历年高考数学试题解析(浙江、江苏卷)(共2套).pdf

历年普通高等学校招生全国统一考试数学试题解析(浙江卷)一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合尸=%,2一2x2。,Q=xl x 0 B.axd 0,0,/54 0 D.axd 0【答案】3.【解析】试题分析：等差数列4，生，生成等比数列，.(q+3d厂=(4+2颁+7d)=q=-*,S4=2(q+a4)=2(q+a+3d)=-三，=-.小 0,dS*=-三 d故选 3.3 j 3【考点定位】1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的概念等知识点，同时考查了学生的运菖求解能力，属于容易题，将a：d,原54表示为只与公差d有关的表达式，即可求解，在解题过程中要注意等等 差数列与等比数列概念以及相关公式的灵活运用.4.命题“/n e N*,f(n)w N*且/()B.X/e N*,/()wN*或/()C.池)eN*,/(%)eN*且/(%)%D.弱 e N*,/(4)e M 或/(得)%【答案】D.【解析】试题分析：根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.【考点定位】命题的否定【名师点睛】本题主要考查了全称命题的否定等知识点，属于容易题，全称I存在性;命题的否定与一般命题 的否定有着一定的区别，全称I存在性:命题的否定是将其全称量词改为存在量词i或把存在量词改为全称量 词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可，全称量词与特称量词的意义，是今年考试 说明中新噌的内容，在后续的复习时应予以关注.5.如图，设抛物线V=4%的焦点为产，不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上，点。在y轴上，则MCF与AACF的面积之比是()A r Ml c d 1|AF|-1|AF|-1 AF+1 AF+l【答案】A.【解析】试题分析：上=些=注=也二1,故选A s a c xa a Fi【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高 的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距 离求解，在平面几何背景下着查扇锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏 相应平面几何知识的复习.6.设A,3是有限集，定义d(A,5)=c wd(AU3)cd(An 3),其中c 5d(A)表示有限集A中的元素个数，命题：对任意有限集A,8,“AwB”是“d(AB)0”的充分必要条件；命题：对任意有限集 A,B,C,d(A,C)d(A,B)+d(B,C),()A.命题和命题都成立 B.命题和命题都不成立C.命题成立，命题不成立 D.命题不成立，命题成立【答案】A.【解析】试题分析：命题显然正确，通过如下文氏图亦可知d（a：C）表示的区域不大于火乂3）+或瓦C）的区域，故命题也正确，故选A.【考点定位】集合的性质【名师点睛】本题是集合的阅读材料题，属于中档题，在解题过程中需首先理解材料中相关概念与已知的 集合相关知识点的结合，即可知命题正确，同时注重数形结合思想的运用，若用韦恩图表示三个集合”,B,C,则可将问题等价转化为比较集合区域的大小，即可确定集合中元素个数大小的比较.7.存在函数/(%)满足，对任意x e H都有()A./(sin 2x)=sin x B./(sin 2x)=x2+x C./(x2+1)=|j:+1|D./(x2+2x)=|-+l|【答案】D.【解析】试题分析：A：取x=0,可知/(s in 0)=sin 0,即/%(0)=0,再取：v=,可知f(sin,T)=sin,即f(0)=1,矛盾，A错误；同理可知3错误，C：取=1,可知/(2)=2,再取工二一1,可知f(2)=0,矛盾，.C错误，D：令r=1工+1|(，之0),/(r:-1)=f(f 之 0)o/(x)=7-v+l,符合题意，故选 D.【考点定位】函数的概念【名师点睛】本题主要考查了函数的概念，以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题，全称量词与存 在量词是考试说明新噌的内容，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”，“任意”等一些抽冢的用词是高 等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理 解到位，同时也考查了举反例的数学思想.8.