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第五章 相交线与平行线
【知识要点】
1.两直线相交
2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
3.对顶角定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。
（1） 对顶角的性质：对顶角相等。
4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。
5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。
6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b是平行线，可记作“a∥b”
7．平行公理及推论
（1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
注：
（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。
（2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c。
8．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。
9．平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）
（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）
（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）
10．平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）
（2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）
（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
补充：
（5）平行的定义；（在同一平面内）
（6）在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行。
考点一：对相关概念的理解
对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等
例1：判断下列说法的正误。
（1） 对顶角相等；
（2） 相等的角是对顶角；
（3） 邻补角互补；
（4） 互补的角是邻补角；
（5） 同位角相等；
（6） 内错角相等；
（7） 同旁内角互补；
（8） 直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；
（9） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（10） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（11） 两直线不相交就平行；
（12） 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
练习：下列说法正确的是（ ）
A、相等的角是对顶角 B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离
C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行
考点二：相关推理（识记）
（1）∵a∥c，b∥c（已知） ∴______ ∥______（ ）
（2）∵∠1=∠2，∠2=∠3（已知） ∴______ =______（ ）
（3）∵∠1+∠2=180°，∠2=30°（已知） ∴∠1=______（ ）
（4）∵∠1+∠2=90°，∠2=22°（已知） ∴∠1=______（ ）
（5）如图（1），∵∠AOC=55°（已知） ∴∠BOD=______（ ）
（6）如图（1），∵∠AOC=55°（已知） ∴∠BOC=______（ ）
（7）如图（1），∵∠AOC=∠AOD，∠AOC+∠AOD=180°（已知）
a
b
1
1
2
3
4
a
b
.
.
.
A
C
B
∴∠BOC=______（ ）
（1） （2） （3） （4）
（8）如图（2），∵a⊥b（已知） ∴∠1=______（ ）
（9）如图（2），∵∠1=______（已知） ∴a⊥b（ ）
（10）如图（3），∵点C为线段AB的中点 ∴AC=______（ ）
(11) 如图（3），∵ AC=BC∴点C为线段AB的中点（ ）
（12）如图（4），∵a∥b（已知） ∴∠1=∠2（ ）
（13）如图（4），∵a∥b（已知） ∴∠1=∠3（ ）
（14）如图（4），∵a∥b（已知） ∴∠1+∠4= （ ）
（15）如图（4），∵∠1=∠2（已知） ∴a∥b（ ）
（16）如图（4），∵∠1=∠3（已知） ∴a∥b（ ）
（17）如图（4），∵∠1+∠4= （已知） ∴a∥b（ ）
考点三：对顶角、邻补角的判断、相关计算
例题1：如图5－1，直线AB、CD相交于点O，对顶角有_________对，它们分别是_________，∠AOD的邻补角是_________。
例题2：如图5－2，直线l1，l2和l3相交构成8个角，已知∠1=∠5，那么，∠5是_________的对顶角，与∠5相等的角有∠1、_________，与∠5互补的角有_________。
例题3：如图5－3，直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOD的平分线，∠BOE=30°，则∠AOE为_________。
图5－1 图5－2 图5－3
考点四：同位角、内错角、同旁内角的识别
例题1：如图2-44，∠1和∠4是AB、 被 所截得的 角，∠3和∠5是 、 被 所截得的 角，∠2和∠5是 、 被 所截得的 角，AC、BC被AB所截得的同旁内角是 .
例题2：如图2-45，AB、DC被BD所截得的内错角是 ，AB、CD被AC所截是的内错角是 ，AD、BC被BD所截得的内错角是 ，AD、BC被AC所截得的内错角是 。
例题3：如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．
考点五：平行线的判定、性质的综合应用（逻辑推理训练）
例题1：如图9,已知DF∥AC,∠C=∠D,要证∠AMB=∠2,请完善证明过程,并在括号内填上相 应依据:
∵DF∥AC(已知),∴∠D=∠1( )
∵∠C=∠D(已知),∴∠1=∠C( )
∴DB∥EC( )
∴∠AMB=∠2( )
A
1
B
C
D
E
F
G
H
例题2：如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠AEF+∠CFE=180°，∠1=∠2，则图中的∠H与∠G相等吗？说明你的理由.
考点六：特殊平行线相关结论
例题1：已知，如图：AB//CD,试探究下列各图形中.
