小升初试题——几何篇含解析.doc

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小升初名校真题专项测试-----几何篇

引言：随着小升初考察难度的增加，几何问题变越来越难，一方面，几何问题仍是中学考察的重点，各学校更喜欢几何思维好的学生，这样更有利于小学和初中的衔接；另一方面几何问题由于类型众多，很多知识点需要提前学，这就加快了学生知识的综合运用，而这恰恰是重点中学学校所期望的。所以近几年的几何难度年年在增加，很多学校的考题可以说超出小学的范围，本节主要是通过分析例题来讲解其中的相关知识点和解题思维。

测试时间：15分钟 姓名_________ 测试成绩_________

1、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积.

【解】根据定理：==，所以四边形ACDE的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42。
2、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是______米.

【解】小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，所以外边四个面积和是5-1=4，所以每个三角形的面积是1，这个图形是“玄形”，所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长，所以求出短边长就是1。
3、如图在长方形ABCD中，△ABE、△ADF、四边形AECF的面积相等。△AEF的面积是长方形ABCD面积的______ (填几分之几)。
。
【解】连接AC，首先△ABC和△ADC的面积相等，又△ABE和△ADF的面积相等，则△AEC和△AFC的面积也相等且等于ABCD的1/6，不难得△AEC与△ABE的面积之比为1/2，由于这两个三角形同高，则EC与BE之比为1/2，同理FC与DF之比也为1/2。从而△ECF相当于ABCD面积的1/18，而四边形AECF相当于ABCD面积的1/3，从而答案为1/3-1/18=5/18。

4、如图1，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为_____

【解】设图示两个三角形的面积分别为a和b，因为△AED面积等于ABCD的一半，则△ABE加上△DEC的面积也等于ABCD的一半。而△FDC的面积也等于ABCD的一半，即23+a+32+12+b=a+b+阴影面积，可见阴影面积=23+32+12=67。

5、右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE的面积是 平方厘米．

【解】：连接AD,则AF是三角形AED的底ED的高,CD是三角形ABD的底AB的高.四边形ABDE的面积=三角形AED的面积+三角形ABD的面积=×ED×AF+×AB×CD=×8×7+×3×12=28+18=46。

6、一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热情地招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分(如图)．修剪西部、东部、南部各需10分钟，16分钟，20分钟．请你想一想修剪北部需要多少分钟？

【解】如下所示：将北部分成两个三角形，并标上字母

那么有，即有，解得．
所以修剪北部草坪需要20+24＝44分钟．
评注：在本题中使用到了比例关系，即：
S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；
S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；
S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；
有时把这种比例关系称之为燕尾定理．

【典型例题解析】
1．（★★）如图，已知四边形ABCD中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD与AD垂直，则四边形的面积等于多少？

[思 路]：显然四边形ABCD的面积将由三角形ABD与三角形BCD的面积求和得到．三角形ABD是直角三角形，底AD已知，高BD是未知的，但可以通过勾股定理求出，进而可以判定三角形BCD的形状，然后求其面积．这样看来，BD的长度是求解本题的关键．
【解】：：由于BD垂直于AD，所以三角形ABD是直角三角形．而AB=13，DA=12，由勾股定理，BD =AB－AD=13—12=25=5，所以BD=5．三角形BCD中BD=5，BC=3，CD=4，又3十4=5，故三角形BCD是以BD为斜边的直角三角形，BC与CD垂直．那么：
=+=12×5÷2+4×3÷2=36．．
即四边形ABCD的面积是36．
[总 结]：勾股定理是几何问题中非常重要的定理．请同学们注意到这样一个问题：勾股定理实际上包含两方面的内容：①如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方之和等于斜边的平方；②如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么它一定是直角三角形．本例同时用到了这两方面的内容，在解题中要注意体会．

2、已知如下图，一个六边形的6个内角都是120º，其连续四边的长依次是1，9，9，5厘米。求这个六边形的周长。

[思 路]：

3、（★★）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？

【解】：
[思 路]：小升初中常把分数，百分数，比例问题处理成份数问题，这个思想一定要养成。
解：粗线面积：黄面积=2：3
绿色面积是折叠后的重叠部分，减少的部分就是因为重叠才变少的，这样可以设总共3份，后来粗线变2份，减少的绿色部分为1份，所以阴影部分为2-1=1份，

[总 结]：份数在小升初中运用的相当广，一定要养成这个思想！

4、（★★★）如图，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形的边长是长方形长的5/12，②号正方形的边长是长方形宽的1/8。那么，图中阴影部分的面积是多少？