如图，已知AABC,。是AB的中点，沿直线CD将AACD折成AACD,所成二面角A CD5的 平面角为。，则()A.ZADBa C.ZACB a D.ZACB):=r-4c o s:,c o s a-c o s 乙JP=lAXxN P_ sin-g+sir T 8-T-4c o s*&)2sin 8x 0,0,：.cosacosDB（当 8=2时取等号）,八,八 rsin&sin 0 2/a,Z/TDB w 0：对,而j=c o s x在0：网上为递减函数,：.a DB,故选 3.【考点定位】立体几何中的动态问题【名师点睛】本题主要考查立体几何中的动态问题，属于较难题，由于a T3。的形状不确定，乙HC3与 a的大小关系是不确定的，再根据二面角的定义即可知乙47)3 3a,当且仅当HC=8。时，等号成立 以立体几何为背景的创新题是浙江高考数学试卷的热点问题，11年，13年选择题压轴题均考查了立体几 何背景的创新题，解决此类问题需在平时注重空间想冢能力的培养，加强此类问题的训统.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.x n9.双曲线一一丫2=1的焦距是，渐近线方程是2【答案】j=【解析】试题分析：由题意得：a=,5=1,c=+5,=J?+1=忑,焦距为2c=2后，渐近线方程为v=-x=x.a 2【考点定位】双曲线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其焦距，渐近线等相关概念，属于容易题，根据条件中 的双曲线的标准方程可以求得a,5,c,进而即可得到焦距与渐近线方程，在复习时，要弄清各个扇锥 曲线方程中各参数的含义以及之间的关系，避免无谓失分.10.已知函数/(%)=1%，则/(/(3)二l g(x2+l),x 272-3,当且仅当x=0时，等号成立，当0,当且仅当x=0时，等号成立，故f(x)最小值为入万-3.【考点定位】分段函数【名师点睛】本题主要考查分段函数以及求函数的最值，属于容易题，在求最小值时，可以求每个分段上 的最小值，再取两个最小值之中较小的一个即可，在求最小值时，要注意等号成立的条件，是否在其分段 上，分段函数常与数形结合，分类讨论等数学思想相结合，在复习时应予以关注.11.函，数/(%)=sii?x+sin x c o s x+1的最小正周期是,单调递减区间是.【答案】1，+keZ.S S【解析】试题分析：个)=+1=gsin(2x4+:,故最小正周期为；T,单调递减区间为羡+女式：弓+上可,keZ.【考点定位】1.三角恒等变形；二三角函数的性质【名师点睛】本题考查了三角恒等变形与函数j=工+切的性质，属于中档题，首先利用二倍角的 降嘉变形对f(x)的表达式作等价变形，其次利用辅助角公式化为形如j=a s E(Mv+?)的形式，再由正弦函数的性质即可得到最小正周期与单调递减区间，三角函数是高考的热点问题，常考查的知识点有三角 恒等变形，正余弦定理，单调性周期性等12.若。=l o g 43,则20+2-=【答案】:百.3L解析】试题分析：a=l o R43，4=3=r=、/,.2+2-=V+=币3【考点定位】对数的计算【名师点睛】本题主要考查对数的计算，属于容易题，根据条件中的对数式将其等价转化为指数式，变形 即可求解，对数是一个相对抽象的概念，在解题时可以转化为相对具体的指数式，利用指数的运算性质求 解 JU I 13.如图，三棱锥A38中，A5=AC=3Z)=CO=3,AZ)=5C=2,点M,N分别是AQ5C的中点，则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.【答案】一.S【解析】试题分析：如下图，连结。.V,取ZXV中点尸，连结尸.1/,PC,则可知z Rl/C即为异面直线wv,C所成角（或其补角）易得PC=PXZ+CAr：=72+1=5/3,CM=IaC:-AM:=2/2,Q 一?c o s Z1PJ/C=:=一，即异面直线AX,CM所成角的余弦值为一.2x 272x 72 8 S【考点定位】异面直线的夹角.【名师点睛】本题主要考查了异面直线夹角的求解，属于中档题，分析条件中出现的中点，可以考虑利用 三角形的中位线性质利用平移产生异面直线的夹角，再利用余弦定理的变式即可求解，在复习时应了解两 条异面直线夹角的范围，常见的求异面直线夹角的方法等知识点.13.若实数满足f+/1,则|2%+y +|6 3y|的最小值是,【答案】3.