数值都离散的 数字信号基本构工作线性放大状态开关状态成单元状态为半导外部必须使器件工作在必须使器件满足体元件电路条件F线性放大区开关工作的条件研究的研究电路对输入信号研究电路输出和输主要问题的放大和变换功能人之间的逻辑关系基本单元电路放大器逻辑门和触发器6数字电路的优点现代社会是一个 数字化的时代！厂抗干扰能力强，精度高;数字信号易保存和读取；基本电路结构简单，适合集成和二 I 通用性好，可采用标准化的逻耦9化生产。步件构成;数字电路在日常生活、自动控制、测量仪器、通信等领域得到广泛应用!数字电视将传统的模拟电视信息经过采样、量化、编码，转化成 二进制的数字信息，然后进行处理、传输、存储和记录,通过机顶盒接收、解码、转换成AV信号再输入到电视机 播放。典型的数字测量控制系统框2数字电路主要学习内容逻辑代数基本知识组合逻辑电路 时序逻辑电路模数转换电路8.1.2数制与编码数制：多位数码中每一位的构成方法以及由低位到 高位的进位规则。数制基数数码计数规则十进制100-9逢十进一二进制20、1逢二进一八进制80-7逢八进一十六进制1609、ABCDEF逢十六进一附用的数制有：十进制、二进制、八进 制、十六进制等。目前在微型计算机系统中普 遍采用8位、16位、32位二进 制并行运算，而它们分别可 以用2位、4位、8位十六进制 数表示，因而用十六进制数 书写程序十分方便，成为当 前的主流程序书写模式。数制转换1,各种进制 楂换为 十进制规则：按“权”展开法任一N进制数。的十进制展开式为：(D)n=y kjW(1101).=1x23+1x22+0 x21+1x2=13D(347.5)8=3 x 82+4*8】+7 x 8+5 义 8-1=231.625D(2C.5)i6=2 x 16+12 x 160+5 x 16/=44.3125D2.十进制 转换为 其他进制规贝u：整数部分：除基取余，逆序排列小数部分：乘基取整，顺序排列例如：(35.78)10=(100011.1100011)2解：整数部分35+2=1717+2=88+2=44+2=22+2=114-2=0余数1 余数1余数0 余数0余数0 余数1小数部分0.78 X 2=1.560.56 X 2=1.120.12 X 2=0.240.24 X 2=0.480.48 X 2=0.960.96 X 2=1.820.82 X 2=1.64整数1 整数1 整数0 整数0 整数0 整数1 整数1刘为3.二进制、，、进制、十六进制之间的相互转换规则：以小数点为基准，分别向左、向右分组 每三位二进制 数对应一位八进制 数a位二进制 数对应一位十六进制 数例：(10011101.11)2=(010 011 101,110)2=(235.6)8(10011101.11)2=(1001 1101.1100)2=(9D.C)16(4FD.A)16=(0100 1111 1101.1010)2二进制(532.7)8=(101 011 010.111)2=(0001 0101 1010.1110)2=(15A.E)16不同进制数的对照举例样制（D）二进制（B）八进制（0）十六进制（H）0000000010001011200100223001103340100044501010556011006670111077810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F编码：用二进制数表示文字、符号等信息的过程口最常用的编码为二进制类编码与ASCII码ASCII码是一种用7位二进制 数码表示数字、字母或符号的代码，是计算机通用 的标准代码。在二进制类编码中，以二十进制码（BCD码）使用最多,即用位二进制代码来表示09十个字符,a如8421BCD码、2421BCD码、5421BCD码、余三 码、格雷码等。