2019届湖南省娄底市高三上学期期末数学(文)试题(解析版).doc

2019届湖南省娄底市高三上学期期末数学（文）试题

一、单选题
1．已知函数的定义域为，函数的值域为.用韦恩图将两集合表示出来，如图所示，则图中阴影部分表示的数集为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先分别计算集合M和N，再根据韦恩图求集合的交集.
【详解】
，，.
故答案为B
【点睛】
本题考查了韦恩图，值域定义域，属于简单题.
2．若复数所表示的点在复平面一、三象限的平分线上，则实数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】化简复数，表示的点在复平面一、三象限的平分线上，实部和虚部相等得到答案.
【详解】
，实部与虚部相等，故.
故答案选A
【点睛】
本题考查了复数的化简，复数对应的点，意在考查学生的计算能力.
3．学校医务室对本校高一名新生的实力情况进行跟踪调查，随机抽取了名学生的体检表，得到的频率分布直方图如下，若直方图的后四组的频率成等差数列，则估计高一新生中视力在以下的人数为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由频数相加为100，后四组成等差数列，计算每个组别的人数，再计算视力在以下的频率为，据此得到答案.
【详解】
由图知：第一组人，第二组人，第三组人，
后四组成等差数列，和为90
故频数依次为，，，
视力在以下的频率为，故高一新生中视力在以下的人数为人.
故答案选C
【点睛】
本题考查了频率直方图，等差数列，概率的计算，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.
4．运行如图所示的程序，若输出的值为，则可输入的的个数是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】分别计算和时方程解得个数，相加得到答案.
【详解】
当时，，，符合题意；
当时，，即，解得，
又，故不存在，使输出的，
故选.
【点睛】
本题考查了程序的计算，分成两种情况是解题的关键.
5．已知函数，其导函数为，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】计算得到，，代入数据得到答案.
【详解】
函数，
，，
，
故答案选.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，计算出是解题的关键.
6．如图所示，图的直角梯形为图四凌锥的俯视图，且，则该四凌锥的正视图与侧视图所得图形的面积之差为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先画出四凌锥的正视图与侧视图，再计算面积差.
【详解】
如图，正视图和侧视图均是以，为直角边的直角三角形，故面积之差为.

【点睛】
本题考查了三视图，意在考查学生的空间想象能力.
7．设椭圆（，）的一个焦点为（，），离心率为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据离心率和焦点得到，再根据其关系计算得到答案.
【详解】
由题知半焦距，椭圆的焦点在轴上，且离心率为，则， ，
故答案选.
【点睛】
本题考查了椭圆的离心率,焦距,注意焦点的位置是解题的关键.
8．已知平行四边形的对角线相交于点，为平面内一点，且，若（，），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】画出图像，确定位置，再根据向量的三角形法则计算得到答案.
【详解】
由知，为中点.

，
故，，，
故答案选.
【点睛】
本题考查了向量的加减，确定位置是解题的关键.
9．在上随机取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】通过直线与圆相交，计算直线斜率，再根据几何概型求出概率.
【详解】
直线与圆相交

直线斜率时与圆相交，故所求概率.
故答案选C
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，几何概型求概率，意在考查学生的计算能力.
10．已知函数(,,)的图像所示，且，为函数图像上相邻的最高点和最低点，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图像，则在下列区间一定单调递增的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据图像先计算，再通过平移得到，计算的单调递增区间得到答案.
【详解】
由图像知，又，
所以，，，
又，代入得，.
故，，
其单调增区间为，
即，取时，符合题意.
故答案选D
【点睛】
本题考查了三角函数的图像，函数表达式，平移，函数单调性，综合性较强，意在考查学生对于三角函数图形和性质的灵活运用.
11．已知数列的通项公式为，则“”是“数列单调递增”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．不要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分别根据数列单调递增的性质证明充分性和必要性，得到答案.
【详解】
充分性：时，，即，此时，
又，故，所以成立，满足充分条件；
必要性：若为递增数列，则恒成立，，故，此时，满足必要条件，
故答案选.
【点睛】
本题考查了数列的单调性，充分必要条件，分别判断函数的充分性和必要性是解题的关键.
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于，，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】直线的斜率为，计算，，利用余弦定理得到，化简知，得到答案
【详解】
由题意知直线的斜率为，，又，

由双曲线定义知，，.
由余弦定理：，，
即，
即，解得.
故双曲线渐近线的方程为.
故答案选D
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线，与圆的关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力 .

二、填空题
13．实数，满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】作出可行域和目标函数，通过平移得到答案.
【详解】
作出可行域，由图可知，当，时，，故的取值范围是.