【解析】广+j，1表示图广+j-=1及其内部，易得直线6-31与圆相离，故6-x-3i-|=6-x-3y,当 2x+j-2 20时，|2x+y-2|+|6-x-3ij=x-2i+4,3 4如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数z=x-2+4,则可知当x=1,j=g时，za i,=3,当二x+j-2Vo时，|2x+y-2|+|6-x-3y|=S-3x-4y,可行域为大的弓形_ 3 4,内部，目标函数工=8-3x-4j,同理可知当工=二，1y=二时，=3,综上所述，5 5-2x+v-2 4-6-x-3y|.八C(0.2)3x*4y=O【考点定位】1.线性规划的运用；2.分类讨论的数学思想；3.直线与圆的位置关系【名师点睛】本题主要考查了以线性规划为背景的运用，属于中档题根据可行域是圆及其内部的特点，结 合直线与扇的位置关系的判定，首先可以将目标函数的两个绝对值号中去掉一个，再利用分类讨论的数学 思想去掉其中一个绝对值号，利用线性规划知识求解，理科试卷的线性规划问题基本考查含参的线性规划 问题或者是利用线性规划的知识解决一些非线性的目标函数或可行域的问题，常需考查目标函数或可行域 的几何意义求解，在复习时应予以关注.15.已知&是空间单位向量，&,若空间向量石满足50=2,5&=,且对于任意eR,b-(xe+yeb-(xQe+yoe=Kxo,yGeR),则毛=,%=，忖=.r答案】1，2,20.【解析】问题等价于p-(城+当且仅当x=X-,y=y:时取到最小值1,两边平方即5+工”+尸-4K-5j+耳,在x=x：,j=时，取到最小值 1,$+x*+I-*-4x-5y+xyx-+y：4=0 r ia o.1*=J+(y-4)x-5y+|i|:=(x+-)2+-(y-2):-7+|d|2,.-Jy0-2=O=?H0=2.|-7+|S:=l 11=2WI 1 Ui【考点定位】1.平面向量的模长；二函数的最值【名师点睛】本题主要考查了以平面向量模长为背景下的函数最值的求解，属于较难题，分析题意可得问 题等价于1-(.京+1司)|当且仅当=上，J=y时取到最小值1,这是解决此题的关隧突破口，也是最 小值的本质，两边平方后转化为一个关于X,J的二元二次函数的最值求解，此类函数最值的求解对考生 来说相对陌生，此时需将其视为关于某个字母的二次函数或利用配方的方法求解，关于二元二次 函数求最值的问题，在14年杭州二模的试题出现过类似的问题，在复习时应予以关注.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分14分)在AABC中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,已知A=工，b2-a2=-c2.4 2(1)求t a n C的值；(2)若AABC的面积为3,求匕的值.【答案】2；(2)b=3.试题分析：(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等 变形即可求解；(2)根据条件首先求得sin8的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.试题解析：(1)由-丁及正弦定理得由181 sin-C,-c o s=sin*C 又由.!=：,即5+。=，得-c o s 23=sin 2C=2 sin Ceo s C,解得t a n C=2；(2)由 t a n C=2,CeQ幻得sin C=，c o sC=密,A t 30 2V25.*sin B=sin（4 4-C）=sin（4-C）.sin 5=-，由正弦定理得 c=-b 4 10 3又工=二，be sin-J=3,.5c=6/5,故5=3.4 2【考点定位】1.三角恒等变形；2.正弦定理.【名师点睛】本题主要考查了解三角形以及三角横等变形等知识点，同时考查了学生的运算求解能力，三角函数作为大题的一个热点考点，基本每年的大题都会涉及到，常考查的主要是三角恒等变形，函数1=一公由（0工+夕）的性质，解三角形等知识点，在复习时需把这些常着的知识点弄透弄熟.17.（本题满分15分）如图，在三棱柱ABC A4G-中，ZBAC=90,AB=AC=2,44=4,A,在底面ABC的射影为5c的中点，。为4G的中点.（1）证明：ad,平面A#。；（2）求二面角4-BD-片的平面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）S试题分析：（1）根据条件首先证得一正平面a。，再证明.可少-正,即可得证；（二）作4尸_8少，且=可证明4%FB为二面角其一3。一用的平面角，再由余弦定理即可求得c o s工AFB=,从而求解.试题解析：(1)设E为SC的中点，由题意得用工一平面ASC,./=AC,AE-BC,故.