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勾股定理的应用勾股定理的应用a2 +b2 =c2直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方acb勾股弦 勾股定理a2 =c2 -b2b2 =c2 -a2ACB90cm120cm?练一练(数学就在我们身边)持竿进城（课本持竿进城（课本P25例例1）摆梯子（例摆梯子（例2）九章算术九章算术专设专设勾勾股章股章来研究勾股问题，来研究勾股问题，共共2424个问题按性质个问题按性质可分为三组，其中第可分为三组，其中第一组的一组的1414个问题可以个问题可以直接利用勾股定理来直接利用勾股定理来解决很多是具有历解决很多是具有历史地位的世界著名算史地位的世界著名算题题“引葭赴岸引葭赴岸”“引葭赴岸引葭赴岸”是九章算术中的一道题是九章算术中的一道题:“今有池方一今有池方一今有池方一今有池方一丈，葭生其丈，葭生其丈，葭生其丈，葭生其中央中央中央中央，出水一尺，出水一尺，出水一尺，出水一尺,引葭赴岸，适与引葭赴岸，适与引葭赴岸，适与引葭赴岸，适与 岸齐。岸齐。岸齐。岸齐。问水深、葭长各几何问水深、葭长各几何问水深、葭长各几何问水深、葭长各几何？”探索(古题鉴赏)有一个边长为有一个边长为有一个边长为有一个边长为10101010尺的正方形池塘，尺的正方形池塘，尺的正方形池塘，尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，在水池正中央有一根新生的芦苇，在水池正中央有一根新生的芦苇，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面它高出水面它高出水面它高出水面1 1 1 1尺，如果把这根芦苇尺，如果把这根芦苇尺，如果把这根芦苇尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，沿与水池边垂直的方向拉向岸边，沿与水池边垂直的方向拉向岸边，沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边。请问这个它的顶端恰好到达岸边。请问这个它的顶端恰好到达岸边。请问这个它的顶端恰好到达岸边。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是水池的深度和这根芦苇的长度各是水池的深度和这根芦苇的长度各是水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？多少？多少？多少？题意是：BC为芦苇长，为芦苇长，AB为水深，为水深，AC为池中心点距岸边的距离。为池中心点距岸边的距离。解：如图解：如图5xX+1设设AB x尺，则尺，则BC（X1）尺，尺，根据勾股定理得：根据勾股定理得：x2+52=(x+1)2 即：即：(x+1)2-x2=52 解得：解得：x12 所以芦苇长为所以芦苇长为12113（尺）（尺）答答:水深为水深为12尺尺,芦苇长为芦苇长为13尺。尺。平静湖面清可鉴，面上半尺生红莲；平静湖面清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。渔人观看忙向前，花离原位两尺远；渔人观看忙向前，花离原位两尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？能算诸君请解题，湖水如何知深浅？x+0.5x+0.5B BC CA AH H0.50.52 2?x x盛开的水莲盛开的水莲印度数学家什迦逻（印度数学家什迦逻（11411141年年-12251225年）曾提出过年）曾提出过“荷花问题荷花问题”：九章算术九章算术中的折竹问题：中的折竹问题：“今有竹今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？者几何？”题意是：有一根竹子原题意是：有一根竹子原高高1 1丈（丈（1 1丈丈=10=10尺），中尺），中部有一处折断，竹梢触部有一处折断，竹梢触地面处离竹根地面处离竹根6 6尺，试问尺，试问折断处离地面多高？折断处离地面多高？ABC设：折断处离地面高折断处离地面高x x尺尺6x10-x下图是学校的旗杆下图是学校的旗杆,旗杆上的绳旗杆上的绳子垂到了地面子垂到了地面,并多出了一段并多出了一段.有一把卷尺你能想办法测量出有一把卷尺你能想办法测量出旗杆的高度吗旗杆的高度吗?请你与同伴交流设计方案请你与同伴交流设计方案?旗杆有多高旗杆有多高小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 1米，当他们把绳子的下端拉开米，当他们把绳子的下端拉开5 5米后，发米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗杆现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？的高度和绳子的长度计算出来吗？