《简单的线性规划问题》(人教A版必修).ppt

3.3.23.3.2简单线性规划问题简单线性规划问题xyo问题问题1:某工厂用某工厂用A,B两种配件生产甲两种配件生产甲,乙两种产品乙两种产品,每生产一件甲种产品使用每生产一件甲种产品使用4个个A配件耗时配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用每生产一件乙种产品使用4个个B配件耗时配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得该厂每天最多可从配件厂获得16个个A配件和配件和12个个B配件配件,按每天工作按每天工作8小时小时计算计算,该厂所有该厂所有可能的日生产安排是什么可能的日生产安排是什么?821所需时间所需时间1240B种配件种配件1604A种配件种配件资源限额资源限额 乙产品乙产品 (1件件)甲产品甲产品 (1件件)产品产品消消 耗耗 量量资资 源源把问题把问题1的有关数据列表表示如下的有关数据列表表示如下:设甲设甲,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x,y件件,0 xy4348将上面不等式组表示成平面上的区域将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内区域内所有坐标为所有坐标为整数的点整数的点P(x,y),安排生产任务安排生产任务x,y都是有意义的都是有意义的.设甲设甲,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x,y件件,由己知条件可得由己知条件可得:若生产若生产1件甲种产品获利件甲种产品获利2万元万元,生产生产1 件乙件乙种产品获利种产品获利3万元万元,采用哪种生产安排利润最大采用哪种生产安排利润最大?若设利润为若设利润为z,则则z=2x+3y,这样上述问题转化为这样上述问题转化为:当当x,y在满足上述约束条件时在满足上述约束条件时,z的最大值为多少的最大值为多少?当点当点P在可允许的取值范围变化时在可允许的取值范围变化时,当当z变化的直线时，可以得到一组相互平行变化的直线时，可以得到一组相互平行0 xy4348M（4，2）问题：问题：求利润求利润z=2x+3y的最大值的最大值.象这样关于象这样关于x,yx,y一次不等式组一次不等式组的约束条件称为的约束条件称为线性约束线性约束条条件件,线性约束线性约束条件有时也可以条件有时也可以用一次方程表示用一次方程表示Z=2x+3yZ=2x+3y称为目标函数称为目标函数,(,(因这里因这里目标函数为关于目标函数为关于x,yx,y的一次解析式的一次解析式,又称为又称为线性目标函数线性目标函数 在线性约束下求线性目标函数在线性约束下求线性目标函数的最值问题的最值问题,统称为统称为线性规划线性规划,满足线性约束的解满足线性约束的解(x,y)(x,y)叫做叫做可行解可行解,所有可行解组成的集合叫做所有可行解组成的集合叫做可行域可行域使目标函数使目标函数取得最值取得最值的可行解叫做这个的可行解叫做这个问题的问题的最优解最优解变式：变式：若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利1万元万元，生产一件乙产品获利生产一件乙产品获利3万元万元，采用哪种采用哪种生产安排利润最大？生产安排利润最大？0 xy4348N N（2 2，3 3）变式：变式：求利润求利润z=x+3y的最大值的最大值.例例5.5.营养学家指出营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg0.075kg的碳水化合物的碳水化合物,0.06kg,0.06kg的蛋白质的蛋白质,0.06kg,0.06kg的脂肪的脂肪.1kg.1kg食物食物A A含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物,0.07 kg,0.07 kg的蛋白质的蛋白质,0.14kg,0.14kg的脂肪的脂肪,花费花费2828元元;而而1kg1kg食物食物B B含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物,0.14 kg,0.14 kg的蛋白质的蛋白质,0.07kg0.07kg的脂肪的脂肪,花费花费2121元元.为了满足营养学家指出的日常饮食要为了满足营养学家指出的日常饮食要求求,同时使同时使花费花费最低最低,需要同时食用需要同时食用食物食物A A和食物和食物B B多少多少kgkg?分析分析:将已知数据列成下表将已知数据列成下表0.070.140.1050.140.070.105BA脂肪脂肪/kg蛋白质蛋白质/kg碳水化合物碳水化合物/kg食物食物/kg解解:设每天食用设每天食用xkg食物食物A,ykg食物食物B,总成本为总成本为z元元.