A
B
C
D
P
(1)
A
B
C
D
P
(2)
A
B
C
D
P
(3)
A
B
C
P
(4)
考点七：探究、操作题
例题：（阅读理解题）直线AC∥BD，连结AB，直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连结PA,PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角．）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB =∠PAC +∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB =∠PAC +∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？
（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
练习：
1.（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：
（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；
（2）另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；
（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？
【配套练习】
1、如图，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是____度。
1
A
E
D
C
B
F
2
1
1
2
3
第1题 第2题 第3题 第4题
2．如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）
3．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数等于（ ）
4. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32o，那么∠2的度数是（ ）
5. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的所有角中，与∠2互余的角是 ．
1
2
3
4
5
6
第5题 第6题
6．光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜 AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4。若已知∠1=55°，∠3=75°，那么∠2等于（ ）
8.把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）
A、115° B、120° C、145° D、135
9、如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，如果∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
A、30° B、45° C、40° D、50°
第8题 第9题 第10题 第11题
10、如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为（ ）
A、25° B、30° C、20° D、35°
11、如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于（ ）
A、23° B、16° C、20° D、26°
12、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ）
A、43° B、47° C、30° D、60°
13、如图，已知L1∥L2，MN分别和直线l1、l2交于点A、B，ME分别和直线l1、l2交于点C、D，点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）．
（1）如果点P在A、B两点之间运动时，∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系请说明理由；
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，∠α、∠β、∠γ有何数量关系（只须写出结论）．
17.如图（6），DE⊥AB，EF∥AC，∠A=35°，求∠DEF的度数。
一、填空题
1. 如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1=28°,则∠2＝_______．
第2题
第1题
第3题
第4题
2. 已知直线，，，则 度．
3. 如图，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，∠1＝60°，则∠2＝__度.
第6题
4. 如图，直线MA∥NB，∠A＝70°，∠B＝40°，则∠P＝＿＿＿＿＿.
5. 设、b、c为平面上三条不同直线，
（1） 若，则a与c的位置关系是_________；
（2） 若，则a与c的位置关系是_________；
（3） 若，，则a与c的位置关系是________．
6. 如图，填空：
⑴∵ （已知）∴ （ ）
⑵∵（已知）∴ （ ）
⑶∵（已知）∴ （ ）
二、解答题
7. 如图，与是邻补角，OD、OE分别是与的平分线，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．
8. 如图，已知直线AB与CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠DOE＝3∠COE，求∠BOC的度数．
9. 如图，AB∥DE，那么∠B、∠BCD、∠D有什么关系？
1. 如图，那么点A到BC的距离是_____，点B到AC的距离是_______，点A、B两点的距离是_____，点C到AB的距离是________．
2. 设、b、c为平面上三条不同直线，
a) 若，则a与c的位置关系是_________；
b) 若，则a与c的位置关系是_________；
c) 若，，则a与c的位置关系是________．
3. 如图，已知AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数．
4. 如图，与是邻补角，OD、OE分别是与的平分线，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．
5. ⑴如图，已知∠1＝∠2 求证：a∥b．⑵直线，求证：．
6. 阅读理解并在括号内填注理由：
如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，试说明EP∥FQ．
证明：∵AB∥CD，
∴∠MEB＝∠MFD（ ）
又∵∠1＝∠2，
∴∠MEB－∠1＝∠MFD－∠2，
即 ∠MEP＝∠______
∴EP∥_____．（ ）
7. 已知DB∥FG∥EC，A是FG上一点，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，求：⑴∠BAC的大小；⑵∠PAG的大小.
8. 如图，已知，于D，为上一点，于F，交CA于G.求证.
1. 如图，∠B=∠C，AB∥EF 求证：∠BGF=∠C
3.已知：如图ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ交ＡB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H ，
∠AGE=500 ，求：∠BHF的度数。
4.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，那么∠A=∠F吗？试说明理由
5.已知：如图，AB//CD，试解决下列问题：
（1）∠1＋∠2＝___ ___；
（2）∠1＋∠2＋∠3＝___ __；
（3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_ __ __；
（4）试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝
；
6．如图11，、分别在、上，，与互余且，
垂足为，求证：．
图11
7．如图12，，，，，交于点，
试说明：.
图12
8．如图13，，，判断与的大小关系，说明理由.
9．如图14，是的角平分线，，，交于点．请问：（1）是的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
（2）若将结论与是的角平分线、、中的任一条件
交换，所得命题正确吗？
10.如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B = 30°，
你能算出∠EAD、∠DAC、∠C的度数吗？
d
c
3
1
a
b
2
4
11. 如图, ∠1=∠2 , ∠3=105度， 求 ∠4的度数。
A
D
B
C
E
F
1
2
3
4
13．已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。
AD与BE平行吗？为什么？。
解：AD∥BE，理由如下：
∵AB∥CD（已知）
∴∠4=∠ （ ）
∵∠3=∠4（已知）
∴∠3=∠ （ ）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（ ）
即∠ =∠
∴∠3=∠ （ ）
∴AD∥BE（ ）
14．.如图∠1+∠2=180°,∠DAE=∠BCF,DA平分∠BDF.
(1)AE与FC会平行吗?说明理由.(2)AD与BC的位置关系如何?为什么?
(3)BC平分∠DBE吗?为什么. ?