正一平面48C,由Z),E分别3：G，3C的中点，得。E 8：3且DE=B、B,从而DE.四边形.本拄。为平行四边形，故”:正,又.二4_平面4G，平面d 6q；(2)作4尸_3。，且4尸。82)=下，连结F,由 AE=EB=，乙&ET=乙a1EB=90:,得从8=4M=4,由其。=B、D,产=呢,得&DB三m/)B,由d F_SZ),得F_3Z),因此二*为二面角 4一初一打的平面角，由凡Z)=JL 43=4,NZ)H3=90：,得3。=38，AF=B1F=,由余弦定理得，cosNAF4=-L 3 8【考点定位】1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解【名师点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质以及二面角的求解，属于中档题，在解题时，应观察 各个直线与平面之间的位置关系，结合线面垂直的判定即可求解，在求二面角时，可以利用图形中的位置 关系，求得二面角的平面角，从而求解，在求解过程当中，通常会结合一些初中阶段学习的平面几何知识,例如三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，在复习时应予以关注.18.(本题满分15分)已知函数fx)=x2+ax+b(a,b&R),记M(a,b)是|/(%)|在区间上的最大值.(1)证明：当|。22时，M(a,b)2；(2)当。，-满足42,求|。|+|的最大值.【答案】详见解析；(2)3.试题分析：(1)分析题意可知/(、)在上单调，从而可知M(a.b)=ma x /(I):/(-I)分类讨论a的取值范围即可求解.；(】)分析题意可知a+b.ab Q 一皿a|+|6|=4，再由 J/(a.5)&2 可得|l+a+5|=|f(l)区 2,a-bzabT a+5/(-1)性2,即可得证.试题解析：(1)由f(x)=&+)：+6-9，得对称轴为直线L 故f(x)在上单调，.M(a M=ma x|f(l)|J/(T)|,当。之2时,由/(l)-/(-l)=2a 4,得ma x f(l)：f(-1)22,即.(。6)22,当a-2时，由f(T)-f(l)=_2a之4,得即M(a力)(2,综上，当|a 2时,M(a力)之2；(2)由 力)W2 得|l+a+|=|f(l)|2,l-a+b=/(-I)|0,a-5 怪 3,由 a|+|5=：.，得 I+1 当 a=2,5=-1 时，a+1 i：=3 且a-b;ab2=1上两个不同的点A,3关于直线丁=如+,对称.（1）求实数机的取值范围；（2）求澳面积的最大值（O为坐标原点）.t）,【答案】当或，”生与X,1+V*=1试题分析：（1）可设直线A3的方程为1=从而可知一 有两个不同的解，再由a sw I 1 Ly=-x+b w中点也在直线上，即可得到关于我的不等式，从而求解；（2）令，=工，可将AJ08表示为的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.1 4-V*=11 试题解析：（1）由题意知力工0，可设直线A3的方程为了=-X+S,由-w I 1,y=-x+b m消去，得己+2*-3x+5、l=0,.直线丁=-x+5与椭圆工+J=1有两 2 tn m 2个不同的交点，.A=T5：+2+30,，将A3中点口（上空寸恶）代入直线方程1=惚v+!解得三，。由得出一渔或物 理；（2）令 Im j j!三一亚.0）渔，JJI.I AB=#r y.l _l11,且。到直线 A3吻 2 2 尸+2_1r+-的距离为d=J、-,设XiO B的面积为S（r），Vr+1/.S（r）=i|1-a=-l）:+2,当且仅当产=：时，等号成立，故4，。3_ _ V _ _ _J2面积的最大值为巴.【考点定位】1.直线与桶圆的位置关系；2.点到直线距离公式；土求函数的最值.【名师点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位苴关系等知识点，在直线与椭圆相交背景下求三角形面积的 最值，浙江理科数学试卷在2012年与313年均有考查，可以看出是热点问题，将直线方程与桶扇方程联 立消去一个字母后利用韦达定理以及点到直线距离公式建立目标函数，将面积问题转化为求函数最值问 题，是常规问题的常规考法，应熟练掌握，同时，需提高字母运算的技巧.20.（本题满分15分）已知数列,。满足 4=g 且 an+=an an（M）（1）证明：14冬-42（e M）；（2J设数列4:的前项和为S”，证明一!一一!一 e N*）.（）2（+2）n 2（+1）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.