电路与电子技术 2 电路的基本分析方法与基本定理.pdf

第2章电路的基本分析方法和基本定理2.1 等效交换分析法2.2 支路电流法2.3 节点电压法2.41孔电流法2.5 叠加定理2.6 等效电源定理2.7 一阶动态电路的分析隼年8中隼聊一3W工套隼等3丫举聊4W:堂翱VVZ挈珏懈率塔圣IT有源二端网络Y无源二端网络等效的概念1.问题的提出C10Q用C替代B后，A电路的任何电压、电流和功率都将维持 与原电路相同，则对A而言，C与B等效。二端网络等效的条件两个二端网络，若端口具有相同的电压、电流关系(VCR)，则称它们对夕卜等效。；-3+VCR 相同B对A电路而言，B和C所起的作用完全相同。(3)电路等效变换的目的 一 简化电路，方便计算4810-U根据KCL得：厂/2_10-1 20 5T 10-1/A 二-可求得VCR为:7=8-41I 1 5Q IOiov H a&i4Q+T A8VqA电路的任何电压、电流和功率都将保持不变。等效是对外电路A而言，对内并不等效！2.1.2 天源二端网络的等效计算方法(1)如果内部仅含电阻，则应用电阻的串、并联和 AY变换等方法求它的等效电阻；(2)对含有受控源和电阻的单口网络，用外加电源法。即在端口加电压源U,求得电流得其比值。IH例：求图示无源单口网络的等效电阻。则R=力 八 Q eq j解：由KCL得：3/+/=5+力6 12nU=16/%q=16QA电阻的串井联等效电阻的串联1.电路特点：+ur-+uk-+un-6(+u(a)各电阻顺序连接，流过同一电流(KCL)；(b)总电压等于各串联电阻的电压之和(KVL)oU-i+U2+k+n2.等效电阻4q+u-+u左图:u-i+u2+.+k+.+n=（氏1+R?+.+Ak+i右图：u-R iJ 4q=&+&+凡=24|结论：串联电路的总电阻等于各分电阻之和。3.串联电阻上电压的分配 左 Rq Rk Rk出 u=7=YR eq eq J jR故有“左二Z.即电压与电阻成正比两个电阻的串联分压i Ri-Tu+X2 七段U=RKU2=R2 b2居十%VAI电阻的并联&口&口 町 R1.电路特点：(a)各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压(KVL)；(b)总电流等于流过各并联电阻的电流之和(KCL)oi=匕+i2+ik+in2.等效电阻4q左图：i=11+?2+.+h+n=u/R+u/R2+.+u/Rn=u(l/R1+l/R2+.+1/KJ右图：i=u/Req可得：l/Req=l/R1+l/R2+.+l/Rn即 Geq=Gi+Gz+.-+Gk+.+G=E Gk结论：并联电路的总电导等于各分电导之和。3.并联电阻的电流分配由知|h h hh=u=G u R2H Ri u/RGq Geq T T I以二盘 即电流分配与电导成正比两电阻的并联R=RJ/R2=L=1 01/R、+1/Z?2 R+R2.=1/&.=R2.=/+/屋居+RJ-17-A6 c例1计算各支路电流。力二 165/11=1549.9+181=5 A%18.9+181=10A12.4+12”=7.5 A4.4+12”=2.5 A从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤:(1)求出等效电阻或等效电导；(2)应用欧姆定律求出总电压或总电流；(3)应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系!R=(2+6/3)/4=2Q30c QZFoR=o40Q30 QR=40/40+30/30/30=30c此产 6+15/(5+5)=12Q Rm=5/(15+5)=4Q 等效电阻针对电路的某两端 而言，否则无意义。例5o求 Kb、RacMb=3(l+44)=L5QRac=1(44+3)=：Q例如图求心JE电阻的Y-A等效变换电阻的星形（Y形）联接电阻的三角形（A形）联接根据多端网络等效变换的条件，当对应端口的电压、电流关系相同时，则这两个电路对外等效。通过数学方法可以证明，这两个电路当它们的电阻 满足一定的关系时，能够相互等效。