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第一章第一章 绪论绪论 一、观测误差（Observation Error）1、为什么要进行观测 必要观测、多余观测 2、误差存在的现象 3、误差产生的原因 观测条件：观测仪器、观测者、外界条件 4、误差的分类 粗差（gross error），系统误差（systematic error），偶然误差（random error、accident error）5、误差的处理办法第一章第一章 绪论绪论二、测量平差的简史和发展三、测量平差的两大任务及本课程的主要内容 第二章第二章 误差分布与精度指标误差分布与精度指标Error Distribution and Index of Precision一、偶然误差的规律性 1、随机变量（stochastic variable）-偶然误差 2、偶然误差的分布 第二章 误差分布与精度指标第二章 误差分布与精度指标第二章 误差分布与精度指标第二章 误差分布与精度指标第二章 误差分布与精度指标3、偶然误差的统计特性 由统计分析可以看出，偶然误差具有以下特性：1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定的限值的偶然误差出现的概率为零；2、绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；3、绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；4、偶然误差的理论平均值为零第二章 误差分布与精度指标二、随机变量的数字特征（1）反映随机变量集中位置的数字特征-数学期望（2）反映随机变量偏离集中位置的离散程度-方差（3）反映两两随机变量x、y相关程度的数字特征-协方差第二章 误差分布与精度指标Chapter.2 Error Distribution and Index of PrecisionChapter.2 Error Distribution and Index of PrecisionChapter.2 Error Distribution and Index of Precision四、随机向量(观测值向量）的数字特征 1、随机向量 2、随机向量的数学期望 3、随机向量的方差-协方差阵 协方差阵的定义 4、互协方差阵 互协方差阵的定义 *设有n个不同精度的相关观测值xi（i=1，2,n),它们的数学 期望和方差为 ,两两间的协方差为 用矩阵表示:观测值向量，或观测值 为X的数学期望组成的向量 为X的方差-协方差阵,简称协方差阵(covariance matrix)*观测值向量 和 ，它们的数学 期望分别为 和 ，记其中：DXY=为X关于Y的互协方差阵 Chapter.2 Error Distribution and Index of PrecisionChapter.2 Error Distribution and Index of PrecisionChapter.2 Error Distribution and Index of Precision第三章第三章 协方差传播律（协方差传播律（spread of covariance）几个概念1、直接观测量(direct observation)2、非直接观测量-观测值的函数 水准测量 导线测量 三角形内角平差值3、独立观测值（independent observation）4、非独立观测值-相关观测值（correlation observation）独立观测值各个函数之间不一定独立5、误差传播律6、协方差传播律 Chapter 3.spread of covariance一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差 设观测向量L及其期望和方差为：Chapter 3.spread of covarianceChapter 3.spread of covariance二、多个观测值线性函数的方差-协方差阵 若观测向量的多个线性函数为Chapter 3.spread of covariance于是，观测向量的多个线性函数可写为若还有观测向量的另外r个线性函数其矩阵形式为：Chapter 3.spread of covariance则有：三、两个函数向量的互协方差阵（Y关于Z）第三章 协方差传播律第三章 协方差传播律四、非线性函数的情况设有设有X的非线性函数的非线性函数 Z=f（X）=f（X1、X2，Xn)将非线性函数线性化即可：全微分将非线性函数线性化即可：全微分例：例：第三章 协方差传播律五、多个观测向量非线性函数的方差协方差矩阵 设观测向量的t个非线性函数为：对上式求全微分，得第三章 协方差传播律第三章 协方差传播律由误差传播定律得：第三章 协方差传播律六、协方差传播律的应用1、水准测量的精度、水准测量的精度第三章第三章 协方差传播律协方差传播律2、距离丈量的精度3、同精度独立观测值算术平均值的精度 