2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(上课用)资料.ppt

2024年年5月月21日日向量的夹角：向量的夹角：已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，作，作 ，则则AOB=AOB=(0(0 180180)叫做向量叫做向量 与与 的夹角的夹角.OAB当当=0时，时，与与 同向；同向；当当=180时，时，与与 反向；反向；当当=90时，时，与与 垂直，记作垂直，记作 。问题问题sF 一个物体在力一个物体在力 的作用下产的作用下产生的位移生的位移 ，那么力那么力 所做的所做的功应当怎样计算？功应当怎样计算？其中力其中力 和位移和位移 是向量，是向量，是是 与与 的夹角，而功是数量的夹角，而功是数量.O1、平面向量的、平面向量的数量积数量积：已知非零向量已知非零向量 与与 ，我们把数量，我们把数量 叫作叫作 与与 的的数量积数量积（或内积），记作（或内积），记作 ，即规定，即规定 其中其中是是 与与 的夹角，的夹角，叫做向量叫做向量 在在 方向上（方向上（在在 方向上）的方向上）的投影投影.并且规定，零向量与任一向量并且规定，零向量与任一向量的数量积为零的数量积为零，即，即 。BB1OA2、数量积的几何意义：、数量积的几何意义：数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 的方向上的的方向上的投影投影 的乘积。的乘积。BB1OA例例1.已知已知 ，的夹角的夹角=120=120，求求 。解：解：注意：注意：(1)两两个个向向量量的的数数量量积积是是一一个个实实数数，不是向量，符号由不是向量，符号由cos 的符号所决定的符号所决定 (2)两两个个向向量量的的数数量量积积称称为为内内积积，写写成成 ，不不能能写写成成 或或 ，书书写写时时要要严格区分严格区分 向量的数量积是一个数量，那么它什向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？么时候为正，什么时候为负？当当0 90时，时，当当90 180时，时，当当=90时，时，由向量数量积的定义，试完成下面问题：由向量数量积的定义，试完成下面问题：0证明向量证明向量垂直的依据垂直的依据3、数量积的性质、数量积的性质（向量模的公式）（向量模的公式）（向量的夹角公式）（向量的夹角公式）思考：等式思考：等式 是否成立？是否成立？4、数量积的运算律：、数量积的运算律：不成立不成立如图可知：如图可知：1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由符号由cos的符号确定；的符号确定；要注意的是：要注意的是：2、两个向量的数量积称为内积，写成、两个向量的数量积称为内积，写成 ;与代与代数中的数数中的数ab不同，书写时要严格区分；不同，书写时要严格区分；3、在实数中，若、在实数中，若a0，且，且ab=0,则则b=0；但；但因为其中因为其中cos有可能为有可能为0。4、已知实数、已知实数a、b、c（b0)，则由，则由ab=bc得得a=c.5、在实数中有（、在实数中有（ab)c=a(bc),4例例3.我们知道，对任意我们知道，对任意 ，恒有，恒有对任意向量对任意向量 是否也有下面类似的结论？是否也有下面类似的结论？例例4.已知已知 ，的夹角的夹角6060，求求 。例例5.已知已知 ，且，且 与与 不共线，不共线，k为何值时，为何值时，向量向量 与与 互相垂直互相垂直。小结小结向量数量积计算时向量数量积计算时,一要算准向量的模一要算准向量的模,二要找准两个向量的夹角。二要找准两个向量的夹角。2、数量积的运算律：、数量积的运算律：由向量数量积的定义，试完成下面问题：由向量数量积的定义，试完成下面问题：0证明向量证明向量垂直的依据垂直的依据3、数量积的性质、数量积的性质（向量模的公式）（向量模的公式）（向量的夹角公式）（向量的夹角公式）