[思路]：从整除入手，我们可以推出长方形的面积只能是8×12=96，再入手就很简单可。
解：①的面积就是5×5=25
②的面积是1×1=1
最大的空白正方形面积=（8-1）×（8-1）=49
阴影面积=96-49-25-1=21
[总 结]：整除的一些讨论能提高我们的速度！

5、（★★★）如图，已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米？

[方法一]：
[思 路]：充分利用图形中的同（等）底，同（等）高关系，这是小升初最基础的考点。
解： 连接CF，CF//BD。可以得到阴影部分面积就是梯形BCDF面积的一半，也等于BCD的面积（利用同底等高）。
∴BFD=DCB=10×10/2=50
[方法二]：
[思 路]由于没有告诉我们小正方形的边长，我们可以判断阴影的面积跟小正方形的边长没关系，这样我们大胆的设小正方形的边长为a。
解：阴影面积=四边形BEFD面积-三角形BEF面积
四边形BEFD面积=三角形BCD+梯形CDEF面积=10×10÷2+（a+10）×a÷2
三角形BEF面积=BE×EF÷2=（a+10）×a÷2
所以阴影面积=四边形BEFD面积-三角形BEF面积=
10×10÷2+（a+10）×a÷2-（a+10）×a÷2=10×10÷2=50
[总 结]：小升初考试对面积的处理方法中，“加减法”和“切割法”是最常用的方法，本题是对这两个方法的综合运用，建议学生要深刻理解方法的运用，多做练习。
[方法三]：极限判断
[思 路]：由于没有告诉我们小正方形的边长，我们可以判断阴影的面积跟小正方形的边长没关系，这样我们考虑边长的特殊情况，如果小正方形的边长小到0，这样的话G，F，E都缩到C点上，这样原来阴影面积B，D两点没变，F点变到C点
。
所以阴影面积为10×10÷2=50。
也可以让小正方形的边长和大正方形相等，这样就得下面的图形，所以阴影面积也是10×10÷2=50。

[总 结]：这种极限考虑的思路一定要注意是使用的条件，如果能熟练的运用可以大大的提高解题的时间。
[拓 展]：已知正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，求阴影面积？

6、（★★★）如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么，三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少？

[方法一]：
[思 路]：公共部分的运用，这是小升初的常用方法，熟练找出公共部分是解题的关键。

解: GC=7，GD=10推出HE=3；
BC=4，DE=2
阴影BCM面积-阴影MDE面积=(BCM面积+空白面积)-(MDE面积+空白面积)=三角形BHE面积-长方形CDEH面积=3×6÷2-3×2=3
[总 结]：对于公共部分要大胆的进行处理,这样可以把原来无关的面积联系起来,达到解题的目的.
[拓 展]：如图,已知圆的直径为20,S1-S2=12,求BD的长度?

[方法二]：
[思 路]：画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC和DE均为已知的，所以关键问题在于求CM和DM．这两条线段之和CD的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了，这恰好可以利用平行线BC与DE截成的比例线段求得．
解: GC=7，GD=10 知道CD=3；
BC=4， DE=2 知道BC:DE=CM:DM 所以CM=2，MD=1。
阴影面积差为:4×2÷2-1×2÷2=3
[方法三]：连接BD
S —S =S—S =(3×4—2×3)÷2=3．
[总 结]：比例的灵活运用能大大提高解题的速度,特别是这种一个平行线截相交线段得比例的典型图，AB平行于DE，有比例式AB：DE=AC：CE=BC：CD，三角形ABC与三角形DEC也是相似三角形．下图形状要牢记并且要熟练掌握比例式．

以下我们来看看上面结论和燕尾定理的运用：
7．（★★★）如右图，单位正方形ABCD，M为AD边上的中点，求图中的阴影部分面积。

来源：第四界“华赛杯”试题
【解1】：两块阴影部分的面积相等，AM/BC=GM/GB=,所以GB/BM=，而三角形ABG和三角形AMB同高，所以S△BAG=S△ABM=××1÷2=，所以阴影面积为×2=
【解2】：四边形AMCB的面积为（0.5+1）×1÷2=，根据燕尾定理在梯形中的运用，知道：：： =AM：BC：AM×BC：AM×BC=：1：：=1：4：2：2；所以四边形AMCB的面积分成1+4+2+2=9份，阴影面积占4份，所以面积为×=。
【解3】：如右图，连结DG，有：S△ACM=S△BAM（同底等高），
又S△BAG=S△ADG（△BAG与△ADG关于AC对称）
　　又S△AGM=S△GDM（等底同高）

