二面角习题及答案.doc

(完整版)二面角习题及答案
二面角
D
P
C
A
B
1.如图三棱锥 P—ABC中，PC⊥平面ABC,PC = ，D是 BC的中点，且△ADC是边长为 2的正三角形，求二面角 P—AB－C的大小。
解

E
D
B
A
S
C
2。如图在三棱锥 S—ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分SC,且分别交 AC、SC于D、E,又SA =AB，BS =BC, 求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数.
解：

3. 如图:ABCD是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O点,P是平面 ABCD外一点,PO⊥面ABCD，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD—C 大小。
S
R
N
M
O
B
D
P
A
C
解：

D
B
A
E
C
4.如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，∠ABC =∠DBC =，求二面角 A-BD-C的余弦值。
解:

5。已知正方体 AC’，M、N分别是BB’，DD'的中点，求截面 AMC’N与面ABCD,CC’D’D所成的角.
D’
B’
D
A
C’
B
A’
C
M
N
解：

B
F
E
A
C
D
6.如图 AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角的大小。
解：

7. 三棱锥 A-BCD中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。
D
O
A
B
C
解：

9。 如图所示,四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E是PA的中点。
(1）求证平面BDE⊥平面ABCD。（2）求点E到平面PBC的距离。（3）求二面角A—EB—D的平面角大小。
解析:
10。 如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别在棱AB、BC上,G在对角线BD1上，且AE＝，BF＝，D1G∶GB＝1∶2,求平面EFG与底面ABCD所成的二面角的大小.

11. 如图,设ABC—A1B1C1是直三棱柱,E、F分别为AB、A1B1的中点,且AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝a.
（1）求证：AF⊥A1C
(2)求二面角C-AF—B的大小

12．如图是长方体,AB=2，，求二平面与所成二面角的大小．

13。 在正方体中，，，且，.．求：平面AKM与ABCD所成角的大小．

14. 如图，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角．
　　（1）若二面角是直二面角，求的长;
　　(2)求与平面所成的角；
　　(3）若二面角的平面角为120°，求二面角的平面角的正切值．

参考答案
D
P
C
A
B
解：由已知条件,D是BC的中点
∴ CD =BD =2 又△ADC是正三角形
∴ AD =CD =BD =2
∴ D是△ABC之外心又在BC上
∴ △ABC是以∠BAC为直角的三角形,
∴ AB⊥AC， 又 PC⊥面ABC
∴ PA⊥AB (三垂线定理）
∴∠PAC即为二面角 P-AB—C之平面角，
易求 ∠PAC =30°
E
D
B
A
S
C
2、解：∵ BS =BC,又DE垂直平分SC
∴ BE⊥SC，SC⊥面BDE
∴ BD⊥SC,又SA⊥面ABC
∴ SA⊥BD，BD⊥面SAC
∴ BD⊥DE,且BD⊥DC
则 ∠EDC就是所要求的平面角
设 SA =AB =a，
则 BC =SB =a 且 AC =
易证 △SAC∽△DEC
∴ ∠CDE =∠SAC =60°
3、S
R
N
M
O
B
D
P
A
C
解：取OC之中点N，则 MN∥PO
∵ PO⊥面ABCD
∴ MN⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2，
过 N 作 NR⊥BD 于 R，连MR，
则 ∠MRN即为二面角 M-BD-C的平面角
过 C 作 CE⊥BD于S
则 RN =CE 在 Rt△BCD中，CD·BC =BD·CE
∴
∴
∴
4. 解：过 A作 AE⊥CB的延长线于E， 连结 DE，
∵ 面ABC⊥面BCD
∴ AE⊥面BCD
∴ E点即为点A在面BCD内的射影
∴ △EBD为△ABD在面BCD内的射影 设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=
∴ AD = ,
∴ sin∠ABD =
∴ 又
∴
∴
5. D’
B’
D
A
C’
B
A’
C
M
N
解:设边长为a，易证 ANC'N是菱形
且MN =，A’C =
∴Ｓ□AMC’N =
由于AMC'N在面ABCD上的射影即
为正方形ABCD
∴ Ｓ□ABCD =
∴
∴
取CC'的中点M'，连结DM'
则平行四边形DM'C'N是四边形AMC'N在CC'D'D上的射影，
Ｓ□DM’C’M =
∴
∴
6。 B
F
E
A
C
D
解:作DF⊥AB于F，CE⊥AB于E，
∵ AC =CD =1 ∠ABC =30°
∴ AD =，BC = ,
AB =2， BD =
在Rt△ABC中，
，
同理
∴
∴
∴
∴
即所求角的大小为。
D
O
A
B
C
7、解：由已知条件∠BAC =90°，AB =AC，
设BC的中点设为O,则OA =OC =
BC =

∴
解之得：

∴
9、解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO。
∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点，
∵E是PA的中点，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD。
(2)EO∥PC，PC平面PBC,
∴EO∥平面PBC,于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离。
作OF⊥BC于F,
∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离。
由条件可知，OB＝,OF＝×＝a，则点E到平面PBC的距离为a.
(3）过O作OG⊥EB于G，连接AG ∵OE⊥AC，BD⊥AC ∴AC⊥平面BDE
∴AG⊥EB（三垂线定理） ∴∠AGO是二面角A—EB—D的平面角
∵OE＝PC＝a,OB＝a ∴EB＝a.∴OG＝＝a 又AO＝a.
∴tan∠AGO＝＝∴∠AGO＝arctan。
评析 本题考查了面面垂直判定与性质,以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用。
10、设G在底面ABCD上的射影为H，H∈BD，
∵＝＝
∴GH＝

作HM⊥EF于M，连GM，由三垂线定理知GM⊥EF，则∠GMH＝θ就是平面BFG与底面ABCD所成的二面角的平面角，tanθ＝。
下面求HM的值.
建立如图所示的直角坐标系，据题设可知.
H（,）、E(,0）、F（1，)

∴直线EF的方程为
＝，
即 4x-6y—1＝0。
由点到直线的距离公式可得
|HM｜＝＝，
∴tgθ＝·＝，θ＝arctg.
说明 运用解析法来求HM的值是本例的巧妙所在。
11、分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识.
解 （1）∵AC＝BC，E为AB中点,∴CE⊥AB
又∵ABC-A1B1C1为直棱柱，∴CE⊥面AA1BB
连结EF,由于AB＝2AA1
∴AA1FE为正方形
∴AF⊥A1E,从而AF⊥A1C
（2）设AF与A1E交于O，连结CO，由于AF⊥A1E，知AF⊥面CEA1
∴∠COE即为二面角C—AF—B的平面角
∵AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝a
∴CE＝a,OE＝a,∴tan∠COE＝＝2.
∴二面角C-AF—B的大小是arctan2.
12、解析：∵　平面ABCD∥平面,∴　平面与平面的交线l为过点且平行于AC的直线．直线l就是二平面与所成二面角的棱．又⊥平面，过作AH⊥l于H，连结AH．则为二面角的平面角．可求得．因此所求角的大小为或
14、解析：　　　（1)若,∵　AC=a,∴　，∴　．
　　　(2）∵　，AD⊥DC，∴　AD⊥平面．∴　为与平面所成的角，在Rt△中，，∴　，于是
．
　　　(3)取的中点E，连结AE、DE,∵　，，∴　，，∴　∠AED为二面角的平面角，∵　，，∴　，在Rt△AED中，，∴　

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