大一-高等数学函数-PPT.ppt

广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学.通常大学里非数学专业开设的高等数学课程包括通常大学里非数学专业开设的高等数学课程包括微微积分学积分学，概率论与数理统计，线性代数等。，概率论与数理统计，线性代数等。另外，我们这里也把微积分称为高等数学（另外，我们这里也把微积分称为高等数学（B).什么是高等数学?微积分是近代数学中最伟大的成就微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分要性无论做怎样的估计都不会过分.初等数学研究的是常量，高等数学研究的是变量。初等数学研究的是常量，高等数学研究的是变量。高等数学有其固有的特点高等数学有其固有的特点：高度的抽象性、严密的逻辑高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。性和广泛的应用性。抽象性是数学最基本、最显著的特点抽象性是数学最基本、最显著的特点有了高度抽象和有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。遵循思维的规律。初等数学与高等数学（广义）的区别初等数学与高等数学（广义）的区别 另外，人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用另外，人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。因此，学好高等数学对我们来说相当重要。学领域。因此，学好高等数学对我们来说相当重要。所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。维训练的过程。首先，理解概念。数学中有很多概念。概念反映的首先，理解概念。数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。才能真正地理解一个概念。要想学好高等数学，至少要做到以下四点要想学好高等数学，至少要做到以下四点:其次，掌握定理。定理是一个正确的命题，分为条其次，掌握定理。定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。第三第三,在弄懂例题的基础上做适量的习题。要特别提醒的在弄懂例题的基础上做适量的习题。要特别提醒的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法，在理解例题的基础定理，要注意不同例题的特点和解法，在理解例题的基础上做适量的习题。做题时要善于总结上做适量的习题。做题时要善于总结-不仅总结方法，也要总结错误。这样，做完之后才会不仅总结方法，也要总结错误。这样，做完之后才会有所收获，才能举一反三。有所收获，才能举一反三。第四，理清脉络。对所学的知识要有一个整体的把第四，理清脉络。对所学的知识要有一个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。理解，还会对进一步的学习有所帮助。微积分是近代数学发展的里程碑微积分是近代数学发展的里程碑微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。它给出的一整套科学方法，开创了科学的新纪它给出的一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。元，并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说恩格斯说:“在一切理论成就中，未必再有什么像在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。”微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。函数是微积分研究的函数是微积分研究的 对象对象,所以我们的讨论将从函数开所以我们的讨论将从函数开始。始。