单调性及幂函数.doc

函数的单调性

知能点全解：
知能点一： 函数单调性的定义
1、图形描述：
从函数的图象（图1）看到：图象在
轴的右侧部分是从左向右连续上升的，也就
是说，当在区间[0，+)上取值时，随着的
增大,相应的值也随着增大，即如果任取，得到=,=,那么当<时，有<。这时我们就说函数=在[0,+ )上是增函数。
图象在轴的左侧部分是从左向右连续下降的，也就是说， 当在区间上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果任取，得到=,=,那么当<时，有>。这时我们就说函数=在(-,0)上是减函数.
2、定量描述
对于函数的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，
（1）若当<时，都有<,则说在区间D上是增函数；
（2）若当<时，都有>,则说在区间D上是减函数。
3、单调性与单调区间
若函数=在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
特别提醒：
1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当∈[0,+)时是增函数，当∈(-,0)时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的，如图2。
2、函数的单调区间是其定义域的子集；
3、应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。

例 1 如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。

知能点二：用定义证明函数的单调性
例 2 ：证明函数是增函数。

例 3：证明函数在上是减函数

特别提醒：定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是：
（1）取值，即设是区间上的任意两个实数，且<；
（2）作差变形，即，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；
（3）判断的正负，当正负不确定时，可以分区间进行讨论，判断正负；
（4）根据定义得出结论。
及时演练：
1、判断并证明下列函数的单调性
（1） （2）
（3） （4）
2、讨论下列函数的单调性，指出其单调区间并予以证明
（1） （2）
（3） （4）
3、判断下列各函数在给定的单调区间上是增函数还是减函数
（1） （2） （3）
（4）
4、讨论函数在(-2,2)内的单调性

知能点三：判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论
1、函数与函数的单调性相反
2、当恒为正或恒为负时，函数与函数的单调性相反
3、在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数。
例 4：求函数的单调区间。

及时演练：
1、下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、在上单调递减的函数是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、函数的单调递减区间是 。
4、已知定义在同一区间上，是增函数，是减函数，且，则（ ）
A、为减函数 B、为增函数
C、为减函数 D、为增函数
5、的单调减区间是 。
6、二次函数的递增区间为，则二次函数的递减区间为 。
7、已知函数，则使函数是减函数的区间是 。
8、设是定义在区间上的增函数，且，则下列函数：①；②③；④中，是减函数的有 （把序号填在横线上）。
知能点四：复合函数单调性的判断 对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：

增 ↗
减 ↘

增 ↗
减 ↘
增 ↗
减 ↘

增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。
例 5：求函数的单调递增区间.

拓展知识点：函数的单调性
（1）单调增区间：
（2）单调减区间：
（3）图像的两条渐进线分别为和
（4）图像如右：

典型题型全解
题型一：利用函数单调性比较函数值的大小
例 6：如果函数，对任意实数都有，比较的大小。

及时演练
1、 已知，当时， 为增函数，设，则的大小关系为 。
2、若，且，函数，则与的大小关系为_
3、函数对任意均有，那么的大小关系为 。

题型二：利用函数单调性求参数的范围
例 7：已知在上是减函数，求实数的取值范围。

及时演练：
1、若函数在上是增函数，则有（ ）
A、 B、 C、 D、
2、若与在区间上都是减函数，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知函数在上递增，则的取值范围是 。
4、已知函数，并且的最小值为，则实数的取值范围是 。
5、函数的最大值是，那么实数的取值范围为 。
6、函数在区间上是增函数，则的取值范围是 。
题型三：利用函数单调性求函数的最值
例 8：（1）求函数的值域；

（2）已知，对于函数，若时，，求的值。

及时演练：
1、函数在上的最大值与最小值分别为 。
2、已知函数，则这个函数的值域为 。
题型四：函数单调性定义逆命题及其应用
逆命题：已知函数在定义域的某个区间上为增函数（减函数），若，则（）
例 9：已知函数在上是减函数，试比较与的大小。

及时演练：
1、函数在上为增函数，在上为减函数，则= 。
2、在上为增函数，在上为减函数，则= 。
3、若函数在上单调递减，且，则实数的取值范围是 。
4、已知函数在区间上具有单调性，且，则方程在区间上（ ）
A、至少有一实根 B、至多有一实根 C、没有实根 D、必有唯一实根
5、函数在和上递减，且，则的解集是 。
6、是定义在上的增函数，则不等式的解集为
题型五：抽象函数单调性的判断
例 10：已知函数的定义域为，满足，且（为常数）在区间上是减函数，判断并证明在区间上的单调性。

