1.5.1曲边梯形的面积(教学用).ppt

在过去的学习中，我们已经知道正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面“直边图形直边图形”的面积；物理中，我们知道了匀速直线运动匀速直线运动的时间、速度与路程的关系等等。在数学和物理中，我们还经常会遇到计算平面曲线围成的平面“曲边图形曲边图形”的面积、变速直线运动物体位移、变力做功变速直线运动物体位移、变力做功的问题。如何解决这些问题呢？能否把求“曲边图形”面积转化为求“直边图形”面积？能否利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题？为此，我们需要学习新的数学知识定积分定积分。课题引入课题引入如不加说明，下面研究的都是连续的函数。思考思考思考思考？新新课探究课探究 图1.51中，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y=f(x)的一段，我们把由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？思考？思考？图1.52中的曲边梯形与我们熟悉的“直边图形”的主要区别是什么？能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积问题？可以发现，图1.52中的曲边梯形与“直边图形”的主要区别是：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段。在过去的学习中，我们曾经用多边形逼近圆的方法，利用多边形面积求出圆的面积。这种“以直代曲以直代曲”的思想启发我们，是否也能用直边形（比如矩形）逼近曲边梯形的方法，求图1.52中阴影部分面积呢？a1a2a3ana4放放大大放放大大探究？一般地，对如图1.51所示的曲边梯形，我们也可以采用分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限的方法求出其面积。第三步：第三步：求和。求和。第二步：近似代替，第二步：近似代替，“以直代曲以直代曲”。用矩形的面积近似代替。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值求由求由连续曲线连续曲线y=f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 第四第四步：取极限。步：取极限。例例弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力比，即力F(x)=kx（k是常数，是常数，x是伸长量），是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。所作的功。解：将物体用常力解：将物体用常力F沿力的方向移动距离沿力的方向移动距离x,则所做的功则所做的功W=Fx，本题，本题F是克服弹簧拉力是克服弹簧拉力的变力，是移动距离的变力，是移动距离x的函数，的函数，F(x)=kx，将将0，b n等分，记等分，记x=，分点依次为分点依次为x0=0，x1=，x2=,，xn1=，xn=b，当当n很大时，在分段很大时，在分段xi，xi+1所用的力约所用的力约为为kxi，所做的功，所做的功Wkxix=则从则从0到到b所做的总功所做的总功W近似地等于近似地等于当当n+时，上式右端趋近于时，上式右端趋近于 于是得到弹簧从平衡位置拉长于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为所做的功为 以上两个实际问题，以上两个实际问题，一个是求曲边梯形一个是求曲边梯形的面积，一个是求变力所做的功的面积，一个是求变力所做的功，虽然实，虽然实际意义不同，但解决问题的方法和步骤是际意义不同，但解决问题的方法和步骤是完全相同的，完全相同的，都归结为求一个函数在某一都归结为求一个函数在某一闭区间上的和式的极限问题闭区间上的和式的极限问题.小结小结1、求曲边梯形的面积、求曲边梯形的面积2、求变力做功、求变力做功分割分割近视代替近视代替求和求和取极限取极限作业：优化设计作业：优化设计