极限的思想是微积分的基础，极限的思想是微积分的基础，一步就是要理解到一步就是要理解到“极限极限”引入的必要性：引入的必要性：学习微积分学，首要的学习微积分学，首要的 极限思想贯穿整个微积分的始终，极限思想的把握关系极限思想贯穿整个微积分的始终，极限思想的把握关系到对微积分思想的确立，微积分理论的掌握和运用，以及到对微积分思想的确立，微积分理论的掌握和运用，以及数学思维的建立数学思维的建立。第一节第一节 函数的概念及其基本性质函数的概念及其基本性质第二节第二节 初等函数初等函数第三节第三节 经济学中常见的函数经济学中常见的函数 若若a属属于于集集合合A的的元元素素，则则称称a属属于于A，记记作作 ;否否则则称称a不属于不属于A,记作记作 （或（或 ）。）。第一节第一节 函数的概念及其基本性质函数的概念及其基本性质 含含有有限限元元素素的的集集合合称称为为有有限限集集，不不含含任任何何元元素素的的集集合合称称为为空空集集；用用表表示示空空集集。不不是是有有限限集集也也不不是是空空集集的的集集合合称称为无限集。为无限集。一一.集合及其运算集合及其运算集合：具有某种确定性质的对象的全体，简称集。集合：具有某种确定性质的对象的全体，简称集。集合的元素：组成集合的各个对象。集合的元素：组成集合的各个对象。用用大大写写的的英英文文字字母母A、B、C表表示示集集合合，用用小小写写的的英文字母英文字母a、b、c表示集合的元素。表示集合的元素。表示集合的方法表示集合的方法:(1)列举法列举法将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内；将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内；(2)描述法描述法在花括号内指明集合元素所具有的性质。在花括号内指明集合元素所具有的性质。一一般般，用用N表表示示自自然然数数集集，用用Z表表示示整整数数集集，用用Q表表示示有理数集，用有理数集，用R表示实数集表示实数集子集子集设设A，B是两个集合，若是两个集合，若A的每个元素都是的每个元素都是B的元素，的元素，则称则称A是是B的子集，记作的子集，记作A B(或或B A),读作读作A包包含于含于B包含（或包含（或B包含包含A）.若若A B，且有元素，且有元素aB，但，但a A，则说，则说A是是B的真的真子集子集.规定规定:A.相等相等若若A B，且，且B A，则称，则称A与与B相等相等,记作记作A=B.并集并集由属于由属于A或属于或属于B的所有元素组成的集合的所有元素组成的集合称为称为A与与B的并集记作的并集记作A B，即，即 AB=x|xA或或xB交集交集由由同同时时属属于于A与与B的的元元素素组组成成的的集集称称为为A与与B的的交交集集，记记作作AB，即，即AB=x|xA且且xB差集差集由由属属于于A但但不不属属于于B的的元元素素组组成成的的集集称称为为A与与B的差集，记作的差集，记作AB 即即(1)AB=B A，AB=BA；(交换律交换律)(2)(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；(结合律结合律)(3)(AB)C=(AC)(BC)，(AB)C=(AC)(BC)，(A-B)C=(AC)-(BC)；(分配律分配律)(4)集合运算的基本规律：集合运算的基本规律：二二.区间与邻域区间与邻域 设设a和和b都都是是实实数数，将将满满足足不不等等式式axb的的所所有有实实数数组组成的数集称为开区间，记作成的数集称为开区间，记作(a,b)即即(a,b)=x|axb,a和和b称为开区间称为开区间(a,b)的端点的端点,这里这里a (a,b)且且b (a,b).数集数集 a,b=x|axb为闭区间为闭区间,a和和b也称为闭区间也称为闭区间a,b的端点的端点,aa,b且且ba,b.数集数集a,b)=x|axb和和(a,b=x|axb为半开半闭间为半开半闭间.以上这些区间都称为有限区间以上这些区间都称为有限区间,数数b-a称为区间长度称为区间长度.无限区间无限区间三三.映射定义映射定义 定义定义 设设A和和B是两个非空集合，若存在一个确定的规则是两个非空集合，若存在一个确定的规则f，使使数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值一切实数值.