试题分析：（1）首先根据递推公式可得以工工，再由递推公式变形可知 个-=从而得证；（2）由。_-工二2和1工2工：得,4_/一a j 1-a,q a.,a._1 a-1-2,从而可得兰a-二-S jV),即可得证.&T a.,2(+1)改+2试题解析：(1)由题意得，7：.4-a,.-a.0,即&_工&，?;.0,由 0%;得，三=/二=_中刁,g pi 2;(2)由题意得生-i 4一 1一/：-1.工=一4 一，由工一工二2和1工与 2得，1-?-2n,因此一5-S w.V)，由得a ax 怜+D 改+21 5；1_|z=5 n|z|=6考点：复数的模4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为.（第4题图）ST/-IWh il e/m=2,h=5,71-n=-3.考点：向量相等27.不等式2、-X 4的解集为.【答案】(1,2).【解析】试题分析：由题意得：%27考点：两角差正切公式9.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为【答案】V7【解析】试题分析：由体积相等得：-x4x-x52+x22 x8=-x r2x x 4+y r x r2x 8r=V7考点：圆柱及圆锥体积10.在平面直角坐标系10y中，以点(1,0)为圆心且与直线如y 2根l=0(mwR)相切的所有圆中，半 径最大的圆的标准方程为【答案】(x-l)2+/=2.【解析】试题分析：由题意得：半径等于号二层3n s三6勿所求朗一 考点：直线与圆位置关系11.数列%满足%=1,且“+4=+1（e N*）,则数歹（,的前10项和为【答案】宣【解析】几（几+1）试题分析：由题意得：an=（。-4i）+（4i-。_2）+.+（4-q）+q=+-1+2+1=-1 C/1 1 I X 2 c所以乙二2（7肉）总=2（1-耐）=,岛20TT考点：数列通项，裂项求和12.在平面直角坐标系Oy中，P为双曲线y 2=1右支上的一个动点。若点P到直线xy+l=0的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为【答案】军2【解析】试题分析:设P(%,y),(%2i),因为直线无-+1=。平行于渐近线-y=。，所以c的最大值为直线-y+i=()与渐近线犬一=()之间距离,1 _ V2为考点：双曲线渐近线，恒成立转化13.已知函数/1(%)=1In xI，g(x)=2，0l【答案】4【解析】试题分析：由题意得：求函数J=/(X)与J=1-g(x)交点个数以及函数J=八R与J=T-g()交点个数之f LO x l和，因为丁=1-g(x)=,所以函数与J=l-g(x l有两个交点.，又|x:-Ll x 2,-LO x 2,所以函数1=/(x)与1=-l-g(x)有两个交点，因此共有4个交点|x:-U x 2考点：函数与方程14.设向量/=(c o s竺,sin竺+c o s竺)(Z=0,1,2,12),则之(见 生；)的值为_6 6 6 k=o【答案】973【解析】,_n 20 /k7i.kn kn.(左+1).(k+1)tt(2+1)不、试题分析：%+=(cos,sin-F cos)(cos-,sin-F cos-)11 6 6 6 6 6 6n.2k冗+7T k:r(k+1)tt 3/3.2k冗+1(2k+1)=COS _ F Sin-F COS COS-=-F sin-F cos-6 6 6 6 4 6 2 611 2 c因止匕皈=+*12=96k=o 4考点：向量数量积，三角函数性质 二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)在 AABC 中，已知 AB=2,AC=3,A=60.(1)求8C的长；(2)求s in 2c的值.【答案】(1)V7(2)逆7【解析】试题分析：（1）已知两边及夹角求第三边，应用余弦定理，可得BC的长，（2）利用（1）的结果，则由余 弦定理先求出角C的余弦值，再根据平方关系及三角形角的范围求出角C的正弦值，最后利用二倍角公式 求出血2C的值.、1试题解析：(1)由余弦定理知，BC*=.B*+AC*-2.B-AC-c o sA=4+9-2x 2x 3x i=-,所以BC=(2)由正弦理知，-=-,所以 sin C=-sin A=-=-sin C sin A BC因为 ABvBC,所以 C 为锐角，fjt jij c o sC=71-sin:C=.因此 sin 2C=2 sin C c o s C=2x 考点：余弦定理，二倍角公式16.（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABCa 4G中，已知ac_lbc,bc=cc设A4的中点为o,4。