RR2 十 尺 2 尺3+R3R1R12我23RR2 十 尺 2 尺3+R3R1&由此可得Y 的规律：y形电阻两两乘积之=-mn不与根端相连的电隹&1=RR2+尺2尺3+尺3尺10若&=&=&=A时，有62=麾23=险1=3r尺12尺3 尺12+及23+及31 尺23尺12Ri=R3=尺12+及23+及31 尺3 尺232+R23+13 由此可得A-Y 的规律:结节端两电阻乘租 A形三电阻之和若&2=&3=&产靛时，有麾1=A2=&=他3l/3kQ l/3kh4E-l/3kdIkQ如何求/?3kQ/?=l/3+(l/3+l)/(l/3+3)kCIkQ3kQ，一：,石士3kQ3kQ3kKlR=3(l3+33)kQTFI若等=今（电桥平衡），则无说为多大 62 64 Uab=。将AB两点短路_ ZAB=0-将AB两点断开 此时称A、B两点为自然等位点。r=r1/r3+r2/r4氏=(g+&)(癌+&)例求&b.(a)开路：7?ab=2/(4+2)/(2+l)=in(b)短路：7?ab=2/(4/2+2/l)=lQ2.1.3电源的等效1.实际电源的两种模型及其等效变换实际电压源理想电压源S十串联一个电阻K伏安特性 u=us-Ri其外特性曲线如下：雪髀实际电流源电源内阻,一般很大实际电流源=理想电流源，s十并联一个电阻/?理想电流源实际电压源与实际电流源的等效变换等效变换条件:居-/J O电压源和电流源的等效关系只对外电路而言,对电源内部则是不等效的。例：当&=00时u=us,1=0u=isR=us9 f=0对内：电压源的内阻/?中电流为o,不损耗功率，对内不等效!而电流源的内阻中电流为右,要损耗功率。理想电压源与理想电流源可以相互等效么？Jfe/!为什么？端口伏安装系不相帽!电压源和某个电阻串联的电路，都可等效为一个 电流源和这个电阻并联的电路。o2.理想电源的串并联等效理想电压源的串联 由KVL可知：SI()=SI+“S2+-1+1 u-USn c 由nm=）:Uskk=AUsk（注意参考方向!）理想电压源的并联理想电流源的并联i=Li-2 T 卜 Q=，/或可等效成一个理想电流源1c注意参考方向）=0一4+.+普=q理想电流源的串联电流值不相同的理想电流源不允许串联！只有电流值相同的理想电流源才能串联。IE理想电压源与其他电路的并联，对外都等效于该电压源。左图：U=Us,与/无关 右图：U=Us,与/无关两个电路的端口伏安关系相同，所以对外等效!对内等效么?zs咫。Rl Jr_/-1-对外电路R.左图：u=us9 i-uJR对外等效I对内部电路：左图：电压源电流中ujR+uJR 右1对内不等效%甘右图：u=uq9 i-uJR9：电压源电流o-理想电流源与其他电路的串联，对外都等效于该电流源。左图：1=3与。无关 右图：if,与u无关两个电路的端口伏安关系相同，所以对外等效!对内不等效！2.1.4电路的等效分析利用电路的等效规律对电路某一部分进行适当的等 效变换，从而简化电路，方便计算。例求图示电路的最简等效电路。阳Y?VHY?例求图示电路的最简等效电路。例求下列各电路的等效电源解:?auobb2Q T+05V(a)o a-r+u 5A|A3QJ-o b-(b)o b(c)例求/Z=0.5A例 试用等效变换的方法计算2c电阻中的电流。3c6 6q11Qt)12ViQ hl/2OU)$300102A(a)2A(b)IQ IQ 2V6Q 2Q n|/由图(d)可得-1A=1A2+2+28V2V 1，2Q n|/(c)(d)例 试用等效变换的方法计算1Q电阻中的电流。解：统一电源形式6Q4Vo2Q-rC36 V 3)f1Q 4Q4A2c2Q 工4QU喷）用2Q-J I 4vt)llzI D2Q I Qi。4A 4QUi2QV2QIQ2.2支路电流法以支路电流作为未知数r(1)标出所有支路电流的参考方向解题步骤：Y(2)列出n-1个独立的KCL方程(3)列出b-(nT)个独立的KVL方程(4)解方程组b=3,n=2r11=12+.(1)Y(2)i27?2+tts2-i37?3=0 (3)VAI例L列写如图电路的支路电流方程(含理想电流源支路)。方=5,=3 未知量是4个!、回 M 卜文 解：独立的KCL方程(2个)J 1KH 2 R4 3gis 附2=i3(I)s OU U U i3+i=i4(2)-J-c独立的KVL方程只需要列2个！如何选翱应回路？R，1一衣212=S回路3:-R4 i4+u=0I R2，2+&，3+&，4=0(4)如果对回路3列写KVL方程，会不会多出一个方程?TFI5=5,=3 未知量是4个!义2 b里KVL方程:解:KCL方程：h+i2=h(1)i3+i4+is=0-砥二-二(4)列写图示含受控源电路的支路电流方程。