例2：一直距离AB=100m，丈量4次平均值的中误差为2cm，若以同样的精度丈量距离CD=900m，求 （1）丈量CD一次的精度 （2）如丈量CD16次，则求丈量AB4次和CD16次的相对中误差第三章 协方差传播律七、应用协方差传播律时应注意的问题（1）根据测量实际，正确的列出函数式；（2）全微分所列函数式，并用观测值计算偏导数值；（3）计算时注意各项的单位统一；（4）将微分关系写成矩阵形式；（5）直接应用协方差传播律，得出所求问题的方差协方差矩阵第三章 协方差传播律八、权及定权的常用方法权的概念一定的观测条件对应着一定的误差分布，而一定的误差分布就对应着一个确定的方差，方差是表征精度的一个绝对的数字指标，为了比较各观测值之间的精度，除了可以应用方差之外，还可以通过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度的高低，这种表示各观测值方差之间的比例关系的数字特征成为权，所以权是表征精度的相对的数字指标第三章 协方差传播律权的概念权是权衡轻重的意思，其应用比较广泛，应用到测量上可作为衡量精度的标准，如有一组观测值是等精度的，那么，在平差时，应该将他们同等对待，因此说这组观测值是等权的，而对于一组不等精度的观测值，在平差时，就不能等同处理，容易理解，精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重，或者说，应占较大的权，所以平差时，对于一组不等精度的观测值应给予不同的权。第三章第三章 协方差传播律协方差传播律1、权的定义权的意义，不在于其数值的大小，重要的是他们之间的比例关系第三章 协方差传播律由此看出，随着选定的 不同，P的绝对值也不同，但它们之间的比例关系不变，所以权的数值不是绝对的，只有相对的意义，也就是说，我们不在乎权本身数值的大小，而在乎确定它们之间的比例关系。第三章 协方差传播律2、单位权中误差3、测量中常用的方法 （1）水准测量的权 （2）同精度观测值的算术平均值的权 （3）距离丈量的权 （4）三角高程测量的权第三章 协方差传播律九、协因数和协因数传播律1、协因数2、协因数阵3、协因数阵的特点4、互协因数阵5、权阵 协因数、协因数阵、互协因数阵,权阵设有观测值 、，方差为 、，协方差为 定义：设有观测值 向量变 、，它们的协方差阵和互协方差阵 分别为 、，定义：第三章第三章 协方差传播律协方差传播律协因数与权互为倒数，协因数阵与权阵互为逆矩阵，协因数阵对角线上的元素为各变量的权倒数，是否可由此说权阵对角线上的元素即为观测向量的权？当观测值互不相关时，权阵为对角阵，主对角线上的元素为观测值的权第三章 协方差传播律当观测值相关时，协因数阵主对角线上的元素仍为观测值的权倒数。而权阵主对角线上的元素不是观测值的权。第三章 协方差传播律6、协因数传播律（1）、线性函数（2）、非线性函数（3）、权倒数传播律例1：求算术平均值的权例2：求加权平均值的权第三章 协方差传播律第三章 协方差传播律第三章 协方差传播律十、由真误差计算中误差及其实际应用1、用不同精度的真误差计算单位权方差2、由真误差估求方差的实际应用 （1）由三角形闭合差求测角中误差 （2）由双观测值之差求中误差第三章 协方差传播律例：设分5段测定两水准点之间的高差。每段各测两次第三章 协方差传播律十一、系统误差和偶然误差的联合影响Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision五、精度 准确度 精确度 观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误差、粗差）的大小。1.精度:(precision)描述偶然误差，可从分布曲线的陡峭程度看出精度的高低。2.准确度:(accuracy)描述系统误差，可用观测值的真值与观测值的期望之差来描述，即Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision3、精确度：描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，精确度可用观测值的均方误差来描述，即：当 时，即观测值中不存在系统误差，亦即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。第三章、平差数学模型和最小二乘法第三章、平差数学模型和最小二乘法 一、必要观测与多余观测一、必要观测与多余观测 几何量几何量-高差、角度、边长、方位角、高程、坐标等高差、角度、边长、方位角、高程、坐标等 几何模型几何模型-控制网（高程网、平面网、三维网）控制网（高程网、平面网、三维网）必要元素：唯一确定一个几何模型所必须观测的元素必要元素：唯一确定一个几何模型所必须观测的元素 必要观测数必要观测数 t：唯一确定一个几何模型所必须观测的元素个数：唯一确定一个几何模型所必须观测的元素个数 *任一模型的任一模型的t个必要元素相互独立个必要元素相互独立 *确定一个几何模型时，不仅要考虑必要元素的个数，确定一个几何模型时，不仅要考虑必要元素的个数，还要考虑其类型还要考虑其类型多余观测数（自由度）多余观测数（自由度）r：多于必要观测数：多于必要观测数 t的观测值的个数的观测值的个数 r=n-t *在测量工作中，必须有多余观测，每增加一个多余观测值，在测量工作中，必须有多余观测，每增加一个多余观测值，就产生一个函数关系式就产生一个函数关系式-条件方程。