要使数学式子有意义，要使数学式子有意义，x必须满足必须满足因此函数的定义域为因此函数的定义域为(1,2例例1解解例例2 2解解故故函数的图形函数的图形:例例1 设函数设函数 ,求求f-1(x+1).令令 u=x+l 则则解解,例例2 求下列函数的反函求下列函数的反函 数数 f(x)=,当当-1x0时，由时，由y=得得 x=当当 时，由时，由y=x2+1得得x=交换交换x,y的位置，得反函数的位置，得反函数，y1于是，有于是，有解解定义定义:七七.复合函数复合函数注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成构成.例例 设设f(x)，(x)求复合函数求复合函数f(x)和和(f(x)f(x)(f(x)解解 五五.函数的基本性质函数的基本性质1.单调性单调性定定义义3 设设函函数数f(x)的的定定义义域域为为D，区区间间I D,对对于于任任意意的的x1，x2I，且，且 x1x2，(1)若有若有f(x1)f(x2),则称则称f在在D内是单调减少的；内是单调减少的；(3)若有若有f(x1)f(x2),则称则称f在在D内是不减的内是不减的;(4)若有若有f(x1)f(x2),则称则称f在在D内是不增的内是不增的.函函数数的的单单调调增增加加和和单单调调减减少少统统称称为为单单调调,区区间间I称称为为f的的单单调调区区间间.注：注：I可以是开区间或闭区间，也可以是半开半闭区间可以是开区间或闭区间，也可以是半开半闭区间.2.奇偶性奇偶性奇函数的图形关奇函数的图形关于原点对称于原点对称,而偶而偶函数的图形关于函数的图形关于y轴对称轴对称 定定义义4 设设函函数数f(x)的的定定义义域域D关关于于原原点点对对称称(即即若若xD,则则-xD),对于任意的对于任意的xD，(1)若有若有f(-x)=-f(x),则称则称f为为D内的奇函数；内的奇函数；(2)若有若有f(-x)=f(x)，则称，则称f为为D内的偶函数内的偶函数例例 讨论函数讨论函数 的奇偶性的奇偶性.所以所以f(x)是（是（,+）上的奇函数）上的奇函数.函数函数f(x)的定义域（的定义域（,+）是对称区间，）是对称区间，解解3.有界性有界性定定义义5 设设函函数数f的的定定义义域域为为D，区区间间 I D,如如果果存存在正数在正数M，使得对任意的，使得对任意的xI，都有，都有 f(x)成立成立,则称则称f在在I内是有界的内是有界的,否则称否则称f在在I内是无界的内是无界的.定定义义6 设设函函数数f(x)在在D内内有有定定义义，若若存存在在数数M，使使得对任意的得对任意的xD，都有，都有f(x)M(或或f(x)M)成立成立,则称则称f(x)在在D内有上界内有上界(或有下界或有下界).例例如如:函函数数y=sinx在在其其定定义义域域(-,+)内内是是有有界界的的，因为对任一因为对任一x(-,+)都有都有|sinx|1.函数函数 在在(0,1)内无上界，但有下界内无上界，但有下界 函数有界的几何意义函数有界的几何意义：设设y=f(x)在区间在区间(a,b)内有界，即存内有界，即存在在M0，使得对任意的，使得对任意的x (a,b),有有 f(x)M,即即-M f(x)M.因此因此,y=f(x)在在(a,b)内内有界在几何上表示有界在几何上表示y=f(x)在区间在区间(a,b)内内的函数图形必夹在两平行于的函数图形必夹在两平行于x轴的直线轴的直线y=M之间之间.反之亦然反之亦然.4.周期性周期性例如例如,函数函数f(x)=sinx的周期为的周期为2;f(x)=tanx的周期是的周期是.显然，若显然，若T为为f的周期，则的周期，则kT(kZ)都是都是f的周期通常函数的周期通常函数的周期是指它的最小正周期的周期是指它的最小正周期(如果存在的话如果存在的话)定定义义7 设设函函数数f的的定定义义域域为为D,若若存存在在常常数数T0,使使得得对对任任意意的的xD,有有xTD,且且f(x+T)=f(x),则则称称f为为周周期期函函数数,T称为称为f的周期的周期思考题思考题1.思考题解答思考题解答设设则则故故1.2、；3、4、5、-1,1;,.6.