那么那么x,y满足的约束条件是满足的约束条件是:目标函数为目标函数为z=28x+21y二元一次不等式组二元一次不等式组等价于等价于作出二元一次不等式组作出二元一次不等式组所所表示的平面区域，即可行域表示的平面区域，即可行域.这是斜率为这是斜率为 、在、在y轴上的截距为轴上的截距为 的一组平行直线的一组平行直线.xyo由图知由图知,当直线当直线经过可行域上点经过可行域上点M时时,截距截距最小最小,即即z最小最小.解方程组解方程组得得M的坐标为的坐标为所以所以zmin=28x+21y=16.答：每天食用食物答：每天食用食物A约为约为143g，食物，食物B约约571g，能够满足日，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元元.xyoM线性目标函数的最线性目标函数的最大（小）值一般在大（小）值一般在可行域的顶点处取可行域的顶点处取得，也可能在边界得，也可能在边界处取得处取得.解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤：（2 2）移：在线性目标函数所表示的一组平行）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线纵截距最大或最小的直线 （3 3）求：通过解方程组求出最优解；）求：通过解方程组求出最优解；（4 4）答：作出答案。）答：作出答案。（1 1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；）画：画出线性约束条件所表示的可行域；体验体验:二、二、最优解最优解一般在可行域的一般在可行域的顶点顶点处取得处取得一、一、先定先定可行域和平移方向，再找最优解。可行域和平移方向，再找最优解。练习练习1解下列线性规划问题：解下列线性规划问题：1、求、求z=2x+y的最大值，使式中的的最大值，使式中的x、y满足约束条件：满足约束条件：xOyABCy=x x+y=1y=-12x+y=0B:(-1,-1)C:(2,-1)Zmin=-3Zmax=3 目标函数：目标函数：Z=2x+y351ABxyo(1.5,2.5)(-2,-1)Z max=17Z min=-11求求z=3x+5y的最大值和最小值的最大值和最小值,使使x、y满足约束条件满足约束条件C3x+5y=0练习练习2 2 小小 结结 本节主要学习了线性约束下如何求目本节主要学习了线性约束下如何求目标函数的标函数的最值问题最值问题 正确列出变量的不等关系式正确列出变量的不等关系式,准确准确作出作出可行域可行域是解决目标函数最值的关健是解决目标函数最值的关健 线性目标函数的最值一般都是在可行域线性目标函数的最值一般都是在可行域的的顶点或边界顶点或边界取得取得.把目标函数转化为某一直线把目标函数转化为某一直线,其斜率与其斜率与可行域边界所在直线可行域边界所在直线斜率的大小关系斜率的大小关系一定要一定要弄清楚弄清楚.xyo简单的线性规划问题（二）简单的线性规划问题（二）一一、复习概念、复习概念yx4843o 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量它是关于变量x x、y y的一次解析式，的一次解析式，又称线性目标函数。又称线性目标函数。满足线性约束的解满足线性约束的解（x x，y y）叫做可行解。）叫做可行解。在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为问题，统称为线性规划问题线性规划问题。一组关于变量一组关于变量x x、y y的一次不等式，称为的一次不等式，称为线性约束条件线性约束条件 由所有可行解组成由所有可行解组成的集合叫做可行域。的集合叫做可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。这个问题的最优解。可行域可行域可行解可行解最优解最优解二二.回顾回顾解线性规划问题的步骤解线性规划问题的步骤（2 2）移：）移：在线性目标函数所表示的一组平行线在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线纵截距最大或最小的直线 （3 3）求：）求：通过解方程组求出最优解；通过解方程组求出最优解；（4 4）答：）答：作出答案。作出答案。（1 1）画：）画：画出线性约束条件所表示的可行域；画出线性约束条件所表示的可行域；例例6.要将两种大小不同的钢板截成要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示321第二种钢板第二种钢板112第一种钢板第一种钢板C规格规格B规格规格A规格规格钢板类型钢板类型规格类型规格类型今需今需A、B、C三种规格的成品分别三种规格的成品分别15，18，27块，则使用块，则使用钢板张数最少为多少？钢板张数最少为多少？