2与四面体的一组对棱均平行的截面四边形的周长及面积的取值范围.doc

§8.2 与四面体的一组对棱均平行的截面四边形的周长及面积的取值范围
题目 (北京市西城区2015届高三第一学期期末文科数学练习第8题)如图1所示，在空间四边形中，两条对角线互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边分别相交于点，记四边形的面积为y，设，则( )
A.函数的值域为 B.函数的最大值为8
C.函数在上单调递减 D.函数满足

图1
解 D.由平面，可得.同理有，所以.
同理有，所以可得平行四边形.
再由，可得矩形.
由，可得.
同理可得.
所以四边形的面积为

进而可得答案.
下面再来解答该题的一般情形——与四面体的一组对棱均平行的截面四边形的周长及面积的取值范围：
问题 如图2所示，在四面体中，，异面直线所成角的大小为已知)，截面平行于对棱和，求该截面周长、面积的取值范围.

图2
解 可得，所以.同理，所以得平行四边形.
设，得，所以.
得，所以截面的周长为即，进而可得其取值范围为：当时，取值范围为，当时，取值范围为.
由均值不等式得：当且仅当即分别是所在棱的中点时取到最大值也即取到最大值.
可得截面的面积为，所以，当且仅当分别是所在棱的中点时截面的面积取到最大值.进而可得该截面面积的取值范围是.