几种常见的BCD代码编码种类十进制数o-8421码 2421码5421码余3码格雷码2 X T T6 T a y 权0000 00000001 00010010 00100011 00110100 01000101 10110110 11000111 11011000 11101001 11118421 24210000 0011 00000001 0100 00010010 0101 00110011 0110 00100100 0111 01101000 1000 01111001 1001 01011010 1010 01001011 1011 11001100 1100 1101542 1 无权码 无权码口循环码:相 邻两个代码只有一位状 态不同（相邻性）；首尾两个代码也伍有一位 不同（循环性）；以中间为对称的每两个代 码仅第一位状态不同；（反射性）8.2逻辑运算与逻辑函数8.2.1逻辑代数的三种基本运算逻辑代数:研究和揭示逻辑运算关系的一门 学科,它是逻辑电路分析和设计的数学基础。由英科学家乔治布尔所创立,所以逻辑代数又称臼为布尔代数。逻辑代数和普通代数的比较：相同之处：都是研究函数与变量之间的关系，|且都是用字母（A.B、C.F等）表示变量;I不同之处：如下表所示：区别基本运算种类取值范围普通代数加、减、乘、除OO-1-00逻辑代数与、或、非0或1,表示两种不同的逻辑状态_“与”逻辑只有当决定某一事件的所有条件都满足 时，该事件才发生。，灭“0”A B F开开 开合 合开 合合灭 灭 灭 亮ABF0 000 101 001 11列写真值表时应注意：个输入支置，共有 2 种输入状态组合最好按二进制 数由 小到大 的）故序列写41为“与”逻辑只有当决定某一事件的所有条件都满足 时，该*件才发生。打开“0”9F美A、B 31 合“1”灭“0”功能表列写真值表时应注意：。个输入变量，共有 2 种输入状态组合。最好按二进制数由小到大 的）颜序列写开开 开合 合开 合合灭 灭 灭 亮真值表A B“与”逻辑口逻辑表达式：F=A9B=ABABF0 000 101 001 11“与”运算又称逻辑“乘”运算规律：0*0=0 01=010=0 11=1有0出0,全1出1“与”逻辑在逻辑电路中，把能实现“与”运算的基本单元 电路称为“与”门。“与”门的逻辑符号：A _|A _&b&-=A3CB-，-“或”逻辑 决定某一事件的所有条件中只要有一个*E满足,4事件就会发生。开关口逻辑表达式：F=A+B“或”运算又称逻辑“加”逻辑符号为：A _21B-打开“0”31 合“1”口真值表A B F0 0 00 1110 11 1 1厂灭“0”灯Y匚亮 I0+0=00+1=11+0=11+1=1有1出1,全0出0“非”逻辑 事件的结果总是与事件的条件相反。R口逻辑表达式：P“非”运算的运算规则：0=1 1=0逻辑符号为:注意:A“非”门只有一个输入端8.2.2 常用的复合逻辑运算在逻辑代数中，除了“与“、”或”、“非”三 种基本逻辑运算外，经常用到的还有一答由这三种基 本运算构成的复合运算：“与非”运算“或非”运算“与或非”运算“异或”运算“同成”运算“与非”逻辑口逻辑结构：口逻辑表达式:F=AB口逻辑符号：AB&3F有0出1,全1出0常用 芯片：74LS00,74LS2074LS00（四2输入与非门）74LS20（双4输入与非门）“或非”逻辑口逻辑结构：口逻辑表达式：F=A+B口逻辑符号：AB有1出0,全0出11-F耐用 芯片：74LS02,74LS27逻辑结构:A_ ABB&FT_c_D&CD口逻辑表达式：F=AB+CD口逻辑符号：A B-&、C-D附用芯片：74LS54,74LS64F1-“异或”逻辑口逻辑结构：口逻辑表达式:口真值表:F=AB+AB=AB口异或门的逻辑符号:A_-B-=1 F常用芯片：74LS86注意：“异或”门只有两个输入端如何实现方=ABCABCF“同或”逻辑真值表:片=A两个变量的同或：相同出1,相异出0口逻辑表达式：F=AB=AQB=AB+AB逻辑符号:FABVWA A.5=A 5AB+AB=AB+AB AB+AB=AB+AB注意：A3CwA3 CABC A 3。