1、第五章 圆5.1圆的性质及与圆有关的位置关系中考数学中考数学(河南专用)A组 2014-2018年河南中考题组五年中考1.(2018河南,19,9分)如图,AB是O的直径,DOAB于点O,连接DA交O于点C,过点C作O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交O于点G.填空:当D的度数为时,四边形ECFG为菱形;当D的度数为时,四边形ECOG为正方形.解析解析(1)证明:连接OC.CE是O的切线,OCCE.FCO+ECF=90.DOAB,B+BFO=90.CFE=BFO,B+CFE=90.(3分)OC=OB,FCO=B.ECF=CFE.CE=EF
2、.(5分)(2)30.(注:若填为30,不扣分)(7分)22.5.(注:若填为22.5,不扣分)(9分)2.(2017河南,18,9分)如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O交AC边于点D,过点C作CFAB,与过点B的切线交于点F,连接BD.(1)求证:BD=BF;(2)若AB=10,CD=4,求BC的长.解析解析(1)证明:AB=AC,ABC=ACB.CFAB,ABC=FCB.ACB=FCB,即CB平分DCF.(3分)AB是O的直径,ADB=90,即BDAC.BF是O的切线,BFAB.(5分)CFAB,BFCF.BD=BF.(6分)(2)AC=AB=10,CD=4,AD=AC-CD=
3、10-4=6.在RtABD中,BD2=AB2-AD2=102-62=64.(8分)在RtBDC中,BC=4,即BC的长为4.(9分)3.(2016河南,18,9分)如图,在RtABC中,ABC=90,点M是AC的中点,以AB为直径作O分别交AC,BM于点D,E.(1)求证:MD=ME;(2)填空:若AB=6,当AD=2DM时,DE=;连接OD,OE,当A的度数为时,四边形ODME是菱形.解析解析(1)证明:在RtABC中,ABC=90,点M是AC的中点,MA=MB.A=MBA.(2分)四边形ABED是圆内接四边形,ADE+ABE=180.又ADE+MDE=180,MDE=MBA.同理可证:ME
4、D=A.(4分)MDE=MED,MD=ME.(5分)(2)2.(7分)60(或60).(9分)解题关键解题关键熟记圆内接四边形的对角互补,结合直角三角形的性质判断角相等是本题关键.4.(2015河南,17,9分)如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A,B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接PD,PO.(1)求证:CDPPOB;(2)填空:若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为;连接OD,当PBA的度数为时,四边形BPDO是菱形.解析解析(1)证明:D是AC的中点,且PC=PB,DPAB,DP=AB.CPD=PBO.(3分)OB=AB,DP=OB.CDPP
5、OB.(5分)(2)4.(7分)60.(9分)思路分析思路分析(1)根据三角形的中位线定理得出三角形全等的一个条件,再由SAS判定全等;(2)当POAB时,四边形AOPD的面积最大;当PBA=60时,等腰三角形OBP中BO=BP,四边形BPDO为菱形.5.(2014河南,17,9分)如图,CD是O的直径,且CD=2cm,点P为CD的延长线上一点,过点P作O的切线PA、PB,切点分别为点A、B.(1)连接AC,若APO=30,试证明ACP是等腰三角形;(2)填空:当DP=cm时,四边形AOBD是菱形;当DP=cm时,四边形AOBP是正方形.解析解析(1)证明:连接OA.PA为O的切线,OAPA.