例方程列写分两步：(1)先将受控源看作独立源列方程;(2)将控制量用支路电流表示解：KCL方程：bKVL方程：-7O+7Z1-11Z2+5L/=O11Z2+7Z3-5L/=O补充方程:U=7L(1)(2)(3)(4)2.3 节点电压法2.3.1节点电压方程的标准形式1.什么是节点电压选取某一个节点为参考节点(电位为0),则其余的(n-1)个节点到参考节点的压降称为该节点的节点电压。匕-U ad匕=Ubd匕=Ld节点电压法：以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。各支路电压可用节点电压线性表示：血=匕一匕，Mca=对该回路ab+bc+&a=%一%+VbVc+匕一%=0显然，对于电路中的任一回路，各支路电压用节点电压 表示后KVL自动满足。若以节点电压为未知量列方程来求解 电路，只需对节点列写KCL方程。节点电压方程的实质是KCL方程o推导节点电压 方程步骤：.(1)标出所有支路电流的参考方向(2)选择参考节点，标出各节点电压(3)用节点电压表示支路电流(4)列出n-1个独立的KOL方程7(5)将各支路电流代入，得节点电压方程i2=（Vb-0）/l?2=ybG2Y，3=（*匕）依3=（%匕）63f4=（Vc-0）/J?4=VcG4=（%,匕Us）G5列出n-1个独立的隗方程 r 4=h+4-i3+i5=/4.(3)(5)将各支路电流代入，整理得(GG5Wd-Gyb-G5Vc=is+G5Usa自电导+(g1+g2)g3k=o)K=一G5 aa互电导(1)(2)(3)节点电压方程标准+g12v2+品匕=X*+Z UsGG2M+G22V2+G23V3=X 心+Z 42G2I g31v1+g32v2+g33v3=z；3+Us3G.Gi广G1+G5 节点1的自电导，等于接在 节点1上所有支路的电导之和。但不包括与理想电流源串联的电导。G22=G1+Gz+G3 节点2的自电导，等于 接在节点2上所有支路的电导之和。G12=G2 1=-G.节点1与节点2之间的互电导，等于直接联接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。自电导总为正，互电导总为负或零（两节点无直接相连的支路时）。*电流源支路电导为零。,G1M+4匕+G/=Z却+Z一 ml+（2+&）m2=US2(4)求解方程组得各网孔电流，进一步求各支路电压、电流。5 Uml+12m2=USU21lml+22lm2=US22 1自电阻(&+&)i-2/n2=MS l-MS 2/总为正&%+(&+&)a=S 2 J/-&广&+&网孑U的自电阻/等于网孑L1中所有电阻之和。b&2=&+&网孑L2的自电阻。等于 网孔2中所有电阻之和。&2=&广-七一网孔1、网孔2之间的互电阻。等于两网孔公 共电阻的正值或负值.当两个网孔电流以相同方向流过公共电阻时取正号；否则取负号。usil=S1他2网孑L1中所有电压源电压升的代数和。uS2 2=uS2 一网孔2中所有电压源电压升的代数和。沿着网孔电流的方向，电压源电压升高取正号，反之取负号。_一般情况，对于具有个网孔的电路，有&息1+&2a+R1flim/HsuJ 21ml+22m2+&mn=US22 .R a i+R A#+R i=u nl ml nl m2 nn mn snn自电阻（为正）,仁1,2,/（+：两个网孔电流以相同方向流过公共电阻4M互电阻,-：两个网孔电流以相反方向流过公共电阻 10:无共同电阻当网孔电流均取顺（或逆）时针方向时，互阻均欠均为负！网孔电流方程的实质就是KVL方程!由KVL知：E=0E 降=E 升/所有电阻的电压降之和y所有电源的电压升之和_y网孔电流法的解题步骤:(1)标明网孔电流及其参考方向；(2)列写各网孔电流方程；(3)求解上述方程，得各网孔电流;(4)其它分析。3E例用网孔电流法求各支路电流。v&E1+g2&2+&3 im3=USUA|si(A1品41S 44&c解:(i)设网孔电流久4和4为顺时针方向。(2)列网孔方程：(R.+R-R US1-US2 一&4+(a+&儿一 R31c=%卜-R3Ib+(R3+R4)Ic=-US4 J(3)求解网孔方程，得却4(4)求各支路电流：/=/4=4-4，3=4 4，4=42.4.2含电流源的网孔电流方程例用网孔电流法求解电流/。