ABC5xx+1x+1如图，有两根直杆隔河相对，一杆高如图，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一，另一杆高杆高20m，两杆相距，两杆相距50m，现两杆上各有一只鱼，现两杆上各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上浮起一条小鹰，它们同时看到两杆之间的河面上浮起一条小鱼（即鱼（即E点），于是以同样的速度同时飞过来夺鱼，点），于是以同样的速度同时飞过来夺鱼，结果两只鱼鹰同时到达，问：两杆底部距鱼处的结果两只鱼鹰同时到达，问：两杆底部距鱼处的距离各是多少？距离各是多少？ADCEB一种盛饮料的一种盛饮料的圆柱形杯圆柱形杯（如图），测得（如图），测得内内部底面直径部底面直径为为5 5，高为，高为1212，吸管放进，吸管放进杯里，杯口外面露出杯里，杯口外面露出5 5，问吸管要做多长问吸管要做多长？5125？1吸管长（1）吸管的长度）吸管的长度如如图图，将将一一根根2525长长的的细细木木棒棒放放入入长长、宽宽、高高分分别别为为8 8、6 6和和1010的的长长方方体体无无盖盖盒盒子子中中，则则细细木木棒棒露露在在盒盒外外面面的的最最短短长长度度是是 8610？10？如图是一个棱长为如图是一个棱长为10cm10cm的正方体盒子，小的正方体盒子，小明准备放入一些铅笔（要使铅笔完全放入明准备放入一些铅笔（要使铅笔完全放入盒中），问最长能放入多长的铅笔？盒中），问最长能放入多长的铅笔？ABEDC HFG 如图是一个如图是一个40cm40cm30cm30cm120cm120cm的长的长方体空盒子。小明准备放入一些铅笔方体空盒子。小明准备放入一些铅笔（要使铅笔完全放入盒中），问最长能（要使铅笔完全放入盒中），问最长能放入多长的铅笔？放入多长的铅笔？DF3040120ACEBGHABAB如图，一圆柱高如图，一圆柱高8cm8cm，地面半径，地面半径2cm2cm，一只蚂蚁，一只蚂蚁从点从点A A爬到点爬到点B B处吃食，问蚂蚁要爬行的最短路处吃食，问蚂蚁要爬行的最短路程是多少？程是多少？（2）箱壁上的最短距离）箱壁上的最短距离在图中，如果在正方体箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？A.B.在图中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到G处，至少要爬多远？CDA.G.4030120FBEH 如图：如图：A城气象台测得台风中心在城气象台测得台风中心在A城正西方向城正西方向320 km的的B处，以每小时处，以每小时40 km的速度向北偏东的速度向北偏东60的的BF方向移动，距离台风中心方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受到的范围内是受到台风影响的区域。台风影响的区域。（1）A城是否会受到这次台风的影响？为什么？城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若）若A城受到这次台风影响，那么城受到这次台风影响，那么A城受到这次城受到这次台风影响有多长时间？台风影响有多长时间？北北东东BAF与方位相关与方位相关练练习习：如如图图，有有两两棵棵树树，一一棵棵高高8m8m，另另一一棵棵高高2m2m，两两树树相相距距8m8m，一一只只小小鸟鸟从从一一棵棵树树的的树树梢梢飞飞到到另另一棵树的树梢，至少要飞一棵树的树梢，至少要飞_m_m 8m2m8mABC如右图，每个小正方形的边长为1，求四边形ABCD的面积。不规则图形的面积不规则图形的面积在数轴上表示 的点？在数轴上表示二次根数在数轴上表示二次根数在数轴上表示 的点？(4)(3)(2)(1)小明用电脑把四个全等的直角三角形拼成了一小明用电脑把四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，已知大正方形的面积为个大正方形，已知大正方形的面积为13，中间，中间小正方形的面积为小正方形的面积为1，直角三角形的两条直角边，直角三角形的两条直角边为为a,b，求，求ab=?ab=6赵爽弦图赵爽弦图(4)(3)(2)(1)变式一：小明用电脑把四个全等的直角三角形变式一：小明用电脑把四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，已知大正方形的面积为拼成了一个大正方形，已知大正方形的面积为13，中间小正方形的面积为，中间小正方形的面积为1，直角三角形的两，直角三角形的两条直角边为条直角边为a,b，求，求(a+b)2=?(a+b)2=25(4)(3)(2)(1)变式二、小明用电脑把四个全等的直角三角形拼变式二、小明用电脑把四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，已知大正方形的面积为成了一个大正方形，已知大正方形的面积为13，中间小正方形的面积为中间小正方形的面积为1，直角三角形的两条直，直角三角形的两条直角边为角边为a,b，求直角三角形的周长等于多少？，求直角三角形的周长等于多少？用方程思想解决图形用方程思想解决图形折叠问题折叠问题 方程思想 直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。