圆幂定理——老师用.doc

(word完整版)圆幂定理——老师用
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段

［学习目标］
1。切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理
对于切线长定理，应明确(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径;（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3。弦切角：顶点在圆上,一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦,图中几个弦切角呢?（四个）
4.弦切角定理:弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角.
5。弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理。
7。与圆有关的比例线段
定理
图形
已知
结论
证法
相交弦定理

⊙O中，AB、CD为弦，交于P。
PA·PB＝PC·PD。
连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.
相交弦定理的推论

⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.
PC2＝PA·PB.
用相交弦定理。
切割线定理

⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于A
PT2＝PA·PB
连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT
切割线定理推论

PB、PD为⊙O的两条割线,交⊙O于A、C
PA·PB＝PC·PD
过P作PT切⊙O于T,用两次切割线定理
圆幂定理

⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦
P'C·P’D＝r2－OP’2
PA·PB＝OP2－r2
r为⊙O的半径
延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证;过P作切线用切割线定理勾股定理证
8。圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数｜|(R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理。

【典型例题】
例1.如图1,正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线,切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。

图1
解:由切线长定理知:AF＝AB＝1，EF＝CE
设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理

∴，，

例2。⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

图2
解:由相交弦定理,得
AE·BE＝CE·DE
∵AE＝6cm,BE＝2cm,CD＝7cm，
,
∴，
即
∴CE＝3cm或CE＝4cm.
故应填3或4。
点拨:相交弦定理是较重要定理,结果要注意两种情况的取舍。

例3。已知PA是圆的切线,PCB是圆的割线，则________。
解：∵∠P＝∠P
∠PAC＝∠B，
∴△PAC∽△PBA，
∴,
∴.
又∵PA是圆的切线,PCB是圆的割线，由切割线定理,得

∴，
即 ，
故应填PC。
点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论.

例4.如图3，P是⊙O外一点,PC切⊙O于点C,PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点,如果PA：PB＝1：4,PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。

图3
解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4
∴PB＝4PA
又∵PC＝12cm
由切割线定理，得
∴
∴，
∴
∴PB＝4×6＝24（cm）
∴AB＝24－6＝18（cm）
设圆心O到AB距离为d cm，
由勾股定理，得

故应填.

例5。如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点D,（1）求证：;（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

图4
点悟：要证,即要证△CED∽△CBE.
证明：(1）连结BE

（2）
。
又∵，
∴厘米。
点拨:有切线,并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。

例6。如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。

图5
求证：
证明：连结BD，
∵AE切⊙O于A，
∴∠EAD＝∠ABD
∵AE⊥AB，又AB∥CD，
∴AE⊥CD
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB＝90°
∴∠E＝∠ADB＝90°
∴△ADE∽△BAD
∴
∴
∵CD∥AB

∴AD＝BC，∴

例7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证:AD·BC＝CD·AB

图6
点悟：由结论AD·BC＝CD·AB得，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC
证明：∵PA切⊙O于A，
∴∠PAD＝∠PBA
又∠APD＝∠BPA，
∴△PAD∽△PBA
∴
同理可证△PCD∽△PBC
∴
∵PA、PC分别切⊙O于A、C
∴PA＝PC
∴
∴AD·BC＝DC·AB

例8。如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。

图7
求证：BC＝2OE。
点悟：由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线.而OA＝OB，只须证AE＝CE。
证明：连结OD.
∵AC⊥AB，AB为直径
∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D
∴EA＝ED，OD⊥DE
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB
在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B
∵∠ODE＝90°
∴
∴∠C＝∠EDC
∴ED＝EC
∴AE＝EC
∴OE是△ABC的中位线
∴BC＝2OE

例9。如图8,在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合）,过E作所在圆的切线,交边DC于点F，G为切点。
当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点；

图8
解：由∠DEF＝45°，得
,
∴∠DFE＝∠DEF
∴DE＝DF
又∵AD＝DC
∴AE＝FC
因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于点A;同理，CD切圆B于点C.
又因为EF切圆B于点G，所以AE＝EG，FC＝FG。
因此EG＝FG，即点G为线段EF的中点.

【模拟试题】(答题时间:40分钟）
一、选择题
1。已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8,弦AB的弦心距3,则PA＝( ）
A. B。 C. 5 D. 8
2。下列图形一定有内切圆的是（ )
A。平行四边形 B。矩形
C。菱形 D。梯形
3。已知:如图1直线MN与⊙O相切于C,AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（ ）

图1
A。 50° B. 40° C。 60° D. 55°
4。圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1:4，则另一弦长为（ ）
A。 8cm B. 10cm C. 12cm D。 16cm
5.在△ABC中,D是BC边上的点，AD，BD＝3cm，DC＝4cm,如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（ )
A。 B。
C. D。
6. PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于( ）
A. 20 B. 10 C。 5 D.

二、填空题
7。 AB、CD是⊙O切线，AB∥CD,EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度.
8.已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24,OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。
9.若PA为⊙O的切线,A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，，则PC的长为_____________。
10。正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P,则_____________。

三、解答题
11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm,F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC,求DE的长。

图2

12.如图3,已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。

图3

13。如图4,已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半径。

图4

【试题答案】
一、选择题
1。 A 2. C 3. A 4. B 5. B 6。 A

二、填空题
7。 90 8. 1 9. 30 10。

三、解答题：
11.由切线长定理得△BDE周长为4，由△BDE∽△BAC，得DE＝1cm
12。证明：连结AC，则AC⊥CB

∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1
∵PC为⊙O的切线，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2，
∴BC平分∠DCP
13。设BM＝MN＝NC＝xcm
又∵

∴
又∵OA是过切点A的半径，∴OA⊥AB即AC⊥AB
在Rt△ABC中，由勾股定理,得，
由割线定理：，又∵
∴

∴半径为。

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