解：由于A=2A已知，所以只需对网孔1列写方程。有:(20+30)小 30L=40当电路中含有电流源，且电流源由此可得：Z7=-0.4A仅属于一个网孔时，则该网孔电故 Z=Z7+Z2=-0.4+2=1.6A流就等于电流源的电流值。问：若电流源在中间支路，又该如何列写网孔方程？当 电路中 含有电流源，且电流源 不属于一个网孔时，不可把电流源 电流当作网孔电流。设电流源电压 为变量r 20 Z7+m=40L U+(50+30)/2=0补充方程：Zx+Z2=-2例 用网孔电流法求含有受控电压源电路的各支路电流。IQ 2c解得3个网孔的网孔电流方程一般形式&1。1+g2%+&3 m3=USU(&办1+火22镰+&3%=S 22I&1%+g2a+火33 im3=s33解:4/a-3Zb=2-3/a+6/b-Zc=32“34=34 C/2=3(/b-/a)Za=1.19AZb=0.92AI Zc=-0.51A各支路电流为：/产 Za=1.19A,I2=I-Zb=0.27A,Z3=Zb=0.92A,Z4=Zb-ZC=1.43A,Z5=Zc=-0.52A.2.5 叠加定理2.5.1 叠加定理的基本内容线性电路中，任一支路的电压或电流都等于各独立电 源单独作用时在此支路所产生电压或电流的代数和。什么样的电路是线性电路？答案：由线性元件和独立源构成的电路。电路中的线性元件具体包括哪些？答案：线性电阻、线性受控源、线性电感、线性电容等电源单独作用是什么意思?答案：某电源单独作用是指这个电源作用，其它电源置0电压源置0(4/=0)%O-用短路代替电流源置0(/=0)is用开路代替叠加定理解题步骤:1）标出需求未知量的参考方向；r电压源用短路代替2)画出单电源作用分解电流源用开路代替3)在分解中求出未知量的各分量；相同取正号4）进行叠加,求得未知量。I与原图相反隼负号例L用叠加定理求图中电压U。6cCZZ3解：（1）10V电压源单独作用时，4A电流源单独作用时,4A电流源开路 1。V电压源短路U=4V U=-4x2.4=-9.6V共同作用：U=U+U=4+(-9.6)=-5.6V例2.利用叠加定理求如图所示电路中的电流/。(1)7V电压源单独作用4Q2QR=2+62=3.5Q-=-2 A4/7A1A电流源单独作用4Q2Q-R-I2Q2Qi 624 1 2 A一 一 二 一 A7 2 7根据叠加定理，iif+i541。b例3电路如图所示，为使 wab=o,q应火多大？(1)5A电流源单独作用时(2)电压源单独作用时I 18Q5种 ai-i6Q 4bE_y b203。b-6+3X 4203Q唠=(6/3)x5=10V根据叠加定理，uab=uab，+%求得=-15V2.5.2应用叠加定理的注意事项 叠加时注意在参考方向下求代数和。不能应用 叠加定理求功率。设:=P=I2R=（/1+/，）2 R=/，R+rT r+2/i/iR=E+P；+2IMR显然：p w耳十g 叠加定理计算时，独立源可分组作用。含线性受控源的电路应用叠加定理时，受控源终保留在各分电路中 O例 电路如图(a)所示，L/s=20V,&=&=&=&，ab=12V。若将 理想电压源除去后，如图(b)所示，试问此时等于多少？(a)(b)(a)(b)(c)思路：将三个电源分2组两个电流源看作第1组电源；电压源小看作第2组电源(a)图是2组电源共同作用，产生b=12V(b)图是第1组电源单独作用，产生Uab(C)图是第2组电源单独作用，产生ZJ=5V根据叠加原理:所以(b)图中Uab+ZJ=12U:=125=7V2.5.3线性电路的齐次性与可加性齐女性：线性电路中，当激励只有一个时，则响应与激励成正比。廿 Us 二 r若-1 R-Ac,ku.-kr则 一-R-A例3.已知&=2C Kj=l Q,招=1Q ws=51Vo 求电流j。r+21V-sw；=34vJRi 8A+8V-13A&H I-+3V-5A&i if=lA:+2A%n2V解：采用倒推法：设尸=1A,推出此时iV=34V。则3 即 i=2i=dxl=L5A u u 34可加性:则线性电路中的任一电压、电流均可以表示为以下形式:Jl=+.+K/si+火2%2.线性无Ns源网络Us 例4:图示电路已知：_0+Us=6V、ZS=3A 时，U=2 1N u。