条件方程。二、为什么要测量平差二、为什么要测量平差 n t时，应满足的时，应满足的r个条件方程，由于观测值含有误差实际上个条件方程，由于观测值含有误差实际上 并不能满足，如何根据实际的闭合差对观测值进行处理，并不能满足，如何根据实际的闭合差对观测值进行处理，以以 便消除不符值，满足应有条件便消除不符值，满足应有条件-测量平差的任务之一。测量平差的任务之一。测量平差过程：先建立数学模型（函数模型和随机模型），然测量平差过程：先建立数学模型（函数模型和随机模型），然 后按一定的平差原则待求量进行估计，最后进行精度评定。后按一定的平差原则待求量进行估计，最后进行精度评定。三、测量平差的数学模型三、测量平差的数学模型 函数模型：描述观测值与待求量间函数关系。函数模型：描述观测值与待求量间函数关系。随机模型：描述观测值及其相互间统计相关关系。随机模型：描述观测值及其相互间统计相关关系。(是通过观测值的数学期望和协方差阵（协因数阵）来表示，借以说明观测值是否受系是通过观测值的数学期望和协方差阵（协因数阵）来表示，借以说明观测值是否受系 统误差的影响、观测值的精度及他们是否相关统误差的影响、观测值的精度及他们是否相关)三、几种基本的平差方法的线性函数模型三、几种基本的平差方法的线性函数模型 1、条件平差法：以条件方程为函数模型、条件平差法：以条件方程为函数模型2、间接平差法：以误差方程为函数模型、间接平差法：以误差方程为函数模型3、附有参数的条件平差法:以含有参数的条件方程为函数模型4、附有限制条件的间接平差：误差方程+约束条件方程四、平差的随机模型四、平差的随机模型五、非线性函数模型的线性化五、非线性函数模型的线性化 最小二乘原理最小二乘原理估计量的最优性质1、无偏性2、一致性（严格一致性估计量）3、有效性 比 有效。方差最小者 为最有效估计量-最优无偏估计量。一维随机变量 的正态密度函数：n维随机变量 的正态密度函数：所谓极大似然估计，就是要在其联合概率密度达到极大的条件下来对真误差进行估计所谓极大似然估计，就是要在其联合概率密度达到极大的条件下来对真误差进行估计应用：求同精度观测值的估值应用：求 公式中的参数 的估计值按最小二乘法：设第四章 条件平差预备知识：矩阵的微分 1.纯量函数关于向量的导数第五章 预备知识：2.向量函数关于向量的导数当有m个这样的函数构成函数向量则函数向量F关于n维向量X的微分为一个矩阵第五章 预备知识：3.函数向量关于向量的求导规则第五章 条件平差（Conditional Adjustment）基本概念1、必要观测 为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的最少观测数2、多余观测（redundant observation）实际观测数与必要观测数之差，成为多余观测。3、条件平差及其目的第五章 条件平差（Conditional Adjustment）一、条件平差原理1、条件方程（condition equation）2、函数模型（functional model）3、随机模型（stochastic model）4、估计准则第五章 条件平差（Conditional Adjustment）条件极值法要点 当具有约束条件时，求函数的优化解，则应在下述函数达到优化时寻求其解。求偏导：第五章 条件平差（Conditional Adjustment）基础方程：法方程：解向量:-第五章 条件平差（Conditional Adjustment）例，水准网如右图，D为已知点，观测值及其权阵如下：求观测值的平差值解：（1）列出条件方程第五章 条件平差（Conditional Adjustment）法方程：法方程的解：第五章 条件平差（Conditional Adjustment）改正数V：观测值的平差值：检核：5 5第五章 条件平差（Conditional Adjustment）5、条件平差的求解步骤：（1）根据具体问题列条件方程式;（2）组成法方程式;（3）解法方程；（4）按式求改正数V；（5）求观测值的平差值；（6）检核。第五章 条件平差（Conditional Adjustment）二、条件方程 （一）、水准网 1、水准网的分类及水准网的基准 分为有已知点和无已知点两类。要确定各点的高程，需要1个高程基准。2.水准网中必要观测数t的确定 有已知点：t等于待定点个数 无已知点：t等于总点数减一第五章 条件平差（Conditional Adjustment）3、水准网中条件方程的列立方法 列条件方程的原则：1、足数；2、独立；3、最简 （1）、先列附合条件，再列闭合条件 （2）、附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减一 （3）、闭合条件按小环列立（保证最简），一个水准网中有多少个小环，就列多少个闭合条件在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程，一定能满足所列条件方程足数、独立、最简原则。