AJ Cololol O1oolloo 11ooooll 111 1 1 11 1 1 1A 5 C=A，B CMH根据“同或”和“异或”的运算规律，还可得到以下 运算公式：Z 4=0；2 4=1；(2)=A(t)A=0；AB=AB+A百A1=X&A A=A+A=1A 0=1j)+A 吊二 A力1=4；40=44。1=4；A(3)0=AA_B=AB+ABA_AA A+A A=A+A=1A 一 0=A 0+A 0=A(AB)C=(AC)B(AB)了 二(A局B=1B=m8.2.3逻辑函数的表示方法真值表逻辑表达式逻辑函数的表示方法波形卡诺真值表将个输入变量的2个取值组合与其对应的输出函数值列出来的一个表格。例如：设计一个三人（A、B、C）表决使用的逻辑电路，当多 数人赞成（输入为1）时表决结果F有效，输出为1,否则F为0。ABC F输入有23=8个不同的取值组合,把8种输入组合下对应的输出 值列成表格，可得到真值表。0 0 00 0 10 100 11 10 0 10 1 110 111000 10 11VW6最小项逻辑表达式的形式有多种，其中“与或表达式是最基 本的表达形式，由“与或”表达式可以转换其他各种形式。标准与或式标准与或式F=ABC+ABC+ABC+ABC恤 m1 加2 m3 m4 m5 m6ABCABC ABC ABC ABC ABC ABC叫ABCA 0 0 0 01 11 1B 0 0 1 1 0 0 1 1C 01 01 01 01F 0 0 01 01 11F(A1,C)=m3+m5+m6+m7变量以Av；为最高位、c为低位_(2)其他形式的逻辑表达式F1=AB+AC“与或”式F2=(A+B)(A+C)“或与”式f4=a+b+a+c耳二ABAC“与非一与非”式ACAB“或非一或非”式MW由“与或”式求“与非一与非”式为=AB+AC=AB+AC摩根=ABACTH逻辑逻辑图是用逻辑符号表示逻辑关系的图形表示法。耳=ABAC波形图:-用 变量随时间变化的波形来反映输出与输入之间 对应关系的一种 图形表示法F=AB+ABAB0111100001 1 10 1 01 0 10 10 00 18.3 集成逻辑门电路实现逻辑关系的单元电路称为门电路。分立元件构成的逻辑门电路令二极管构成的“与”门电路AB厂与A、3间的逻 辑关系可表示为：A B0 0110101F=F-0 0 0 1A B令工作原理UA(V)UB(V)UF(V)0 00.70 50.75 00.75 55 集成逻辑门 把晶体管、电阻及电路连线等制作在一 块半导体的基片上，井封装在一个壳体内的逻辑门 电路。集成逻辑门电路的分类按基本组成元件可分为:TTL(Transistor-Transistor Logic):以汉极缪三极虚作为开关器件CCMOS(Complementary Metal-oxide-Semic onduc tor):由NMO5和PMOS互补组合而成两者性能比较：一 TTL：电路速度快，功耗较大 yJ CMOS:电路速度慢，功耗很低*我 TTL集成逻辑门电路7Tz产品系列：74XX,74HXX,74SXX.74LSXX不周：平均传输延迟时间和平均功耗有差异。-相同：其他参数和外引线彼此相容，结构特点 相同，电气参数基本相同。l.IB IY 2A 2B 2VGNDTHk C 海一）0SZI+ssV1yui0S+0亡*1芈合丫解A+Sso十年”黑AS SS P/33a田售婆售R*率普金导融M施第*加迪曲X比一一:谢黄 3率EUTLI 输入、输出电平:名称符号额定值(V)最不输入氐电平VL(ma x)0.8最小输入黑电平V【h(min)2.0最不输出氐电平匕9L(ma x)0.4最小输出畀电平2.4注意：在逻辑电路中，“高”、“低”电平是一个 离散的概念。Vh=3.6VVL=0.2V与非门 及与门 多余输入端的 处理(1)多余输入端接高电平。(2)将多余输入端和已使用的输入端并联使用。