q=2V、A=4A 时，4=16V 一：求当火=3V、A=6A时，解：电路中有两个电源作用，根据叠加原理可设 U0=K&+K2 k当 Us=6V/S=3A 时，得 21=Kxx6+K2x31当 Us=2 V、Zg=4A 时，得 16 KX 2+K2 x 4 联立两式解得：&=2,a=3.u=2&+3A-0 3a当 Us=3V、A=6A 时&=2a+34=2x3+3x6=24V U 0 02.6等效电源定理2.6.1 戴维南定理线性有源二端网 络对外可等效为一个理想电压源在电路分析中，如果被求量集中在一条支路上，则可 利用戴维南定理求解，解题步骤如下：(1)将分离出被求支路后的电路作为一个有源单口网络,则该有源单口网络可用戴维南定理等效。4 U 口 源口络 有单网被求支路(2)求有源单口网络的开路电压Ucr(3)求有源单口网络的等效内阻凡.U oc%十尺(4)在第(1)步的等效电路中求被求量。不含受控源的二端网络等效内阻凡的计算方法:电阻化简法：将内部独立源全部置零后，根据串并联化简或Y-A等效变换求得。T TR1 口211r3 R4 R0I T R=Rg+&快4由独立电源与电 阻构成的有源单口 网络独立电源零处 理后的无源网络思考:对于含受控源的电路，求等效电阻时，有源二端网络内部 独立源置零，受控源是否也要置零？答案：受控源不能置零！对于含受控源的有源二端网络，如何求其等效内阻？YA；3sl/3=电腐 S/芈隹辆港叱%由年率业中*挈察再察业(Z)/J=fiitf /隼每口聊篱*4维国年吆7S口聊年萃 守备喜海不蜜注馨幅y部格案等吆7夕(1)挈苒央物电W y庭套卷 题聊=物攀融磕号例：求等效内阻股q外加电源法：”U=61+31=91V/=7+0.57=1.5/UR。=1%=6。1.5/开路短路法:求短路电流Ac求开路电压I=1A6+3uoc U*=6/+3/=9V61+3/=0l=I 9I=1.5 Asc 6U Q 4=二=6。Isc L5例：求当电阻区分别为10 Q、20 Q、100 Q时的电流九思路：将ab以左的有源二端网络用实际电压源等效VX1OQ V2解:（1）求开路电压U。+由节点电压法得：z 1 1 1T J（-1-）匕-匕=2oc 10 10 1 10 21 11 5匕+（一+）匕=1+一10 1 10 20 2 20 O解得：V1=2L25VV2=22.5V所以 Uoc=V2=22.5V(2)求等效内阻凡q。J k2AOQfo/f0=20/(10+10)=100(3)原电路等效为:,22.5/.I=-10+K当区为10。、20。、100。时的电流/分另I为 1.125A、0.75A0.205Ao注意事项：戴维南定理只对外电路等效，对内不等效。戴维南定理只适用于线性的有源二端网络。例2:N为有源二端网络，已知开关S i、S 2均断开时，电流表读 数为L2A；当S i闭合、S 2断开时，电流表读数为2A。求当S i断 开，S 2闭合时电流表的读数。U=80V解：当开关S i、S 2均断开时，1=1.2A1U凡+40+20当开关&闭合、s2断开时，/=f5=3AR。当开关S i断开，S?闭合时：，=蜡7=yA3例：用戴维南定理求图中电流入解：将1。电阻支路断开，求出以a、求心U0c=6+10+4=20VCzVz+4。a20V2.6.2 诺顿定理线性有源二端网络，对外电路来说，可以用一个理想电流源 和电阻的并联来等效替代；其中电流源的电流等于该端口的短路 电流，而电阻等于把该端口的全部独立电源置零后的等效电阻。o b例1求图示电路的诺顿等效电路。解：(1)求短路电流，sc。用叠加定理计算短路电流电压源单独作用:20=1A10+10he电流源单独作用:10Q10Q1AaQ%c v eq例求当电阻尺为多少时可获得最大功率?6Q 10V解:断开尺所在支路，求ab以左有源单口网 络的戴维南 等效电路10V6Q求UOc。15Q+oUc列回路电流方程：O(5+5+15)7-5-20=0+求得Z=1AUcL/or=10+5Z-5=10Vo(2)求R6。&q=6+5/(15+5尸 10 Q I ioI:凡q,5Q 15Q-015。(3)原电路等效为：当=10。时，可获得最大功率u2 io2P=4O=-=2.5Wmax 4R 4 10 eq例：如图所示电路中，当K为多大时，它吸收的功率最大？求此最大功率。应用戴维南定理求解,断开R求剩余部分的戴维南等效电路，再由最大功率传递定理计算最大功率。