2017-2018学年北师大版数学必修4课时作业：14数乘向量-Word版含解析.doc

(完整版)2017-2018学年北师大版数学必修4课时作业：14数乘向量 Word版含解析
课时作业14　数乘向量
｜基础巩固|（25分钟，60分）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．下列计算正确的个数是（　　）
（1)0a＝0；
(2)a＋0＝a；
（3）(2a＋b）－（a－b）＝a.
A．0　　 B．1
C．2 D．3
解析：(1)错，0a＝0，(2)对，（3）错，根据向量的运算可得（2a＋b）－（a－b)＝a＋2b。
答案：B
2．已知向量a，b是两个不共线的向量,且向量ma－3b与a＋（2－m）b共线，则实数m的值为(　　)
A．－1或3 B.
C．－1或4 D．3或4
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量,所以m＝，解得m＝－1或m＝3。
答案:A
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则(　　）
A.＝2 B。＝
C.＝3 D．2＝
解析：因为D是BC的中点，所以＋＝2，所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝。
答案：B
4．设a，b不共线，＝a＋kb,＝ma＋b（k,m∈R）,则A，B，C三点共线时有(　　）
A．k＝m B．km－1＝0
C．km＋1＝0 D．k＋m＝0
解析：若A，B,C三点共线,则与共线,
∴存在唯一实数λ，使＝λ，即a＋kb＝λ(ma＋b），即a＋kb＝λma＋λb,∴
∴km＝1，即km－1＝0。
答案：B
5．在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点,AE的延长线交DC于点F，若＝a,＝b，则＝（　　）
A.a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析：由已知条件可知BE＝3DE，所以DF＝AB，所以＝＋＝＋＝a＋b。
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若3(x＋a）＋2（x－2a）－4(x－a＋b）＝0，则x＝________.
解析:由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0所以x＝4b－3a.
答案:4b－3a
7．已知＝＋.设＝λ,那么实数λ的值是________．
解析：∵＝λ，∴－＝λ（－)，即＝λ＋（1－λ)，又∵＝＋，∴λ＝.
答案：
8．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.
解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
所以ka＋2b＝λ（8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(因为方向相反,所以λ<0⇒k<0)．
答案:－4
三、解答题(每小题10分，共20分）
9．计算
(1）（a＋2b）＋（3a－2b）－(a－b）;
(2）－。
解析：(1)原式＝a＋b
＝a＋b。
（2)原式＝－
＝a＋b－a－b＝0。
10．已知O，A，M，B为平面上四点,且＝λ＋（1－λ）（λ∈R，λ≠1，λ≠0)．
（1)求证：A,B，M三点共线．
(2）若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
解析:（1)因为＝λ＋（1－λ)，所以＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，即＝λ，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且，有公共点A，所以A，B，M三点共线．
(2）由（1)知＝λ，若点B在线段AM上,
则，同向且|｜>｜|(如图所示），所以λ〉1.

｜能力提升|(20分钟，40分）
11．已知a,b是两个不共线的向量，＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R），若A，B，C三点共线,则（　　）
A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＋1＝0 D．λ1λ2－1＝0
解析：若A，B，C三点共线，则,共线，所以存在实数λ,使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b），即(1－λλ1）a＋(λ2－λ）b＝0，由于a，b不共线，所以1＝λλ1且λ2＝λ,消去λ得λ1λ2＝1。
答案：D

12．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R），则m－n＝________.
解析：直接利用向量共线定理，得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－,n＝，那么m－n＝－－＝－2。
答案:－2
13．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f。
（1）用e、f表示；
（2)证明：四边形ABCD为梯形．
解析：（1）＝＋＋＝(e＋2f）＋(－4e－f)＋(－5e－3f）＝（1－4－5)e＋（2－1－3)f＝－8e－2f。
（2)证明:因为＝－8e－2f＝2（－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的长度为的长度的2倍,即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC,所以四边形ABCD是梯形．

14．如图所示,在△ABC中，点D是边BC的中点，A，D，E三点共线,求证:存在一个实数λ，使得＝λ（＋)．
证明：由向量加法的平行四边形法则可知＝(＋)．
因为A，D，E三点共线,
所以可设＝μ，
则＝(＋）．
令λ＝，可得＝λ(＋)．
所以，存在一个实数λ，使得＝λ（＋)．