&A BVW或非门 及或门 多余输入端的 处理(1)多余输入端接低电平。A-1b Q_(a)R CMOS集成门电路的特点和注意事项特点:1）功耗低2）工作电源电压范围宽3）抗干扰能力强4）带负载能力强5）输出电压幅度大使用注意事项：1）多余的输入端不能悬空2）注意输入电路的过流保护3）电源电压极性不能反接，以防止输出短路。ME8.3.2 特殊TTL门电路集电极开路“与非”门(1 电流过大可能损坏(2)输出逻辑混乱“与非”门的输出端不可以直接联接在一起！集电极开路“与非”门的输出端可以宜接联接在一起!(1)0C“与非”门的逻辑符号BAB3MR(2)OC门的应用：(a)实现“线与”逻辑关系为:L=LiL2=ABCD(c)用做驱动器如(b)实现电平转换是用 来驱动发光二极管 的 电路。+10V如 图示，可使输出高电平变为10V。+5V三态门输出不但有“o”，“1”二个状忌;还具有“高阻忌”的第三状态.r F=ABl高阻态尚一断开E(2)三态门的应用:三态门在计算机总线结构中有着广泛的应用o(a)组成单向总线-实现信号的分时单向传送。(b)组成双向总线,实现信号的分时双向传送。总线Ai&GiBiVi3-1ENiEN总线八2&G2V 1为J EN2ENG33-A 3&b3v(ENEN“58.4.1逻辑代数的基本公式AAAA-AA-分配律证明：右式=(A+W(4+C)=AA+AB+AC+BC=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC：.等式成立=A1A二101律交换律=B+A(AB)C=A(BC)A(B+C)=AB+A”)+C=A+(3+C)A+BC=(A+B)(A+C)结=A+BA+B=A反演律摩根定律AB=A+B A+B=AB 用真值表证明摩根定律ABABABA+BA+BAB00111111011011001001110011000000ABC=A+B+C _A“与”形式“或形式A+B+C=ABC JVW用用逻辑公式.A+ABAB+AB=A=A(1+B)+AB=A+AB+AB(A+B)(A+B)=AA+AB=AA(A+B)=A=A+BA+AB=A+BAB+AC+BC=AB+AC冗余律+B)=AB(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)AB+AC+BC=AB+AC+BCA+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB+ACVW讨论AB+ACBC=AB+ACBC=O?注意：逻辑代数中不存在减法运算和除法运算!逻辑等式左右两边相同的因子不能消去。例如 A-A=AA=1A+A=A A=0代入规则三大规则对偶规则代入规则在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边 所有出现的某个变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。例：A+3=正A=CD _ _ _ CD，B=CD+百=BCD=B+C+D例：A+l 3=4+B工/A+AB=A+B、A+ABC=A+BC对偶规则者F=G,贝!Jb（尸的对偶式）=G（G的对偶式）r1f 0 c 1-0 0-1 1N,0-1 1尸 二尸 GV 匚 G v!.!J v!f+尸的对偶式 f+G的对偶式逻辑代数的基本公式AA 二 0小二AA=AAB=BA(AB)C=A(BC)A(B+C)=AB+ACTHA+0=AA+A=1 A+A=AA+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)A+BC=(A+B)(A+C)AB=A+BA+B=ABVW反演规则已知逻辑函数表达式 Fr If 0Of 1F(C+D)+(CD+CD)DA+AB=A+B=C+D+D二1VWAB+AC+BC=AB+AC例 5 F5=AB+AB+BC+BC+AC+ACMl：F5=(AB+AC+BC)+AB+BC+AC=AB+(AC+X+BC)+AC=AB+AC+BC+X1AC+AB+BC解2：F5=(AB+AC+*)+BC+AB+AC=AB+(AC+BC+)+AC=AB+AC+BC+A/=AB+BC+ACMW结论A同一逻辑函数式的化简结果不唯一。