不存在反函数不存在反函数.第二节第二节 初等函数初等函数一、基本初等函数一、基本初等函数1.常值函数：常值函数：定义域为定义域为(-,+).函数图形为平行于函数图形为平行于x轴的直线轴的直线.y=C,其中其中C为常数为常数2.幂函数幂函数:定定义义域域和和值值域域因因 的的取取值值不不同同而而有有所所不不同同，但但无论无论 为何值为何值,函数在函数在(0,+)内总是有定义的内总是有定义的.其其定定义义域域是是(,+),值值域域为为 图图象象通通过过点点(0,1),且总在且总在x轴上方轴上方.当当a1时时,函数是单调增加的；函数是单调增加的；当当0a1时，函数单调增加；时，函数单调增加；当当0a0,a1)并且由直接函数与反函数的关系可知：并且由直接函数与反函数的关系可知：科学技术中常用以科学技术中常用以e为底的对数函数为底的对数函数y=logex,它被称为自然对数函数，简记作它被称为自然对数函数，简记作 y=lnx5三角函数三角函数常用的三角函数有常用的三角函数有正弦函数正弦函数 y=sinx;余弦函数余弦函数 y=cosx;正切函数正切函数 y=tanx；余切函数余切函数 y=cotx;正割函数正割函数y=secx；余割函数余割函数y=cscx.其中自变量以弧度作单位来表示其中自变量以弧度作单位来表示正正弦弦函函数数和和余余弦弦函函数数都都是是以以2 为为周周期期的的周周期期函函数数，它它们们的的定定义义域域都都为为(-,+),值值域域都都为为-1,1正正弦弦函函数数是是奇奇函数，余弦函数是偶函数函数，余弦函数是偶函数正切函数正切函数 的定义域为的定义域为余切函数余切函数 的定义域为的定义域为正切函数和余切函数的值域都是正切函数和余切函数的值域都是(,+),且它们都且它们都是以是以 为周期的函数，它们都是奇函数为周期的函数，它们都是奇函数.正割函数正割函数y=secx;余割函数余割函数y=cscx.6.反三角函数反三角函数 反反三三角角函函数数是是各各三三角角函函数数在在其其特特定定的的单单调调区区间间上的反函数上的反函数.(1)反反正正弦弦函函数数y=arcsinx，它它是是正正弦弦函函数数y=sinx在在区区间间 上上的的反反函函数数其其定定义义域域为为-1,1值值域域为为 ,为单调增函数。为单调增函数。(2)反余弦函数反余弦函数yarccosx，它，它是余弦是余弦函数函数y=cosx在区间在区间0,上的反函数其上的反函数其定义域为定义域为-1,1,值域为值域为0,.为单调减函为单调减函数。数。(3)反正切函数反正切函数y=arctanx，它，它是正切函数是正切函数y=tanx在区间在区间 内的反函数其定义域为内的反函数其定义域为(,+),值域为值域为 为单调增函数。为单调增函数。(4)反余切函数反余切函数y=arccotx，它，它是余切函数是余切函数y=cotx在区间在区间(0,)内的反函数，其定义域内的反函数，其定义域为为(,+),值域为值域为(0,).为单调减函数为单调减函数二、初等函数二、初等函数 由由基基本本初初等等函函数数经经有有限限次次四四则则运运算算和和有有限限次次复复合合运运算算所所构构成成的的能能用用一一个个解解析析式式表表示示的的函函数数称称为为初初等等函函数，否则称为非初等函数数，否则称为非初等函数几个常见的分段函数几个常见的分段函数:1.符号函数符号函数定义域定义域D=(-,+)，值域，值域R=-1,0,1.是是偶偶函函数数,周周期期函函数数,任任何何有有理理数数都都是是它它的的周周期期，但但没没有有最最小正周期小正周期.狄利克雷函数绝对值函数绝对值函数定义域定义域D=(-,+)，值域，值域R=0,+).4.取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线5.取最值函数取最值函数yxoyxo第三节第三节 经济学中常见的函数经济学中常见的函数一、成本函数一、成本函数固定成本固定成本(FC)：是不取决于产量多少的成本：是不取决于产量多少的成本.可变成本可变成本(VC)：是随产量：是随产量x的增加而增加的成本的增加而增加的成本总成本总成本(TC)：由固定成本和可变成本组成：由固定成本和可变成本组成 对应于总成本、固定成本和可变成本，有相应的平对应于总成本、固定成本和可变成本，有相应的平均成本、平均固定成本和平均可变成本，分别记作均成本、平均固定成本和平均可变成本，分别记作AC、AFC和和AVC.