口区储=.求证：（1）平ffiMG。；(2)BCi【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由三棱锥性质知侧面84G。为平行四边形，因此点石为4。的中点，从而由三角形中位线性 质得。E/AC,再由线面平行判定定理得。石平面4AGC（2）因为直三棱柱ABCA4G中BC=CG，所以侧面5耳CC为正方形，因此3C|_L4C,又AC_LBC,ACICq（可由直三棱柱推导）,因此由线面垂直判定定理得ACJ平面8BCC,从而AC，8G，再由线面垂直判定定理得3G，平面Ac,进而可得BC-LAB试题解析：（1）由题意知，E为B】C的中点,又D为AB：的中点，因此DE AC.又因为DE工平面AAC,AC二平面AACC,所以DE平面AAC】C.H（第16期（2）因为棱柱ABC-A：B：C是直三棱柱,所以CC1 一平面ABC.因为AC二平面ABC,所以AC_CC.又因为AJBC,CCu平面BCCB,BC 二平面BCC,B,BCQCq=C,所以AC 一平面BCQBi.又因为BCu平面BCC;B：,所以B】C_AC.因为BC=CC,所以矩形BCCB是正方形，因此BC_BC.因为AC,B】Cu平面BAC,ACCB1C=C,所以BC 一平面B】AC.又因为ABi u平面BAC,所以Bq _ AB1.考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路 的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为。，4,山区边界曲线为。，计划修建的公路为/，如图 所示，必N为。的两个端点，测得点到。的距离分别为5千米和40千米，点N到0A的距离分别为 20千米和2.5千米，以/A所在的直线分别为 P轴，建立平面直角坐标系X。假设曲线。符合函数 y=（其中a，6为常数）模型.一 I L0 I、x（1）求a,b的值；（2）设公路，与曲线。相切于尸点，尸的横坐标为方.请写出公路/长度的函数解析式/（1）,并写出其定义域；当力为何值时，公路/的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）a=1000/=0;（2）/=冷T717,定义域为5,20,/=10&J.=156千米【解析】试题分析：（1）由题意得函数J=过点（5T0），Q0.23,列方程组就可解出力2的值（2）求公路 X*+，长度的函数解析式/I，就是求出直线，与x,y轴交点，再利用两点间距离公式计算即可，关键是利用导数几何意义求出直线J方程,再根据M,N为C的两个端点的限制条件得定义域为也20对函数解析式fl门解析式根式内部分单独求导求最值，注意列表说明函数变化趋势.试题解析：（1）由题意知，点M,、的坐标分别为15401,门025）.将其分别代入尸号，得.I=40|25+ba _、.400+?-解得a=10005=0（2）由（1）知，丁=岑9（5 x 20）,则点P的坐标为1/,岑9设在点P处的切线/交工,y轴分别于A，B点，y =一驾5,x1000 2000 z、3，3000、贝打的方程为i,一坐=一半 xt，由此得，B 0：号.故，T”半一尸纥屋期设g(n=M+土上二 则/=2竺孚1.令/=。，解得y io JL当然5o JT|时，/0,g是噌函数.从而，当=10/时，函数g il l有极小值，也是最小值，所以jm=300,此时/()0=1S/L答:当r=100时，公路，的长度最短，最矩长度为15/千米.考点：利用导数求函数最值，导数几何意义18.(本小题满分16分)丫2 2 万如图，在平面直角坐标,系x Oy中，已知椭圆/+齐=l(a h 0)的离心率为三，且右焦点夕到左准线1的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过厂的直线与椭圆交于4 8两点,线段四的垂直平分线分别交直线/和居于点R C,若PO2AB,求直线/月的方程.【答案】（1）+y2=l（2）y=x 1 或y=x+1.-2【解析】试题分析：（1）求椭图标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为立，二是右焦点F到左雌1的距离为3,解方程组即得（2）因为直线AB过F,所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关建就是 根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.