解：解：设需截第一种钢板设需截第一种钢板x张，第二种钢板张，第二种钢板y张，共需要张，共需要z张，张，则目标函数为：则目标函数为：z=x+y，且，且二、例题二、例题2x+y=15x+2y=18x+3y=27xyO4812162048121620242830作出可行域，如下图，作出可行域，如下图，把把z=x+y化为化为y=-x+z，这是斜率为这是斜率为-1，在，在y轴上的截距为轴上的截距为z的一组平行直线，的一组平行直线，y=-xM如图可知，当直线如图可知，当直线y=-x+z经过可行域上的整点经过可行域上的整点A(4，8)，B(3，9)时，直线在时，直线在y轴上的截距轴上的截距z最小最小zmin=12答：略。答：略。B(3,9)A(4,8)二、例题二、例题在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般方法是：方法是：1.若区域若区域“顶点顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）（在包括边界的情况下）2.若区域若区域“顶点顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内，然后在可行域内适适当放缩目标函数值，使它为整数，且与当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，最接近，在在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。继续放缩，直至取到整点为止。3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解络、找整点、平移直线、找出整数最优解例例7.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐、硝酸盐18t；生产；生产1车车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐、硝酸盐15t现在现在库存磷酸盐库存磷酸盐10t、硝酸盐、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应合肥料，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域的平面区域分析：列表分析：列表 磷酸磷酸盐盐t 硝酸硝酸盐盐t甲种肥料甲种肥料乙种肥料乙种肥料418115解：设计划生产解：设计划生产x车皮甲种肥料、车皮甲种肥料、y车皮乙种肥料，则车皮乙种肥料，则例例7.若生产若生产1车皮甲种肥料的利润是车皮甲种肥料的利润是1万元，生产万元，生产1车皮车皮乙种肥料的利润是乙种肥料的利润是0.5万元，那么如何安排生产才能够万元，那么如何安排生产才能够产生最大利润？产生最大利润？解：设计划生产解：设计划生产x车皮甲种肥料、车皮甲种肥料、y车皮乙种肥料，车皮乙种肥料，利润为利润为z万元，则万元，则目标函数为目标函数为z=x+0.5y作出可行域，如图作出可行域，如图xyO12342468104x+y=1018x+15y=66这是斜率为这是斜率为-2，在，在y轴上的截距为轴上的截距为2z的一组平行直线，的一组平行直线，y=-2x如图可知，当直线如图可知，当直线y=-2x+2z经过可行域上的点经过可行域上的点M时，在时，在y轴轴上的截距上的截距2z最大，即最大，即z最大最大解方程组解方程组得得M的坐标为（的坐标为（2 2，2 2）所以所以zmax=x+0.5y=3答：生产甲、乙两种答：生产甲、乙两种肥料各肥料各2车皮，可获最大车皮，可获最大利润利润3万元。万元。xyO12342468104x+y=1018x+15y=66M练习题练习题1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为别为30003000元、元、20002000元，甲、乙产品都需要在元，甲、乙产品都需要在A A、B B两两种设备上加工，在每台种设备上加工，在每台A A、B B上加工上加工1 1件甲所需工时分别件甲所需工时分别为为1h1h、2h2h，加工，加工1 1件乙所需工时分别为件乙所需工时分别为2h,1h.A2h,1h.A、B B两两种设备每月有效使用台时数分别为种设备每月有效使用台时数分别为400h400h和和500h500h。如何。如何安排生产可使收入最大？安排生产可使收入最大？解：解：设每月生产甲产品设每月生产甲产品x x件，生产乙产品件，生产乙产品y y件，每月收件，每月收入为入为Z Z千元，目标函数为千元，目标函数为Z Z3x3x2y2y，满足的条件是，满足的条件是 Z Z 3x3x2y2y 变形为变形为它表示斜率为它表示斜率为 的直线系，的直线系，Z Z与这条直线的截距有关。与这条直线的截距有关。