（应用）小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸（应用）小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边边1.5m远的水底，竹竿高出水面远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿和岸边的水平线刚好相齐，求河水深度。岸边，竹竿和岸边的水平线刚好相齐，求河水深度。文字语言图形语言解：如图：设解：如图：设AB=xm,则则AC=x+0.5，在直角三角形在直角三角形ABC中：中：x2+1.52=(x+0.5)2解得：解得：x=2答：河水深答：河水深2米。米。符号语言已知：求：折叠三角形例1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6，BC=8。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长 ACDBE第8题图x6x8-x46例2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？CABDE例3：三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，求三角形ACE的面积ABCDADCDCAD1E折叠四边形例1：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求 1.CF 2.EC.ABCDEF810106X8-X48-X例2：折叠矩形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点D折叠，使点A落在BD的E处，折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长。DAGBCE例3：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为EF，展开后再沿BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的长。ABCDEFA1G提示：先证明正三角形AA1B例2：矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。ABCDFE例4：边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的X轴和Y轴上，若 沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交X轴于点D，求（1）三角形ADC的面积，（2）点B1的坐标，（3）AB1所在的直线解析式。OCBAB1D123E如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=10，AB=8,求DE的长。xx10-x8(10-x)2=x2+82x=1.8变式：将矩形ABCD折叠，使点D落BC边上点D处，折痕为AE，AD=8，AD=4,求EC的长。x8-x8-x1064(8-x)2=x2+42x=3走进生活（走进生活（1）小明家住在小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。买最长买最长的吧！的吧！快点回家，快点回家，好用它凉衣好用它凉衣服。服。糟糕，太糟糕，太长了，放长了，放不进去。不进去。如果电梯的长、宽、高分别是如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、米、1.5米、米、2.2米，那么，米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？小明买的竹竿至少是多少米吗？1.5米1.5米2.2米1.5米1.5米xx2.2米ABCX2=1.52+1.52=4.5AB2=2.22+X2=9.34AB3米米走进生活（走进生活（2）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A,B两个村庄送水，已知A、B到河边的距离分别为AC=3kmM,并且CD=10Km.问：水泵站建立在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中标出水泵站P的位置。变式：如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A,B两个村庄送水，已知A、B到河边的距离分别为AC=3kmM,并且CD=10Km.问：如果要求水泵站到A、B两村的距离相等，则水泵站应该建在什么位置？10-xx(10-x)2+32=x2+72x=3小溪边长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树高30尺，另外一棵树高20尺；两棵树干间的距离是50尺，每棵树上都停着一只鸟，忽然两只鸟同时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标。问这条鱼出现在两树之间的何处？走进生活（走进生活（3）在数学中，我们发现真理的主要工具是归在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。纳和模拟。拉普拉斯拉普拉斯