第五章 条件平差（Conditional Adjustment）例，第五章 条件平差（Conditional Adjustment）（二）、三角网（测角网）1、三角网的观测值 三角网的观测值很简单，全部是角度观测值。2、三角网的作用 确定待定点的平面坐标3、三角网的基准数据 位置基准2个（任意一点的坐标x。y。），方位基准1个（任意一条边的方位角a。）以及长度基准一个（任意一条边的边长S。）第五章 条件平差（Conditional Adjustment）4、三角网中必要观测数t的确定5、三角网中条件方程的列立 一般而言，网中全部独立的条件数是一定的，但其列法不唯一。为保证所列的条件既足数而又相互独立，下面先讨论三角网中几个基本图形，任何形式的三角网都是由这几个基本图形组成的。（1）单三角形 （2）大地四边形 （3）中点多边形 （4）扇形第五章 条件平差（Conditional Adjustment）6、条件方程的线性化：将函数在L处用台劳级数展开第五章 条件平差（Conditional Adjustment）（三）测边网1、测边网的基准数据 三边网与三角网的区别是观测值。由于在三角测量中，观测值带有长度基准。所以，三边测量中不需要长度基准。因此三边网的基准数据为：位置基准2个（任意一点的坐标x。Y。）方位基准1个（任意一条边的方位角a。）2、三边网中必要观测数t的确定3、三边网中条件方程的列立第五章 条件平差（Conditional Adjustment）（1）大地四边形 在测边网中，按角度闭合时条件方程为：角度改正数与边长改正数的关系第五章 条件平差（Conditional Adjustment）上式称为角度改正数方程。它具有明显的规律性 任意角度的改正数，等于其对边的改正数分别减去相邻边的改正数乘以其邻角的余弦，然后再除以该角至其对边的高，并乘以常数第五章 条件平差（Conditional Adjustment）第五章 条件平差（Conditional Adjustment）（2）中点多边形第五章 条件平差（Conditional Adjustment）（四）、边角网条件方程 单一附合导线的条件方程一个方位角条件两个坐标条件第五章 条件平差（Conditional Adjustment）纵坐标条件为而第五章 条件平差（Conditional Adjustment）所以纵坐标条件方程为：纵坐标条件方程的最终形式为：第五章 条件平差（Conditional Adjustment）（五）GPS基线向量网三维无约束条件平差1、GPS基线向量网的观测值2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t3、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立第五章 条件平差（Conditional Adjustment）例:第五章 条件平差（Conditional Adjustment）（六）GIS数字化数据采集中，折角均为90的N边形的条件方程第五章 条件平差（Conditional Adjustment）直角条件：第五章 条件平差（Conditional Adjustment）三、精度评定1、观测值L的精度2、单位权方差的估计 的计算3、观测值函数的协因数4、平差值函数的协因数 精度评定一、单位权中误差二、向量的协因数阵 向量间的关系式通过协因数传播律得：对 称（转置）三、平差值函数的协因数四、平差算例(P90）CDEABh1h5h3h6h2h4h7函数模型和随机模型法方程及其解平差值计算P1、P2、P3点高程计算（略）精度评定精度评定 单位权中误差：单位权中误差：P1至至P2点高差平差值得中误差点高差平差值得中误差第五章 条件平差（Conditional Adjustment）小结：一、条件平差及其目的二、条件平差的原理三、总结了条件平差的步骤（1）根据具体问题列条件方程式；（2）组成法方程式，（3）解法方程；（4）计算改正数V，（5）求观测值的平差值（6）检核（7）精度评定第六章 附有参数的条件平差一、问题的提出DA第六章 附有参数的条件平差二、附有参数的条件平差原理第六章 附有参数的条件平差BCDEA7164532x第六章 附有参数的条件平差第六章 附有参数的条件平差第六章 附有参数的条件平差第六章 附有参数的条件平差第六章 附有参数的条件平差第六章 附有参数的条件平差第六章 附有参数的条件平差三、精度评定1、观测值L的精度2、单位权方差的估计 的计算3、向量的协因数阵4、平差值函数的中误差、平差值函数的中误差第六章 附有参数的条件平差第六章 附有参数的条件平差小结1、为了某种需要，选择参数；2、每选一个参数，就增加一个条件方程，选择u个参数，就增加u个条件方程；3、条件方程的总数c=r+u；4、单位权中误差的计算公式不变；5、求平差值函数的中误差时，应将平差值函数分别对观测值的平差值和参数求偏导数。