及时演练：
1、设函数的定义在上的增函数，。若不等式成立，求函数的最小值为 。
2、已知函数在区间上是增函数，对实数满足。
求证：
3、已知函数，当时，恒有，当时，，试判断在上的单调性，并证明你的结论。

（一）关于幂函数
1. 幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是常数。
    ① 在这里我们只讨论a是有理数时的简单的幂函数。
② 掌握幂函数的关键一定要明确“形如的函数”这句话的重要作用。函数“”等都是幂函数，而象“”等就不是幂函数。足见幂函数对格式要求之严格。
③ 对于幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的，幂指数不同，定义域和值域也不同：
（1）当指数n是正整数时，定义域是R。
（2）当指数n是正分数时，设（p,q是互质的正整数，q>1），则。
如果q是奇数，定义域是R； 如果q是偶数，定义域是[0,＋∞)。
（3）当指数n是负整数时，设显然x不能为零，所以定义域是
（4）当指数n是负分数时，设（p,q是互质的正整数，q>1），则。
    如果q是奇数，定义域是；
如果q是偶数，定义域是（0,＋∞）。
2. 幂函数的图象与性质
幂函数部分的内容是学习的难点，要突破这个难点，关键是如何快速地画出能基本反映幂函数图象特征的草图，因为有了草图，有关幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等函数性质就会一目了然，而且也有利于培养、形成数形结合的思维习惯。

（1）第一象限内图象规律总结（结合图形）：
① n>1时，过（0，0）、（1，1）的抛物线型，下凸递增。
② n＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。
③ 0<n<1时，过（0，0）、（1，1）的抛物线型，上凸递增。
④ n＝0时，变形为y＝1(x≠0)，平行于x轴的射线。
⑤ n<0时，过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。
通过观察图象，我们还可以发现：
在直线x＝1的右侧，各种幂函数的图象随着指数n的增大
从下向上排列；且直线y＝1和y＝x把第一象限内直线x＝1右侧部分分成3个部分，n<0的幂函数的图象都在①号部分里，0<n<1的幂函数图象都在②号部分里，n>1的图象都在③号部分里，分布得相当有规律。
在直线x＝1的左侧，同样有类似的规律，同学们可以自己发现。其实有上面的规律足够用了。
（2）整个图象的规律：设（p,q是互质，p∈Z，q∈N）
① 任何幂函数在第一象限必有图象，在第四象限必无图象；
② 时，函数非奇非偶，只在第一象限有图象；
③ 时，函数是偶函数，图象在第一、二象限都有图象（坐标轴上也可能有）并关于y轴对称。
④ 时，函数是奇函数，图象在第一、三象限都有图象（坐标轴上也可能有）并关于原点对称。
（3）快速作幂函数图象的步骤：不管n取什么有理数，幂函数的公共定义域为（0，＋∞），可见幂函数在第一象限内总有图象，因此作幂函数图象应先从第一象限入手：
① 先作出第一象限内的图象；
② 若幂函数的定义域为（0，＋∞）或[0，＋∞]，作图已经完成；
若幂函数在（－∞，0）或（－∞，0）上也有意义，则应先判断函数的奇偶性，再利用奇函数或偶函数的性质作出在（－∞，0）或（－∞，0）部分的图象。

（4）掌握下面几个典型的幂函数的图象和性质是很有必要的：

函数
y＝xn

n < 0
n ＝ 0

定义域
{x|x≠0}
(0,+∞)
{x|x≠0}
{x|x≠0}
值域
{y|y≠0}
(0,+∞)
(0,+∞)
{y|y＝1}
奇偶性
奇函数
非奇非偶
偶函数
偶函数
单调性
(-∞,0)↓，(0,+∞)↓
(0,+∞)↓
(-∞,0)↑，(0,+∞)↓
不增不减

图

象

0 < n < 1
n ＝ 1
n > 1

R
[0,+∞)
R
R
R
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
R
奇函数
非奇非偶
奇函数
偶函数
奇函数
(-∞,+∞)↑
[0,+∞)↑
(-∞，+∞)↑
(-∞,0]↓,[0,+∞)↑
(-∞,+∞)↑

1、 判断下列函数是否是幂函数：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）

2、 幂函数求m=_____
3、幂函数经过点（2，），求函数f(x)的解析式
4．已知函数，当 为何值时，：
（1）是幂函数，且是上的增函数；（2）是正比例函数；（3）是反比例函数；（4）是二次函数；

变式训练：已知函数，当 为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线。

5．比较大小：
（1） （2）（3）

变式训练：
比较下列各组中两个数的大小：
（1），；（2）0.71.5，0.61.5；
（3），．

小结：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；
（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．
6．证明：幂函数在(0,+∞)上是增函数

7．讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．
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