XYO400200250500 当直线经过点当直线经过点MM时，截距最大，时，截距最大，Z Z最大。最大。M解方程组解方程组可得可得MM（200200，100100）Z Z 的最大值的最大值Zmax Zmax 3x3x2y2y800800（千元）（千元）故生产甲产品故生产甲产品200200件，件，乙产品乙产品100100件，收入最大，件，收入最大，为为8080万元。万元。小 结：二元一次不等式二元一次不等式表示平面区域表示平面区域直线定界，直线定界，特殊点定域特殊点定域简单的线性规划简单的线性规划约束条件约束条件目标函数目标函数可行解可行解可行域可行域最优解最优解应应用用求解方法：画、求解方法：画、移、求、答移、求、答作作 业业:课本课本 P106 4xyo简单的线性规划问题（三）简单的线性规划问题（三）复习回顾：二元一次不等式二元一次不等式表示平面区域表示平面区域直线定界，直线定界，特殊点定域特殊点定域简单的线性规划简单的线性规划约束条件约束条件目标函数目标函数可行解可行解可行域可行域最优解最优解应应用用求解方法：画、求解方法：画、移、求、答移、求、答例例、要要将将两两种种大大小小不不同同规规格格的的钢钢板板截截成成A A、B B、C C三三种种规规格格，每每张张钢钢板板可可同同时时截截得得三三种种规格的小钢板的块数如下表所示规格的小钢板的块数如下表所示 ：规格类型规格类型钢板类型钢板类型第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板A A规格规格B B规格规格C C规格规格2 21 12 21 13 31 1今需要今需要A,B,CA,B,C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为1515，1818，2727块，问各截这两种钢板多少张可得所需块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。三种规格成品，且使所用钢板张数最少。解：设需截第一种钢板解：设需截第一种钢板x x张、第二种钢板张、第二种钢板y y张，可得张，可得x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,xN*y0 yN*经经过过可可行行域域内内的的整整点点B(3,9)和和C(4,8)且且和和原原点点距距离离最近的直线是最近的直线是x+y=12，它们是最优解它们是最优解.答答:(略略)作出一组平行直线作出一组平行直线z=x+y，目标函数目标函数z=x+yz=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法打网格线法在可行域内打出网格线，在可行域内打出网格线，当直线经过点当直线经过点A A时时z=x+y=11.4z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，但它不是最优整数解，将直线将直线x+y=11.4继续向上平移继续向上平移,2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=0直线直线x+y=12x+y=12经过的整点是经过的整点是B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)，它们是最优解，它们是最优解.作出一组平行直线作出一组平行直线z z =x+yx+y，目标函数目标函数z=x+yz=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)当当直直线线经经过过点点A A时时z=x+y=11.4z=x+y=11.4,但但它它不不是是最最优优整整数数解解.作直线作直线x+y=12x+y=12x+y=12解得解得交点交点B,C的坐标的坐标B(3,9)和和C(4,8)调整优值法调整优值法2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,xN*y0 yN*x0y1.1.线性规划的讨论范围：线性规划的讨论范围：教材中讨论了教材中讨论了两个变量的线性规划问题，这类问题可两个变量的线性规划问题，这类问题可以用图解法来求最优解，但涉及更多变以用图解法来求最优解，但涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法来解；量的线性规划问题不能用图解法来解；2.2.求线性规划问题的最优整数解时，求线性规划问题的最优整数解时，常常 用用打网格线打网格线和和调整优值调整优值的方法，这要求作的方法，这要求作图必须精确，线性目标函数对应的直线斜图必须精确，线性目标函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准确率与其他直线的斜率关系要把握准确1515练习练习:课后练习 请预习请预习3.43.4基本不等式基本不等式