第七章 间接平差水准网如图所示：1、按条件平差列出误差方程。2、选P1高程平差值为参数，列出全部条件方程。3、选P1、P2高程平差值为参数。列出全部条件方程。第七章 间接平差上式表明，当所选参数刚好等于必要观测数t，且参数之间相互独立时，附有参数的条件平差具有很简洁的条件方程。这种简洁的条件方程描述了各观测值的改正数与参数之间的关系，我们称这种关系为误差方程。以误差方程为基础可得到一种新的平差方法-间接平差。第七章 间接平差一、间接平差原理1、函数模型间接平差的函数模型就是误差方程，其一般形式为第七章 间接平差2、随机模型间接平差的随机模型与条件平差的随机模型相同，即3、基础方程及其解4、法方程5、解向量第七章 间接平差910第七章 间接平差第七章 间接平差二、间接平差的计算步骤1、根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数；2、列出误差方程；3、组成法方程；4、解算法方程；5、计算改正数V；6、计算观测值的平差值。第七章 间接平差三、选取参数的个数和原则1、所选取t个待估参数必须相互独立；2、所选取t个待估参数与观测值的函数关系容易写出来。四、不同情况下的误差方程1、水准网误差方程2、方位角误差方程 测方位坐标平差函数模型 测角网函数模型3、测边网误差方程4、GPS网误差方程第七章 间接平差第七章 间接平差第七章 间接平差第七章 间接平差第七章 间接平差第七章 间接平差第七章 间接平差第七章 间接平差4、导线网导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m（m为待定点个数），其观测值为角度观测值和边长观测值两类。所以误差方程也是角度误差方程和边长误差方程两类。可以先列角度误差方程：再列边长误差方程：第七章 间接平差5、GPS网三维无约束平差 在GPS网三维无约束平差中，常常选某点I作为参考点，则该点在WGS84系下的三维坐标Xi、Yi、Zi可看作已知数据，其余各点作为待定点。在WGS84系下，要确定一个点的空间位置，需要X、Y、Z三个坐标分量，设GPS网中的总点数为m，则必要观测数为t=3（m-1），因此，可选m-1个点的坐标平差值作为参数。第七章 间接平差于是，误差方程为：第七章 间接平差第七章 间接平差第七章 间接平差第七章 间接平差五、精度评定1、单位权方差的估值2、基本向量的协因数阵第七章 间接平差第七章 间接平差第七章 间接平差5、参数估值函数的中误差设参数估值的函数为：第八章 附有限制条件的间接平差第八章 附有限制条件的间接平差一、附有条件的间接平差原理设误差方程和参数之间所应满足的条件方程为：1、基础方程第八章 附有限制条件的间接平差2、法方程3、解：第八章 附有限制条件的间接平差第八章 附有限制条件的间接平差第八章 附有限制条件的间接平差第八章 附有限制条件的间接平差第八章 附有限制条件的间接平差第八章 附有限制条件的间接平差3、附有条件的间接平差步骤（1）根据具体问题，列出误差方程和条件方程。（2）由误差方程和条件方程列出法方程式。（3）计算参数的改正数。（4）计算观测值的平差值和参数的平差值。第八章 附有限制条件的间接平差4、精度评定（1）、单位权中误差在附有条件的间接平差中，单位权中误差的估值为：（2）、基本向量的协因数矩阵在附有条件的间接平差中，基本向量为：第八章 附有限制条件的间接平差第八章 附有限制条件的间接平差（3）、平差值函数的协因数 设平差值函数为 将其全微分，得平差值函数的权函数式为：第九章 附有条件的条件平差二、附有条件的条件平差模型（概括模型）三、平差方法总结第九章 附有条件的条件平差四、最小二乘估计的统计性质 观测就是抽样，抽样的结果成为子样，子样的函数成为统计量，统计量也都是随机变量或随机向量，因而每个统计量也各有其期望和方差，作为母体的数学期望的估计量，可以利用子样均值 ，也可以用 ，或 等其它估计量，究竟用哪一个，这就产生了按什么标准来评价估计量的问题1、无偏性2、有效性选择方差最小的作为最佳估值。方差最小成为有小估计量第九章 附有条件的条件平差补充知识矩阵的迹及其运算规则1定义：方阵的主对角元素之和为该方阵的迹，记为：2性质：第九章 附有条件的条件平差3、迹的导数第九章 附有条件的条件平差四、最小二乘估计的统计性质1.具有无偏估计2.具有最小方差第十章 误差椭圆1、误差椭圆的定义2、确定误差椭圆的三个要素3、确定任意方向上的位差4、相对误差椭圆的应用第十章 误差椭圆1、点位在任意方向上的中误差：2、极值方向3、极大值与极小值第十章 误差椭圆4、以极值E、F表示任意方向上的位差5、点位方差第十章 误差椭圆第十章 误差椭圆于是得点为误差验算：第十章 误差椭圆五、误差曲线六、误差椭圆第十章 误差椭圆七、相对误差椭圆这两个待定点的相对位置可通过平差后两点的坐标差来表示，即第十章 误差椭圆如果这两个点中有一个为无误差的已知点，比如Pi点，则以上协因数阵变为：第十章 误差椭圆第十章 误差椭圆第十章 误差椭圆相对误差椭圆参数计算