解：（1）求UOC方法一1:节点电压法(1+1)Vc-Va=41 2(1+-)V=2 2方法二：叠加定理 TJoc求得：4匕=即4 2=-2 2=1V4 4IQ a IQ(2)求 Ro%=22=1O(3)原电路可等效为：由最大功率传递定理可得：当&=凡=1。时,R可获得最大功率。I2max=二 025卬Lmax 4.J运用最大功率传递定理时须注意:最大功率传递定理适用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况；计算最大功率问题结合应用戴维南定理或者 诺顿定理最方便。2.7 一阶动态电路的分析2.7.1 动态电路的暂态过程及换路定则4 一c iK未动作前c=0K接通很长时间后Uc=Us有一个过渡期新的稳定状态前一个稳定状态O暂态过程：电路由一个稳态过 渡到另一个稳态需 要经历的过程，又 称过渡过程。暂态过程产生的原因内瓦二(1)电路内部含有储能元件L、C能量的储存和释放都需要一定的时间来完成A电阻电路过渡期为零i=us/R2i=us/(Ri+R2)0电阻电路无暂态过程。(2)电路结构或参数发生变化 换路外因有关过渡过程的几个时间 概念原稳态 换路_入_ _,暂态 _t-1新稳态t=0+:换路后第一个时刻 7不同时刻 电压、电流的表示原稳忌：U(0_)1(0_)初始值：(0+)、i(0+)暂态：tt(t)l(t)、新稳态：(00)、l(oo)A换路定则换路指的是电路结构或参数发生变化。设t=0时发生换路，则0_表示换路前的瞬间，0+表示换路后的瞬间。%(0+)=%(0_)+占：工化尴ijo+)=ijo_)+：取代)比如果在00+内，电容电流法和电感电压L为有限值，则积分项为0,从而有0+)=wc(0.)I 换路定则V-丘(。+)=丘。)换路前后电容的 电压和 电感的 电流不能突变显然 与(O+)Wc(O_)注意：换路定则适用 的条件：换路瞬间电容上的电流与电_t=o L(+U-c-C开关动作前 wc(0.)=0，感上的电压是有限值！1-+-c-C开关动作后 wc(0+)=t/s在本电路中，换路瞬间电容将电源直接短路，电路中将会有 无穷大的电流冲激。因此，换路定则在此不再适用。电路初始值的确定初始值：t=0+时电路各元件上的电压、电流值。A求解步骤（D在t=o一时的等效电路中，求cQ）和左（0-）。长0一时电容可视为开路，电感视为短路。（2）由换路定则确定c（0+）和%（。+）。c（+）=c（.）二九（。+）%）画出仁0+时的等效电路，再求其他初始值。U0+时电容用电压为c(+)的电压源代替;电感用电流为k(0+)的电流源代替。若九(0+)=0,则若c(0+)=，则|g r5电路原已稳定，U0时开关 断开，求电（。+）。解：由0.电路求c（0.）。mc（0.）=8V（2）由换路定律c（0+）=c（0J=8V（3）由0+等效电路求无（。+）。*/n、10 8（0+）=-=0.2mA。10，c（0.）=0*无（。+）U0+等效电路解：(1)由0.电路求九(0.)。，l(0.)=2A(2)由换路定律t=0时闭合开关k,求wL(0+)/L(0+)=/L(o.)=2A(3)由0+等效电路求-0+)。Ml(0+)=-2x4=-8V10V+2Aml(o+)仁0+等效电路2.7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路：由一阶微分方程描述的电路。结构特点：通常只包括一个动态元件（电容或电感），或者经过等效变换后可等效为一个动态元件。零输入响应：外加激励（独立电源）为零，仅由动态元件的初始 储能所产生的响应。1.一阶电路的零输入响应U0时，开关s从1拨向2R换路后的电路 wc(O+)=wc(O.)=J7o定0 时，由 KVL得：wc+wR=O 将 j=c dc,得：AC骼+%=0 一阶齐次微分*程 代入初始条件uc(0+)=.,1特征方程 RCp+l=G 特征根一诉 则 uc=Ae=Ae RCi u=Ae RCmc(0+)=Ae RC电容电压由初 始值4按指数 规律衰减到稳态值000f 电容电流按指/规律衰减uc=UQe RC电容电流 发生跃变r 0i=C 强=-%e一菽=1/菽 Z0 dt R 令r=RC,称工为一阶电路的时间常数t=RCuc=UQe T 0时间常数工的大小反映了电路过渡过程时间的长短大 过渡过程的时间长小 过渡过程的时间短t_0-2。_ t“c=Uf T 4 u e1 5-2U 0.368 U 0.135 U 0.05 U0 0.0183 0.007r：电容电压衰器到原来电 鱼（c压36.8%所需的时间。