A用公式化简法时往往需要经险，而且难以验证所得表达式是否为最简式。逻辑函数的卡诺图化简法问题的引出：公式化简法的不足：公式太多、技巧性太强、很难判断化简结果是否为最简?那有没有更简单、更直观的化简方法呢?卡诺图化简法!1.卡诺图的结构及其特点A什么是卡诺图？卡诺图由美国工程师卡诺首先提出的一种 用来描述逻辑函数的特殊方格图。每一个小方格代表逻辑函数的一个最小项。n个变量 2个最小项*2个方格卡诺图的结构二变量的卡诺图按最小项的十进制取值进行编号 注意：A为高位，B为低位01ABABABAB每一个小方格代 表一个最小项三变量的卡诺图变量的取值次序 按照循环码排列卡诺图结构特点：几何上相邻的两个小方格所代表 的最小项只有一个变量不同。四变量的卡诺图按最小项的十进制 取值进行编号CD abV oo00 ABCD01ABCDABCDABC01 ABCD11 ABCD10 ABCD100001111001 11a00aMW小结(1)卡诺图实质上是逻辑函数的图形表示；(2)个变量的卡诺图一共有2个小方格；(3)几何上相邻的两个小方格所代表的最小项只有一个变量不同。卡诺图的优点：用几何位置的相邻性，形象地表达了 构成函数的各个最小项在逻辑上的相邻性。2.如何用卡诺图表示逻辑函数?逻辑函数的五种表达形式:各种表达形式 可以相互转换时序图卡诺图 逻辑向 I/逻辑表达式若已知函数的真值表:卡诺图和真值表 实质上是相同的!n；100101简化01将在真值表中取值为“1”的 最小项所对应的方格填“1”取值为“0”的最小项所对应的 方格填“0 J1三变量的逻辑函数:ABCF0 0 000 0 110 101Oil010 0110 1011011111形式00 01 11 101111 1aF 0 111111MW若已知函数的标准“与或”式:真值表标准“与或”式I|=卡诺图?非标准形式函数表达式 O 卡诺图?利用A+A=1标准“与或”式例：试用卡诺图表示逻辑函数:F=AB+BC+CA解：F=AB+BC+CA=AB(C+C)+(A+A)BC+A(B+B)C=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=Y(123,4,5,6)VW非标准形式函数表达式O卡诺图?I最佳方李“与或，式I方法：根据“与或”式中每个“与”项取值为1时变量的组合来 填写相应的小方块。F=ABBC+CAA=l,B=0,C=x f5=1,C=0,A=xA=0,C=l,B=x=F=1VW例：试用卡诺图表示逻辑函数：F=ABCD+BCD+ABD+BCD+ABC解：MW3.利用卡诺图化简逻辑函数的基础:=CVWVWA卡诺图化简逻辑函数的步骤(1)画出该逻辑函数的卡诺图；(2)按照“最少、最大”的原则(即圈的个数最少,圈内的最小项个数尽可能多)圈起所有取值为“1”的相邻项；(3)对每一个矩形圈写出合并结果，再将各圈 的结果相或即为所求的最简“与或”式。与包例：用卡诺图将函数F化为最简“与或”式。尸（A 氏。）=ZN，L2,4,6）解:00 01 11 10f=c+abVW例2：用卡诺图将函数F化为最简“与或”式。F=AB+BCD+ABD+ABCD+ABDF=AB+AD+BC+BDMW4.卡诺图化简应注意的问题一(1)圈的个数要最少A卡诺图化简应注意的问题二(2)圈要最大；且必须包含为2兀个“1”，左=0,1,2,AOO01111000 Ll.11101 11111110_o11必须是2k个“1”合并VWA卡诺图化简应注意的问题三(3)不能遗漏(即每个“1”至少被圈过1次)，T)A卡诺图化简应注意的问题四(4)同一个逻辑函数可以画出不同的圈，但是 圈的个数必须相同，繁简程度也相同。