二、收益函数二、收益函数收益收益：厂商销售商品的收入：厂商销售商品的收入.收益分为总收益和平均收益收益分为总收益和平均收益总收益总收益(TR)：是销售量是销售量x与销售单价与销售单价p的乘积的乘积.平均收益平均收益(AR)：是销售单位商品的收益是销售单位商品的收益即即三、三、利润函数利润函数利润是厂商总收益和总成本的差额利润是厂商总收益和总成本的差额,记作记作L,即即 L(x)=TR(x)-TC(x)当当TR(x)TC(x)时时,厂商盈利；厂商盈利；当当TR(x)TC(x)时时,厂商亏损；厂商亏损；当当TR(x)=TC(x)时时,厂商不赔也不赚，厂商不赔也不赚，当产量当产量x0使得使得TR(x0)=TC(x0),即即L(x0)=0时时,称称x0为盈亏平为盈亏平衡点产量衡点产量 四、四、需求函数与供给函数需求函数与供给函数 一一般般降降价价使使需需求求量量增增加加,涨涨价价使使需需求求量量减减少少.若若不不考考虑虑其其它它影影响响需需求求量量的的因因素素(如如消消费费者者收收入入等等),可可以以认认为为需需求求量量Qd是价格是价格p的单调减函数的单调减函数,称为需求函数称为需求函数,记为记为Qd=fd(p)最简单的需求函数是线性需求函数，即最简单的需求函数是线性需求函数，即Qd=a-bp，其中其中a,b均为正常数均为正常数 一一般般涨涨价价使使供供给给量量增增加加，降降价价使使供供给给量量减减少少.从从而而可可以以认为供给量认为供给量Qs是价格是价格p的单调增函数的单调增函数,称之为供给函数称之为供给函数,记为记为Qs=fs(p)最简单的供给函数是线性供给函数最简单的供给函数是线性供给函数,即即Qs=dp-c,其中其中c与与d均为正的常数均为正的常数.若市场上某种商品的供给量与需求量相等，则我们若市场上某种商品的供给量与需求量相等，则我们说这种商品的供需达到了平衡此时该商品的价格称为说这种商品的供需达到了平衡此时该商品的价格称为均衡价格，常用均衡价格，常用pe表示表示 注注 在经济学的消费理论中，需求函数一般写成在经济学的消费理论中，需求函数一般写成Qd=fd(p)的形式，它强调的是既定价格之下的需求量，的形式，它强调的是既定价格之下的需求量，与此相反，在厂商理论中，厂商所面临的需求函数一般与此相反，在厂商理论中，厂商所面临的需求函数一般写成反函数形式，即写成反函数形式，即 P=fd-1(Qd)，它强调的是厂商的销，它强调的是厂商的销售量既定时产品的单价，有时也称它为价格函数售量既定时产品的单价，有时也称它为价格函数例例1 某种产品每台售价某种产品每台售价90元，成本元，成本60元，若顾客一次元，若顾客一次购买购买100台以上，则实行降价，降价方法为；当一次性台以上，则实行降价，降价方法为；当一次性购买量购买量x100时，所买的全部产品每台降价时，所买的全部产品每台降价(元元/台台)，但最低价为，但最低价为75元元/台台(1)试将每台的实际售价试将每台的实际售价p表示为销售量表示为销售量x的函数的函数(2)把利润把利润L表示成一次性销售量表示成一次性销售量x的函数的函数(3)当一次性销售量为当一次性销售量为1000台时，厂家可获多少利润台时，厂家可获多少利润?解解 (1)由题设，当x100时，实际售价p=90，当x100时，实际售价p=90-(x-100)001而90-(x-100)00175，即x1600，故 当100 x1600时，实际售价 p=90-(x-100)001，当x1600时，实际售价p=75 所以，实际售价p与一次性销售量x的函数关系为P=(2)因总收入TR(x)=总成本TC(x)=60 x，因此总利润函数为L(x)=TR(x)-TC(x)=(3)由(2)可知L(1000)=301000-(1000-100)0011000=21000(元)例例2 某种产品每台售价500元时，每月可销售1500台，每台售价降为450元时，每月可增销250台，试求该产品的线性需求函数解解 设所求函数为由题设有解得a=4000,b=5,从而所求需求函数为