1.1函数的概念.ppt

第一章 函数和极限第一节 函数的概念一、函数的概念一、函数的概念定定义义1-1设设 x 和和 y 是两个是两个变变量量,D是一个是一个给给定的定的数集数集.如果如果对对于每个于每个数数 x D,y 按一定的按一定的法法则则总总有有确确定定的的 数数值值和它和它对应对应,则则称称 y 是是 x 的的函数函数,记记作作 y=f(x).D 叫做叫做定定义义域域,x 叫做叫做自自变变量量,y 叫做叫做因因变变量量,W=y|y=f(x),x D 称称为为函数函数的的值值域域.y0=f(x0)叫做函数叫做函数在在 x=x0 处处的的函数函数值值.也可也可记记作作 y|x x02例例1求求 y x 3 ln(x 2)的定的定义义域。域。解得解得x 2解解：要求函数的定要求函数的定义义域，域，即即要使函要使函数数解析式解析式有有意意义义 x 3 0 x 2 0即函数的定即函数的定义义域域为为 (2,)1.求函数的定求函数的定义义域域3以以a为为中中心心,长长度度为为2 的开的开区区间间 a ,a 邻邻域域aa a 称称为为点点a的的 邻邻域域，也，也可可记为记为U(a,)x|x a 点点a叫做叫做邻邻域域的中的中心心，叫做叫做邻邻域域的半的半径径。2 4aa a 点点 a 的的 邻邻域域去去掉掉中中心心 a 后，后，称称为为点点 a 的的 去心去心邻邻域域，记为记为U(a,)x|0 x a 52.确定函数的两要素确定函数的两要素例例2 判断下列判断下列各各对对函数是函数是否否相相同同（1）xx 2f(x)xg(x)（2）f(x)xx 2h(x)（不同）（不同）（不同）（不同）为为什什 么？么？6定定义义域域 D对应对应关关系系 f3.函数的表示法函数的表示法函数的表函数的表示示法法有有:解析法解析法、列表法列表法和和图图像像法法,这这 三种表述各有三种表述各有特点并特点并可可以相互以相互转转化化例例1-1 在出生在出生后后 16个月期个月期间间内内,正正常常婴婴儿儿的体重近的体重近 似似满满足以下关足以下关系系:y 3 0.6 xx 1,6特点：特点：便于理便于理论论分析和数分析和数值计值计算。算。解析法解析法(公式法公式法)7例例1-2 某地区某地区统统计计了了某年某年112月中当月中当地流地流行行性出血性出血热热的的发发病率病率,见见下表下表t(月份)123456789101112y()16.68.3 7.1 6.5 7.0 10.0 2.5 3.5 5.7 10.0 17.1 7.0列表法列表法优优点：点：可以避免繁可以避免繁琐计琐计算，并能算，并能够够表达用表达用数数学公式学公式 不便表达的函数。不便表达的函数。缺点：缺点：只能只能查查出表上所列函数出表上所列函数值值，不便作不便作理理论论分析。分析。8tot0TT(t0)37例例1-3 监护仪监护仪自自动动记记录录了某了某患患者一段者一段时时间间内体内体温温T的的变变化曲化曲线线,如下如下图图示示:图图像法像法优优点：点：容易看出函数的容易看出函数的变变化化趋势趋势，直直观观性性强强。缺点：缺点：不便作理不便作理论论分析。分析。9二、分段函数二、分段函数 1,1x 0sgn x 0 x 0 x 0一个函数一个函数在在其其不同定不同定义义范范围围内内，要用不要用不同同的的 解析式表示，解析式表示，而不能而不能用用一个一个统统一一的解析的解析式式表示，表示，这这 类类函数称函数称为为分段函数分段函数。例如，例如，符号函数符号函数10例例4 设设有分段函数有分段函数 2 3 x,1 x 00 x 11 x 2 x 1,f(x)x,(1)(1)画出函数的画出函数的图图像像；(2)(2)求此函数的求此函数的定定义义域；域；(3)求求 f(1),f(1),f(3),2221112 2 3 x,1 x 00 x 11 x 2 x 1,f(x)x,解解 (1)函数函数图图像像如右如右图图所所示示(2)定定义义域域为为(1,2f(x)xO12 1 212 1f(1)322f(1)124f(3)322(3)三、基本初等函数三、基本初等函数4 4对对数函数数函数5 5三角函数三角函数y logax(a 0,a 1);y sin x,y cos x,y tan x,y cot x,y sec x,y csc x.