F=ABD+ABC+BCD结论：同一逻辑函数式的化简结果可能不唯一。8.5具有约束项的逻辑函数约束项的概念在逻辑函数中不可能出现或不允许出现的输入变量组合。例：对8421 BCD码而言，有效输入组合为00001001,其余六种输入组合10101111不会出现，即为约束项电梯运行状态指示电路有A、B、C三个开 关分别控制电梯的 上行、下行与停止,设取“1”时有效。F表示电梯的运行 状态，取”时 表示电梯在运行中,取“0”时表示电 梯停止。具有约束项的逻辑函数的表示方法:真值表:ABC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1x 0 1 x1X X X逻辑表达式：(ABC+ABC约束条件：ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=0卡诺图：VWA约束项在卡诺图化简中的应用方法：对具有约束项的逻辑函数进行化简时，可利用约束项,即视需要把一些约束项当作，另一些当作“o”。ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=0例：化简具有约束项的逻辑函数：”尸=而（人区）+川53+才 V.约束条件：AB+CD+ACD=0解：（1）将F化为“与或”式，即F=CD(AB+AB)+ABC+ACD=ABCD+ABCD+ABC+ACD(2)由卡诺图化简 I，F=B+AD+AC约束条件：AB+CD+ACD=O8.6 逻辑函数不同表达形式之间的相互转换真值表波形/0卡诺4逻辑逻辑表达式。同一个逻辑函数的各种表达形式之间可以相互转换逻辑表达式=逻辑将式中所有的与、或、非运算用逻辑符号代替,并根据运算优先顺序把这些符号连接起来例：已知F=AB+BC,画出b的逻辑电路逻辑逻辑表达式AB从输入端到输出端逐级写 出各个逻辑符号对应的逻辑式。F=A+B+A+B|(A+B)(A+B)=AB+ABA+B=AB=4VW逻辑表达式真值表F=A+BCA=15=0,C=1c F=lVW真值表逻辑表达式A BAB 0 0AB 0 1AB 1 0AB 1 1F0111每组输入变量对应一个乘积项（最小项）,其中取值为1的写入原变量，为0的写入反 变量；A找出真值表中使逻辑的数耳二1的那些输入变量组合对应的最小项；A将这些最小项相加，即得方的 表达式F=AB+AB+AB=A+B时序图逻辑例1:分别用“与非”门和“或非”门实现逻辑函数 F=AB+AC解：（1）用“与非”门实现逻辑函数由“与或”式写出“与非-与非”式 定也F=AB+AC=AB+AC=ABACMW=A+B+A+C(2)用“或非”由“与或”式水、“或与”力/由“或与”式求“或非_或非”有/门实现逻辑函数F=AB+AC_ _ _ _ Q 及演规则 J.F=(A+B)(A+C)=AB+AC+=AB+AC_ C及演规则 F=(A+B)(A+C)N F=(A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)VWF=A+B+A+CA+B-1 d-F一 A+B+A+CA+CVW例2：逻辑电路输入A、B、C波形与输出F波形如图 所示，试分别列出真值表、写出函数式，并用“与 非”门实现。解：(1)列真值表(2)写表达式F=ABC+ABC+ABC+ABCF(A,B,C)=m1+m4+m5+m6+m7标准与或式ABCF0 0 000 0 110 100Oil010 0110 1111011111(3)用“与非”门实现F=ABC+ABC+ABC+=BC+A=BC+A=BC-AVW例3：(1)写出图所示电路的逻辑表达式，化简成最 简“与或”式；(2)已知A、B、C波形如图(b)所示，试画出函数F的波形。解：（1）写表达式耳=ABf2=鸟=BCF=FF=AeBBC=A B+BC=AB+AB+B+C=A+B+CVW(2)画波形F=A+B+C=ABC(b)