8、（★★★）三角形ABC中，C是直角，已知AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？

【解答】：因为缺少尾巴，所以连接BN如下，

的面积为3×2÷2=3
这样我们可以根据燕尾定理很容易发现：=CD：BD=2：1；
同理：=BM：AM=1：1；
设面积为1份，则的面积也是1份，所以得面积就是1+1=2份，而：=CD：BD=2：1，所以得面积就是4份；：=BM：AM=1：1，所以也是4份，这样的面积总共分成4+4+1+1=10份，所以阴影面积为3×=。

9、（★★★★）如图，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为边AB，BC的中点。则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米？

[方法一]：
[思 路]：出现梯形时可以考虑一下”燕尾定理”的运用.
解:连接AC,OE,OF这样我们可以发现S1的面积是整个四边形的1/4=18,在梯形BCOF中,BC=2×OF,这样我们运用”燕尾定理”得:S5:S3:S2:S4=1:4:2:2,把面积分成9份,求出阴影面积占5份,同理可以求出梯形CDEO中阴影也占5份,所以阴影面积=(72-18) ×(5/9)=30,总阴影面积为30+18=48平方厘米

[总 结]：”燕尾定理”的结论对解题速度有很大的提高,建议学生牢记!
[方法二]：
解:可以得到空白部分是DEBF面积的2/3。空白部分面积为72÷2÷3×2=24平方厘米
72-24=48平方厘米。

10、（★★★★）图是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米。问：阴影部分面积是多少平方厘米？

[方法一]：
[思 路]已知的都是空白部分的长度，所以阴影面积肯定是通过“加减法”来求，这样我们就退求空白面积，但空白部分是两个三角形的重叠，所以我们可以“切割”三角形。
解：

给各点标字母，连接GC，空白部分就分成4个三角形，很明显，GEC，GED等底同高，面积相等。GFB和GFC也面积相等。设4个面积如图，得：
DFC的面积=X+X+Y=（10+10）×10÷2=100
BEC的面积=Y+Y+X=（10+10）×10÷2=100
解得X=100/3，所以阴影面积=20×20-（100/3）×4=800/3
[总 结]：此解可以用以这种条件的任一个题中，但要求学生对二元一次方程做基础练习。
[方法二]：燕尾定理的运用
[思 路]：构建燕尾定理，通过总结的定理来求解
解：构建燕尾定理的条件，如果连接BD，这样我们可以发现三角形DCF和ECB的面积相等，而两个面积都减去四边形ECFG的面积还是相等，这样我们知道左下角的X和右上角的Y 面积相等。而根据燕尾定理我们可以知道三角形BDG的面积和BGC的面积比就是DE和EC的比，即1：1。所以面积为2Y，这样我们就把正方形面积的一半即三角形BCD的面积表示成X+X+Y+Y+2Y=20×20÷2=200，X=Y，所以X=Y=100/3，所以阴影面积就是=20×20-(X+X+Y+Y)=20×20-400/3=800/3

小升初专项训练模拟测试卷------几何（1）
1、在三角形ABC的各边上，分别取AD、BE、CF各等于AB、BC、CA长的三分之一，如果三角形DEF的面积为2平方厘米，求三角形ABC的面积是多少？

2、在图中，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E，且AF＝CE，BG＝DE，当四边形ABCD的面积为25平方厘米时，三角形EFG的面积是多少？

3、如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是________平方厘米。

来源：02年小学数学奥林匹克试题
【解】：延长EB到K，使BK=CD。 三角形EGK与三角形DGC成比例，DC：EK=2：3，所以DG：GK=2：3，由于三角形DEK=90，所以EGK=90÷3/5=54，所以四边形EBFG=EGK-BKF=24。同理，EB：DC=1：2，所以BH：HD=1：2，所以三角形EBH=1/3EBD=10所以，四边形BGHF的面积是24-10=14

4、直线CF与平行四边形ABCD的AB边相交于E点，如果三角形BEF的面积为6平方厘米，求三角形ADE的面积是多少？

5、（★★★）如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？
【解答】：连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.
∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，
∴S△AGD=AH×DG÷2，
∴AH=8×2÷5=3.2（厘米），
∴DE=3.2（厘米）。

【答案】
　　1．6平方厘米。
　　2．25平方厘米。
3．6（平方厘米）。
4．6平方厘米。
　　5．10平方厘米；

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