【点睛】
本题考查了线性规划，求线性目标函数的最值:
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.
14．点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体边长为，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】先证明平面，故点的轨道为线段，的取值范围是
【详解】
连结，，，

易知平面，故点的轨道为线段，
当在中点时：最小为
当与或重合时：最大值为2
则的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题考查了线段长度的范围，确定点的轨道为线段是解题的关键.
15．在中，内角，，所对应的边长分别为，，，且，，则的外接圆面积为__________．
【答案】
【解析】根据正弦定理得到，再根据计算得到答案.
【详解】
由正弦定理知：，
即，，，
即.故.
故答案为
【点睛】
本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.
16．已知函数若关于的方程有实根，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】参数分离得到，设，计算的值域为，
的取值范围是.
【详解】
由题知，故有解，即有解，
令，易知为奇函数，
时，，，，
且时，，时，，
故时，，
由奇函数性质知，时，，故的值域为，
即要使方程有解，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，值域，参数分离构造函数是解题的关键.

三、解答题
17．大学就业指导中心对该校毕业生就业情况进行跟踪调查，发现不同的学历对就业专业是否为毕业所学专业有影响，就业指导中心从届的毕业生中，抽取了本科和研究生毕业生各名，得到下表中的数据.
就业专业
毕业学历
就业为所学专业
就业非所学专业
本科

研究生

（1）根据表中的数据，能否在犯错概率不超过的前提下认为就业专业是否为毕业所学专业与毕业生学历有关；
（2）为了进一步分析和了解本科毕业生就业的问题，按分层抽样的原则从本科毕业生中抽取一个容量为的样本，要从人中任取人参加座谈，求被选取的人中至少有人就业非毕业所学专业的概率.
附：,

【答案】（1）能在犯错概率不超过的前提下认为就业专业是否为毕业生所学专业与毕业生学历有关，详见解析（2）
【解析】（1）计算，与临界值表作比较，得到答案.
（2）所取样本中，就业为所学专业为人，设为，，，非所学专业为人，设为，，排列出所有情况共10种，满足条件的7种，得到答案.
【详解】
（1）由题知：，
故能在犯错概率不超过的前提下认为就业专业是否为毕业生所学专业与毕业生学历有关.
（2）由题知，所取样本中，就业为所学专业为人，设为，，，非所学专业为人，设为，.从人中任取人，其结果有，，，，，，，，，共种情形.
其中事件至少有人就业非所学专业为时事件，共有种情形，，即所求概率为.
【点睛】
本题考查了独立性检验，分层抽样，概率的计算，意在考查学生的应用能力.
18．已知等差数列满足，，数列满足，.
（1）求，；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），（2）
【解析】（1）取 两种情况，代入公式得到，再计算.
（2）由（1）知：，利用错位相减法得到.
【详解】
（1）由题知为等差数列，设其公差为，
则解得
故；
又，则.
（2）由（1）知：，，
故，
，
故

，
【点睛】
本题考查了等差数列，错位相减法，意在考查学生对于数列公式和性质的灵活运用.
19．如图，在直角梯形中，，，，为梯形对角线，将梯形中的部分沿翻折至位置，使所在平面与原梯形所在平面垂直（如图）.

（1）求证：平面平面；
（2）探究线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在说明理由.
【答案】（1）见解析（2）存在点，且时，有平面，详见解析
【解析】（1）取中点，连结，证明平面，得到平面平面.
（2）存在点，且时，有从而得到平面.
【详解】
（1）取中点，连结，

则，故，
又平面平面，且平面平面，
，平面，
∴平面，又平面，∴.
又，，∴平面，又平面，
∴平面平面.
（2）存在点，且时，有平面，
连结交于，由知，
又，故，又平面，平面，
∴平面.
【点睛】
本题考查了面面垂直，线面平行，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
20．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
（1）求该抛物线的方程；
（2）设抛物线准线与轴交于点，过作斜率为的直线与抛物线交于，两点，弦的中点为，的中垂线交轴与，求点横坐标的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1），双曲线的一条渐近线为，利用点到直线的距离公式得到.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，联立方程，根据韦达定理得到：直线的方程为，得到答案.
【详解】
（1）由题知，，双曲线的一条渐近线为，
则，解得.
故所求抛物线方程为.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，
联立
得，
，
故，且.
设，，，.
易知，，
则直线的方程为，
令，.
又，故，即点横坐标的取值范围是.
【点睛】
本题考查了抛物线，双曲线的知识，取值范围，综合性强计算量大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.直线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）若直线交曲线于，两点，求的值.
【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为（2）
【解析】（1）先将参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程.
（2）联立极坐标方程，利用韦达定理，得到故，，代入计算得到答案.
【详解】
（1）的普通方程为，
化为极坐标方程为.
化为极坐标方程为.
（2）由
知，故，，
则

.
【点睛】
本题考查了极坐标方程，参数方程，利用极坐标方程简化了计算.
22．已知函数，．
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，，则
当时，由得，，解得；
当时，恒成立；
当时，由得，，解得．
所以的解集为．
（2）因为对任意，都存在，使得不等式成立，
所以．
因为，所以，
且，①
当时，①式等号成立，即．
又因为，②
当时，②式等号成立，即．
所以，整理得， 解得或，
故的取值范围为．

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