0.368Uo工程上近似认为，经过4 7过渡过程结束。|工 例UO时，开关从a投向b,求电容电压和电流。tO时电路 IQ或由欧姆定律求得:解：该电路为零输入响应 t uc(t)=c(O+)e T由电路得：mc(0+)=mc(0-)=5VR=1+1=2 C1t=RC=2 s1-uc(t)=5e t0=C 蛆=-2.5”A t 0dtic)=-Y=-2.5e1A,202.一阶AL电路的零输入响应RU0时，开关S闭合W 部=/。R-砥 aHl肛换路后的电路屯（。+）=无（0.）二1。仑0 时，由 KVL得：ML+wR=O将人=L器，r=K，l代入上式得：L+RiL=O 初始条件 iL（O+）=Zo,iL(t)=IQe T0 t=L/R 一阶KL电路的时间常数t=L/R 一阶AL电路的时间常数】rd亨】r韦1伏,秒】壬小】团=匕=丘阳=以击=秒R 欧 安欧 安欧/()0tW=/oro电感电流由初 始值L按指数规 律衰减到稳态u t=LLj例U0时开关断开，求仑0时的肥及 L（t）。t=O_电路图2Q I+8VoJ-(3-4(0-)3c6c解：所求响应为零输入响应4（0=（o+）eto（1）求枢0+）作出80-时的等效电路,4(0-)8 3-x-2+3/6 3+6。（。+）（0_）求Ct0电路图T 换路后从电感两端看进去的等效电阻3c3Q|J6QT=96=3/(3+6)=-Q4s9-A 2iL(t)=iL(O+)e=-e-2 2 5tA(r0)1。）=（。+）6 r=e2 2 5tAao）/、/di.，L（t）L 7 at=L5H225v后0或肛=0。）3（3+6）_=-1.5e-225Vt0或以二以(0+)6犯(0+)2/3 A:，（o+）=-（3+6）/3=-1.5V3Q3c/.以=应（0+）e=-1.5 225取 0），=。+电路图计算一阶电路零输入响应的步躲:(1)由y0-的电路确定电容电压与(0-)或电感电流乙(。-)，根据换路定则确定今(。+)和 柩+);(2)求时间常数；对RC电路：r=RC 对RL电路：t=L/RA为换路后从动态元件(电容或电感)两端看去的等效电阻(3)利用 4c()=%(0+)e T 或乙=ijo+)e S 求得 uc(t)和灰),再利用KCL和KVL及元件的伏安关系求出其他各支路 的电压和电流。也可根据，=。+等效半路，求出其他待求量 的初值/(0+),应用/(O=/(0+)e T得到所求量。2.7.3 一阶电路的粤状态响应零状态响应：零初始条件下（动态元件初始储能为零），仅由 t20时外加于电路的输入（激励）所产生的响应。1.一阶KC电路的零状态响应芈项R i（0.）=0 列仑0时的KVL方程：RC-F uc=Udr c s一阶非齐次微分方程解答形式为：uc=u+u7 L V/非齐次方程的特解齐次方程的通解齐次通解：=4e跣 非齐次特解:=4/.uc=u!c+u!=Us+Ae RC 由初始条件c(0+)=0确定AUq(0+)=A+L/=0/.A=-U$.以uc=Us-Use RC=Us(l-e RC)(t0)电容电压由初始值0开始按指 jrr；数规律增长至稳态值4。一阶KC电路的零状态响应就是一个电源向电容充电的过程。uc(t)=uc(c)(1 e 工)uc（00）：电容电压的稳态值i _ r dc _ Us 正 V-L-vdt R注意：电容的电流并 不按指数规律增长！o2.一阶KL电路的零状态响应K(d列写方程dlt.Us4(0.)=0(0)品Us-雪L魄J D生R电感电流由初始值0开始按指 数规律增长至稳态值。0一阶KL电路的零状态响应就是一个电源向电感充磁能的过程。ij)=ij8)(l e r)iL(oc)：电感电流的稳态值0)0)注意：电感的电压并 不按指数规律增长！小结:1.一阶电路的零状态响应是由电路的外加激励所引起的响应。对于电容的电压及电感的电流来说，都是一个从初始值0开始 按指数规律逐渐趋向于它的稳态值的增长过程。只有c（t）=c（8）（l e 只 0）_ t%（。=乙（8）（1-e T）（r0）其它电压电流的变化过程（表达式）均不能使用上 述公式。应用KCL、KVL及元件特性求解。2.增长快慢取决于时间常数工KC电路：r=RC,KL电路：t=L/RR为换路后从动态元件看进去的等效电阻。例图示电路中，若U0时开关S打开，求c(t)和记。512._.