第二换元积分法.ppt

第二节第二节 换元积分法换元积分法本节内容提要本节内容提要一一、第一类换元积分法（凑微分法）、第一类换元积分法（凑微分法）二二、第二类换元积分法、第二类换元积分法 教教学学目目的的：使生熟练掌握凑微分法求不定积分、掌握第二类换元积分法中的根式置换法，了解三角置换法求不定积分重点：重点：凑微分法、根式置换法求不定积分难点难点：凑微分法求不定积分教学方法教学方法：启发式教学手段：教学手段：多媒体课件和面授讲解相结合教学课时：教学课时：6课时返回 第二节第二节 换元积分法换元积分法 引例：求 解:错在哪里？一、第一类换元积分法（凑微分法）一、第一类换元积分法（凑微分法）定理1、若 则这种将利用中间变量化为，则可直接（或稍微变形就可）应用基本积分公式求得结果，再将还原成的积分法，称为第一类换元积分法，也叫凑微分法凑微分法。这里将凑微分成du是难点，理解起来较困难，我们这样处理：dx=故例1：求解：设u=2x我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下：、被积函数是一个复合函数被积函数是一个复合函数，与公式作对比，公式中自变量x变成了ax+b的形式，这时设ax+b为中间变量，例2：求解：设 则 在对上述换元法较熟悉后，可不必写出中间变量，心中明白即可，书写格式如下：解：=例3求解：练习：求下列不定积分1、2、3、4、被积函数是两个函数乘积形式被积函数是两个函数乘积形式 1、被积函数中含有两个多项式，其中一个多项式的次数比另一个多项式的次数高一次，设高一次的多项式为中间变量，目的是约去另一个因式。例1、求解：例2、求解：=例3、求解例4、求解：例5、求解：练习：求下列不定积分1、2、3、4、5、2、被被积积函函数数中中，其其中中一一部部分分函函数数“正正好好”是是另另一一部部分分函函数数的的导导数数这里存在导数的那部分函数为中间变量，目的是约去另一个因式。例1求解 例2求 解例3求解 例4求解例5求解例1、例6求解练：求1、2、3、4、5、6、第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效的积分法。首先，必须熟悉基本积分公式，对积分公式应广义地理解，如对公式，应理解为，其中u可以是x的任一可微函数；其次，应熟悉微分运算，针对具体的积分要选准某个基本积分公式，凑微分使其变量一致。（1）(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)常用的凑微分形式有：例：求 解：方法一：方法二：方法三：上例表明，同一个不定积分，选择不同的积分方法，得到的结果形式不同，这是完全正常的，可以用求导验证它们的正确性。使用凑微分法求不定积分，有时还需要先用代数运算、三角变换对被积函数作适当变形才能积分。例1求练习：求 例2求：解：练习：例3求：练习：例4 求：练习：求例5求：练习：求 例6 求：练习：求 例7 求：练习：求 例8 求：练习：求 练习 求 二、第二类换元积分法定理2：设是单调可微函数，且若则：下面通过例题说明第二类换元积分的应用。、被积分函数中含有 类型-根式置换法 例1：求解：设 ,则注意：注意：在最后的结果中必须代入,返回到原积分变量.练习：返回例2求解：被积函数含 、，为了去掉根号，设t=则 x=练习：求例3求解：设则1、被积分函数中含有类型-三角置换法例1 求 解 设则例2、求解 设则为了返回原积分变量，可由作出辅助三角形如图由图可得 其中空例3、求解 设则 与前例相同，为了返回原积分变量，由作出辅助三角形如图由图可得：其中 空第二类换元积分法是基本积分方法之一，使用第二换元积分法的关键在于选择适当的变换，消除被积式中的根号，最常见的形式有：（1）被积函数中含有：设（2）被积函数中含有：设,为、的最小公倍数（3）被积函数中含有：设（4）被积函数中含有：设（5）被积函数中含有：设在作三角替换时，可以利用直角三角形的边角关系确定有关三角函数的关系，以返回原积分变量。本节讲过的一些例子的结论可作为基本积分公式。