（3）指数函指数函数数 y a x (a 0,a 1);（6）反三角函数反三角函数1 1常函数常函数2 2幂幂函数函数y C (C 为为常数常数);y x (为为任意任意实实数数);y arcsin x,y arccos x,y arctan x,y arc cot x以上六种函数以上六种函数统统称称为为基本初等函基本初等函数数13正割函数正割函数1y sec x 余割函数余割函数sin xcos x1y csc x 这这些函数的些函数的图图象和性象和性质质必需熟必需熟悉悉.常用的几种性常用的几种性质质：单调单调性、奇偶性性、奇偶性、有界性有界性、周期性、周期性1415有界性有界性设设函函数数 y f(x)在在区区间间 D 内有内有定定义义,若存若存 在在 M 0，使使得得对对于于每每一一 x D,都都有有 f(x)Mo-MxD有界有界成立成立，则则称称 f(x)有界有界,称称M为为 f(x)的的界界。yMy=f(x)无界无界-MxoD16yMx0反之，如果不反之，如果不存在存在这这样样的的M，则则称称 f(x)在在D内内 是是无界无界的。的。(2)幂幂函数函数(是常是常数数)y x xy x 1 1y x y x 2 y x 317(a 0,a 1)y a x(3)指数指数函函数数a 1180 a 1y logax(a 0,a 1)(4)对对数数函函数数a 1190 a 1y tan x(5)正切正切函函数数42242220y arctan x(6)反正反正切函切函数数221四、复合函数四、复合函数例例子子 y sin u,u x 2 y sin(x 2)定定义义1-2 对对于函于函数数 y=f(u),u=(x),如果函数如果函数(x)的的 值值域全部或部域全部或部分包含分包含在在函数函数y=f(u)的定的定义义域内域内,那么那么y通通过过u的的联联系系成成为为x的的函函数数,我我们们把把y叫叫做做x的的 复合函数复合函数，记记作作 y f(x)其中其中x是自是自变变量量，u称称为为中中间变间变量量。22例例1-5 试试将函数将函数 函数。函数。23y 1 u2,u sin x复合成一个复合成一个解解将函将函数数u sin x 代代入入 y 1 u2即即为为所求复合所求复合函函数数 y 1 sin2 x例例1-6 试试将函将函数数 y lg u,u 1 x 2复合成一个复合成一个函函数数解解 将函将函数数u 1 x 2 代代入入 y lg u中中即即为为所求复合所求复合函函数数 y lg(1 x 2)x (1,1)中中,x (,)注注1 任何两个函数都可以复合成一个复任何两个函数都可以复合成一个复合合函数函数吗吗？24例如例如y arcsin u,u x2 2答案答案：它它们们不能复合不能复合因因为为：y arcsin u 的定的定义义域域是是 1 u 1而而 u 2 x2 2,因此函因此函数数 y arcsin(2 x 2)是无意是无意义义的的。注注2 复合函数也可以由两个以上的函数复合函数也可以由两个以上的函数构构成。成。25例如，例如，由三个函由三个函数数y lg u,u tan v,v 2 x复合而成的函数复合而成的函数为为 y lg tan(2 x)注注3 在微在微积积分学中，常常要把一个复分学中，常常要把一个复杂杂函函数数分分解解成成 若干个若干个简单简单的函数。的函数。例例1-7 指出下列指出下列函函数数的复合的复合结结构构(1)y (3 x 5)82(2)y asin(3 x 1)1 1x 3(3)y sin2解解(1)y u2,wv 1,在分解在分解过过程中程中，需要使需要使分分解的函解的函数数是是基本基本初初等函等函 数数、多多项项式函式函数数或或有有理理分式分式的的形形式，才式，才能能终终止分止分解解。26u 3 x 5 1(2)y au,u sin v,v 3 x 2u sin v,(3)y u2,(4)y tanlg(arcsin x)v,v lg w,u (4)y tan u,w x3 1w arcsin x五、初等函数五、初等函数定定义义 由由基基本本初初等等函函数数经经过过有有限限次次四四则则运运算算及及有有限限次次 复复合合运运算算所所构构成成，并并可可用用一一个个解解析析式式表表示示的的函函数数，称称 为为初等函数初等函数。非初等函数非初等函数初等函数初等函数x227y e x sin 1初等函数初等函数例例：y a0 a1 x an xny a0 a1 x an x n x 1xy x 0 x 0非初等函数非初等函数28