苜先利用直线方程与帏圆方程联立方程组，解出 AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P 点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，利用PC=2AB解出直线AB斜率,写H直线AB方程.试题解析：（1）由题意，得=正且c+=3，a 2 c解得 a 2，c=1,贝ij 5=1,所以椭圆的标准方程为+v:=l.（2）当AB_L%轴时，AB=0，又CP=3,不合题意.当AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为丁=左（-1），A（%,y）,B（x2,y2）,将AB的方程代入椭圆方程，得（1+2/b2-4入+2（尸-1）=0,C的坐标为2k之J+2F且AB=J(%2X)2=)若左=0,则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意.从而心。，故直线PC的方程为y+藤1T 2公 工1+2#，则P点的坐标为2,53+2Z0+2 左 2),2(3/+1)&+左 2，从而PC=)八 k(l+2k2)因为PC=2AB,所以2(3k2+1)Jl+充 472(1+左2)网(1+2-)1+2F解得左=1.此时直线AB方程为丁=%-1或y=-x+L考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系19.(本小题满分16分)已知函数 J(x)=x3+ax2+b(a,b g R).(1)试讨论/(x)的单调性；(2)若匕=c a(实数c是a与无关的常数)，当函数/(%)有三个不同的零点时，a3 3的取值范围恰好是(-oo,-3)U(1,)U(1m)，求c的值.【答案】当4=0时，/(%)在(8,+8)上单调递增；当0时，f(a:)/i-f 00,-,(0,+8)上单调递增，在：(-上单调递减；当。0：上/一二-。01一。0以及。：。：一。一。0解集情况，令g(a)=1/-c-a,则当仪=-3时g(-3)WC且当a=(时g()2。，因此确定c=l,然后再利用函数因式分解验证满足题意 试题解析：/*(1=3x:+2a v,令f(x)=0,解得苴=0,七=一三1.当a=0时，因为门的=3/0(1会 0),所以函数门可在(一二+划上单调递噌；当 a 0 时，=廿一二一二；U(0：+x i 时，/(x|0,xe:0 Bj,/fx)0,3)1 3 J所以函数fl x l在 血+x i上单调递鲁 在:-：0；上单调递减：I“IJ当 a 0,x w；0q；时，/(x)0,a 0零点等价于八01/-1；二二a 15；v0,从而4:.八或二.4:.3)27)：-a b ；0 d 0 时，-a+c 0或当 a v 0 时，a-a+c 0.设g l a uqa-a+j因为函数fl x!有三个零点时，a的取值范围恰好是I-x:-31 L丁1 一X i 则在 一工3!上g a 0均恒成立,从而g i-31=c-1 0,且g i=c-1 0,因此c=l.此时，/(x l=+ax+l-i?=1 x+l l fx*+1 7-l l x+l-d f I,因函数有三个零点，则/+1 a-11工+1-a=0有两个异于-1的不等实根，所以 A=ia-ir-4|l-a i=a*+2a-30 且 i-1一 a-l i+1-a；=0,/c ，c解得 a (X.-3)Uj 1：IU ：+x；.综上c=1.考点：利用导数求函数单调性、极值、函数零点20.(本小题满分16分)设4,%,名,%是各项为正数且公差为d(d W 0)的等差数列(1)证明：2q，2%2%,2%依次成等比数列;(2)是否存在4,d,使得依次成等比数列，并说明理由；.(3)是否存在4d及正整数次，使得4,4片,川+2,d+3&依次成等比数列，并说明理由.【答案】(1)详见解析(2)不存在(3)不存在【解析】试题分析：(1)根据等比数列定义只需喊证每一项与前一项的比值都为同一个不为零的常数即可(2)本题列式蔺单，变形较难，首先令2=色将二元问题转化为一元，再分别求解两个高次方程，利用消最高次的方法得到方程：7r-4r+3=0,无解，所以不存在(3)同(2)先令r=色将二元问题转化为一元，为降次,所以两边取对数，消去n,k得到关于t的一元方程41n(l+3r)l n(l+r)-l n(l+3r)l n(l+2r)-31ii(l+2r)h i(l+r)=0,从而将方程的解转化为研究函数g(r)=4 h i(l+3r)l ii(l+r)-l n(l+3r)l n(l+2r)-3l n(l+2r)l n(l+r)零点情况，这个函数需要利用二次求导 才可确定其在(Q+g)上无零点试题解析：(1)证明：因为=/=1,2，3)是同一个常数，所以甘，平，三，依次构成等比数列.