+5n IF ZZwc5A.6小求A解：分析可知所求为零状态响应tur(t)=(oo)(l-e r)mc(oo)=5x5=25Vl?=5+5=ion.t=RC=10sZ=oo等效电路5A.+512 4(8)c)=25(l e 10)V t0z7ii-i(t)=C=2.5e 10A t0c dtt注意：，c)W，c(oo)(l-e T)2.7.4 一阶电路的全响应和三要素法2.7.4.1 一阶电路的全响应非零初始状态的一阶电路在电源激励下的响应。解答形式为：Uc=ucp+uch非齐次方程的特解齐次方程的通解齐次通解：a=4e RC 非齐次特解:(O.)=C/q列仑0时的KVL方程：RC-uc=Usdt一阶非齐次微分方程由初始条件c(0+)=4确定AWC(O+)=A+L/S=0二 A=%RC全响应二稳态响应+暂态响应零输入响应全响应c(，)=Uch=Us+(U0-U e 司工t t=Us(l-e+U零状态响应 零输入响应t零状态响应=Us(1 Jd；=Ue全响应二零状态响应+零输入响应2.7.4.2 一阶电路的三要素法一阶电路的数学模型是一阶微分方程，直流激励下解答的一般形式为t/(0=/()+Ae态响应)令，=0+则，(0+)=/(8)+a1=A=/(0+)-/(oo)直流激励下，一阶电路的任一电压、电流都可以写为：t/=/(8)+(0+)8)”/(8)稳态值三要素1/(0+)初始值工 时间常数TFI由此可见，直流激励下，一阶电路的任一响应都是从初始值/()+)开始，按指数规律逐渐增长或逐渐衰减到稳态值人。三果素法的解题步睇为:(1)在t=0.时的等效电路中，求c(J和九(2)在t=0+时的等效电路中，求初始值40+)(3)在t=oo时的等效电路中，求稳态值 0)r对RC电路，r=RC(4)求时间常数工.对RL电路，eL/R窘效 根据三要素公式求f(t)电容=开路电感=短路 电容=电压源 电感=电流源 电容=开路 电感=短路/=/8)+(/(0+)/3)eV A已知：uo时开关闭合,求换路后的Co解%(0+)=c(0_)=2V 2uc(oo)=-x 1=0.667V2+1K等=21=：。t-R 等 C=gx3=2sc=uc(oo)+(。+)“0(oo)e0.667+(2-0.667)-0.667+L33e05,z0解：(1)求c求+)和力(。+).uc(0_)=2 3=6V:.uc(0+)=6V2+)八2A+06V6Q+10V作出廿0+的等效电路求得 i(0+)=(10-6)/2=2A(2)求 c()和4)。作出t=8等效电路 吕;)M+2A 03Q。他 U6ft Q10V(3)求工._2ft-T V 1 K=3/6/2=l QR|=r 30 6Q t=RC=0.01s利用节点法求”H00)：111 10(鼻+彳)0(00)=2+7 a o Z Zuc(oo)=7V10-ttc(oo)Moo)=-j-=1.5A(4)代入三要素公式，可得uc(，)=uc(qo)+uc(0+)-uc(oo)e=7+(6-7)/=7-e-mtV/0ti(。二 i(oo)+i(0+)-i(oo)e r=1.5+(2-1.5K100r=1.5+0.5e-wA/0讨论：本题中求i有无更简便的方法？先用三要素求出 c uc(t)=7-e-1WitV ro再根据KVL及欧姆定律，直接写出，的表达式i(t)=1.5-O.5e-loorA223E例 如图所示电路，电路原已处于稳态，在U0时开关 由1扳向2,求此o时作t=0+的等效电路解：求乙（0+）、4（0+）乙（0一）=31+2=1Ail(0+)=il(0-)=1Ai、(0+)2QvlA由KVL可得：24(0+)+24(0+)-1=64(0+)=2A(2)求 iL(oo)4(00)作t=8等效电路n8）二L（00）=：=34求T.OR0=1QL T=0.5sR。il(0+)=1A 4(0+)=2A Zl(oo)=3 A 虱 oo)=34t=0.5s(4)代入三要素公式，可得片=兀(8)+4(0+)-，L(8)e=3+(1-3)=(3-2 e-2 t)A r0t式，)=%(8)+区(0+)-，1(00)卜 T-It或：由KCL及欧姆定律可得Ur(t )=)+e2t/=3+(2 3)e=(3-e-2 t)At0练习题：如图所示电路，电路原已达稳态。U0时 开关S闭合，求换路后的c(t),已知Usi=100V,t/s2=50V,&=4=50。，C=40gFoUs9十限2Us女）