15．如图10，已知：直线AB，CD被直线EF，GH所截，且∠1=∠2，
求证：∠3+∠4=180°．
证明：∵∠1=∠2
又∵∠2=∠5 （ ）
∴∠1=∠5
∴AB∥CD （ ）
（图10）
∴∠3+∠4=180°（ ）
17．已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=100°，OK平分∠DOH，求∠KOH的度数．
19、如图，已知∠1 =∠2，∠B =∠C，试说明AB∥CD。
解：∵∠1 =∠2（已知），
又∵∠1 =∠4（ ）
∴∠2 =∠ （等量代换）
∴ ∥BF（ ）
∴∠ =∠3（ ）
又∵∠B =∠C（已知）
∴∠ =∠B（等量代换）
∴AB∥CD（ ）
A
D
F
B
E
C
1
2
3
20、如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°求∠2、∠3的度数
21、已知：如图，，DE平分，BF平分，且。 试说明
22、已知：如图，。求证：
23、推理填空：如图，DF∥AB，DE∥AC，试说明∠FDE=∠A
解：∵DE∥AC
∴∠A+∠AED=180 （ ）
∵DF∥AB
∴∠AED+∠FDE=180 （ ）
∴∠A=∠FDE（ ）
25、如图，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O，∠２＝４∠１，
求∠２，∠３，∠ＢＯＥ的度数
26、如图，ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝４０度，∠Ｅ＝３０度，求∠Ｄ的度数
30、如图，AB∥DE，∠1＝∠ACB，∠CAB＝∠BAD，试说明AD∥BC．
A
D
B
C
E
F
1
2
3
4
31、如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。试说明：AD∥BE。
32、如图，EF∥AD，∠1 =∠2，∠BAC = 70°。将求∠AGD的过程填写完整。
∵EF∥AD，（ ） ∴ ∠2 = 。（ ）
又∵ ∠1 = ∠2，（ ） ∴ ∠1 = ∠3。（ ）
∴AB∥ 。（ ）
∴∠BAC + = 180°。（ ）
D
E
A
B
C
2
1
又∵∠BAC = 70°，（ ）
∴∠AGD = 。（ ）
33、如图所示，已知∠B=∠C，AD∥BC，试说明：AD平分∠CAE
34、如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E= 30°,试说明AB∥CD.
D
E
A
B
C
2
1
36、如图所示，已知∠B=∠C，AD∥BC，试说明：AD平分∠CAE
37、如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E= 30°,试说明AB∥CD.
38．已知：如图，AB⊥CD，垂足为O ，EF经过点O，∠1＝25°，
求∠２，∠３的度数。（7分）
39.如图：AE平分∠DAC，∠DAC=120°，∠C=60°，AE与BC平行吗？为什么？（6分）
41.填空完成推理过程：（每空1分，共7分）
如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，
∠C＝∠D。试说明：AC∥DF。
解：∵ ∠1＝∠2（已知）
∠1＝∠3（ ）
∴∠2＝∠3（等量代换）
∴ ∥ （ ）
∴ ∠C＝∠ABD （ ）
又∵ ∠C＝∠D（已知）
∴∠D=∠ABD（ ）
∴ AC∥DF（ ）
43．(10分)如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37º，求∠D的度数．
45．（11分）如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠FED＝∠BDE,则EF也是∠AED的平分线。完成下列推理过程：
A
E
B
C
D
F
证明：∵ BD是∠ABC的平分线 （ 已 知 ）
∴ ∠ABD=∠DBC ( )
∵ ED∥BC ( 已 知 )
∴ ∠BDE=∠DBC ( )
∴ ( 等 量 代 换 )
又∵∠FED=∠BDE （ 已 知 ）
∴ ∥ ( )
∴ ∠AEF=∠ABD ( )
∴ ∠AEF=∠DEF ( 等 量 代 换 )
∴EF是∠AED的平分线（ ）
46、 如图，∵AB∥EF（ 已知 ）
∴∠A + =180（ ）
∵DE∥BC（ 已知 ）
∴∠DEF= （ ）
∠ADE= （ ）
52．（本题10分）如图，∠1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O.求∠2、∠3的度数.
图16
53．（本题24分，每空3分）如图16，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE∥AC，EF∥AB，下面写出了说明“∠A+∠B+∠C＝180°”的过程，请填空：
因为DE∥AC，所以∠1＝∠ .（ ）
因为AB∥EF, 所以∠3＝∠ ．（ ）
因为AB∥EF，所以∠2＝∠___．（ ）
因为DE∥AC，所以∠4＝∠___．（ ）
所以∠2＝∠A（等量代换）．
因为∠1+∠2+∠3＝180°，所以∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换）．
54．（本题12分）已知，如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠B＝∠ADE，试说明∠1＝∠2．
56、如图，直线AB 、CD相交于O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠1＝50°，求∠COB 、∠BOF的度数。
57、如图ＡＢ∥ＣＤ，∠NCM＝90°，∠NCB＝30°，CM平分∠BCE
求∠B的大小。
59、如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D，那么DF∥AC，请完成它成立的理由
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3 ，∠1＝∠4（ ）
∴∠3＝∠4（ ）
∴________∥_______ （ ）
∴∠C＝∠ABD（ ）
∵∠C＝∠D（ ）
∴∠D＝∠ABD（ ）
∴DF∥AC（ ）
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