(2)令 4+d=a,则%,%,，%分别为 4一，a,a+d,a+2d(.a d,a -Id,d wO).假设存在q,d,使得q,al，a：,依次构成等比数列，则/=(a-d)(a+d)3,且(a+d)，=/./1令才=7，则 1=(17)(1+。3,且(1+)=0+2。4/w(),化简得r+2产2=0(*),且=，+l.将r=，+1代入(*)式，%(1+1)+2(1+1)2=，2+3/=，+1+3/=4,+1=0,则，=.显然,=-5不是上面方程得解，矛盾，所似假设不成立，因此不存在,d,使得,al，Q：依次构成等比数列.(3)假设存在q,d及正整数，左，使得，犬,球2k,苗+30衣次构成等比数列，则(4+2d)*2k=3+d)2(n+k),且(q+d)n+k(q+3d)=+24户”.分别在两个等式的两边同除以Q；(M)及5+2”并令=4._，(),则(1+2%)内=(1+炉旬，且(1+广(1+3)应=(1+2.产2)将上述两个等式两边取对数，得色+2左)l n(l+2，)=2(+左)l n(l+。，且(+4)111(1+，)+(+34)l n(1+3，)=2(+2Z)l n(l+2。.化简得 2女in(1+2。-In(1+/)=n 21n(l+z)-l n(l+2z),且 3A l n(l+3t)-l n(l+l)=n3 In(1+Z)-In(1+3/1).再将这两式相除，化简得l n(l+3/)l n(l+2，)+31n(l+2，)l n(l+/)=41n(l+3/)l n(l+。(*).令 g a)=41n(l+3，)l n(l+l n(l+301n(l+231n(l+2，)l n(l+,2F(l+3r)2l n(l+3r)-3(l+2r)2 l n(l+2r)+3(l+r)2 l n(l+r)则女=!=-=!.&U(l+r)(l+2r)(l+30令夕(。=(1+3。2 1n(1+3。-3(l+202 1n(l+20+3(l+02in(l+。，贝|江(。=6(1+3。111(1+3。-2(1+2。111(1+2。+(1+。111(1+。.令夕i(。=夕,则 0：(。=63111(1+304111(1+20+111(1+。.12令3(0=。：”)，贝饱=两两两5由9(。)=(。)=。1(。)=。2(。)=。，d0,知夕2”)，外，。，且(。在卜;，。)和(。,+8)上均单调.故g(。只有唯一零点/二()，即方程(*)只有唯一解r=0,故假设不成立.所以不存在4，d及正整数九，%,使得4，球k,ak,片+3,衣次构成等比数列.考点：等差、等比数列的定义及性质，函数与方程附加题21.A（选修41：几何证明选讲）如图，在ZVLBC中，AB=AC,AABC的外接圆圆。的弦A石交3C于点求证：AABDsAAEBA（第21-A题）.【答案】详见解析【解析】试题分析：利用等弦对等角，同弧对等角，得到乙又公共角nA一,所以两三角形相似试题解析：因为AB=AC,所以NABD=NC.又因为 N C=Z.E,所以 Z.ABD=ZE，又NBAE为公共角，可知AABDsaaeb.考点：三角形相似21.B（选修42：矩阵与变换）1-I 1已知向量。二 是矩阵A二 C的属性特征值2的一个特征向量，矩阵A以及它的另一_-iJ|_y 0个特征值.1 1【答案】A=2 0，另一个特征值为【解析】试题分析：由矩阵特征值与特征向量可列出关于X,y的方程组，再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值X 1试题解析：由已知，得Aa=2。，即 八y 0.r i 2则x-l=-20，即y=2x=-lc，所以矩阵人二 y=2-1 12 0从而矩阵A的特征多项式/(X)=(X+2)(/l 1),所以矩阵A的另一个特征值为1.考点：矩阵运算，特征值与特征向量21.C(选修44：坐标系与参数方程)已知圆C的极坐标方程为夕2+2血夕sin(e?)4=0,求圆C的半径.【答案】V6【解析】试题分析：先根据p*=X*+y=psin 6zx=pc o s6将扇C的极坐标方程化成直角坐标方程，再根据圆 的标准方程得到其半径.试题解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点0,以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系a；圆C的极坐标方程为。：+二石口 化简，得。一+22sin 6-22c o s6-4=0.则圆C的直角坐标方程为父2x-4=0,即I x-+(j+l=6,所以圆C的半径为.考点：圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化2