6、(1分)在RtAOP中,AOP=90-APO=90-30=60.ACP=AOP=60=30.(4分)ACP=APO.AC=AP.ACP是等腰三角形.(5分)(2)1;(7分)-1.(9分)思路分析思路分析(1)根据切线的性质和同弧所对圆周角等于圆心角的一半得角之间的关系,由等角对等边可判定等腰三角形;(2)当AD=1时,四边形AOBD是菱形,可求得DP的长;当四边形AOBP是正方形时,OP=AO=,DP=OP-OD=-1.考点一圆的有关概念及性质考点一圆的有关概念及性质B组 2014-2018年全国中考题组1.(2017内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,CD为O的直径,弦ABCD,垂足为M.若A
7、B=12,OMMD=58,则O的周长为()A.26B.13C.D.答案答案B连接OA,设OM=5x(x0),则MD=8x,OA=OD=13x,又AB=12,ABCD,AM=6.在RtAOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=(舍负),半径OA=,O的周长为13.方法规律方法规律如图,设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则+d2=r2(h=r-d或h=r+d).已知其中任意两个量即可求出其余两个量.2.(2016陕西,9,3分)如图,O的半径为4,ABC是O的内接三角形,连接OB、OC.若BAC与BOC互补,则弦BC的长为()A.3B.4C.5D.6答案答案BBOC+CA
8、B=180,BOC=2CAB,BOC=120,作ODBC交BC于点D,BC=2BD.OB=OC,OBD=OCD=30,BD=OBcos30=2,BC=2BD=4,故选B.3.(2016广西南宁,9,3分)如图,点A,B,C,P在O上,CDOA,CEOB,垂足分别为D,E,DCE=40,则P的度数为()A.140B.70C.60D.40答案答案BDCE=40,CDOA,CEOB,DOE=180-40=140.P=AOB=70.故选B.4.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD=6,则AC=.答案答案2解析解析连接BD,因为AB
9、为O的直径,所以ADB=90,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以BAD=30,因为=cos30,所以AB=4.在RtABC中,AC=ABcos60=4=2.5.(2016吉林,13,3分)如图,四边形ABCD内接于O,DAB=130,连接OC.点P是半径OC上任意一点,连接DP,BP,则BPD可能为度(写出一个即可).答案答案60(答案不唯一,大于等于50且小于等于100即可)解析解析连接OB,OD,四边形ABCD是圆内接四边形,DAB+DCB=180.DCB=180-DAB=50.DOB=2DCB=100.50BPD100.评析评析本题考查圆内接四边形的性质,圆周角定理,连接OB,OD
10、,利用圆周角定理是关键,属容易题.6.(2016新疆乌鲁木齐,13,4分)设I为ABC的外心,若BIC=100,则A的度数为.答案答案50或130解析解析当I在ABC的内部时,如图1,A=BIC=50;当I在ABC的外部时,如图2,A+BIC=180,A=130.图1图27.(2015江苏南京,15,2分)如图,在O的内接五边形ABCDE中,CAD=35,则B+E=.答案答案215解析解析连接AO,CO,DO,则COD=2CAD=70,又因为B=(AOD+COD),E=(AOC+COD),所以B+E=(AOD+COD+AOC+COD)=(360+70)=215.评析评析本题考查同弧所对的圆周角
11、与圆心角的关系.8.(2014陕西,16,3分)如图,O的半径是2.直线l与O相交于A、B两点,M、N是O上的两个动点,且在直线l的异侧.若AMB=45,则四边形MANB面积的最大值是.答案答案4解析解析连接OA,OB.四边形MANB面积的最大值取决于三角形ABM和三角形ABN的面积的最大值.当点M,N分别位于优弧AB和劣弧AB的中点时,四边形MANB的面积取最大值.连接MN,此时MN为O的直径,故MN=4,AMB=45,AOB=90,所以AB=OA=2.故四边形MANB面积的最大值为ABMN=24=4.9.(2018福建,24,12分)已知四边形ABCD是O的内接四边形,AC是O的直径,DE
12、AB,垂足为E.(1)延长DE交O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB;(2)过点B作BGAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB=,DH=1,OHD=80,求BDE的大小.图1图2解析解析(1)证明:AC是O的直径,ABC=90.又DEAB,DEA=90.DEA=ABC,BCDF,F=PBC.四边形BCDF是圆内接四边形,F+DCB=180,又PCB+DCB=180,F=PCB,PBC=PCB,PC=PB.(2)连接OD,AC是O的直径,ADC=90,又BGAD,AGB=90,ADC=AGB,BGDC.又由(1)知BCDE,四边形DHB
13、C为平行四边形,BC=DH=1.在RtABC中,AB=,tanACB=,ACB=60,CAB=30.从而BC=AC=OD,DH=OD.在等腰三角形DOH中,DOH=OHD=80,ODH=20.设DE交AC于N.BCDE,ONH=ACB=60.NOH=180-(ONH+OHD)=40,DOC=DOH-NOH=40,CBD=OAD=20.BCDE,BDE=CBD=20.一题多解一题多解(1)证明:易证DFBC,从而CD=BF,且=1,PB=PC.(2)连接OD,设BDE=x,则EBD=90-x,易证四边形BCDH为平行四边形,BC=DH=1,AB=,CAB=30,AC=2,ADB=ACB=60,O
14、D=OA=1=DH,ODH=180-2OHD=180-280=20,OAD=ODA=ADB-(ODH+x)=60-(20+x)=40-x.又AOD=2ABD,180-2(40-x)=2(90-x),解得x=20,即BDE=20.解后反思解后反思本题考查圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、解直角三角形等基础知识,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.10.(2017安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,B=D,AD于BC,过点C作CEAD交ABC的外接圆O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行
15、四边形;(2)连接CO,求证:CO平分BCE.证明证明(1)B=D,B=E,D=E.CEAD,E+DAE=180.D+DAE=180.AEDC.四边形AECD是平行四边形.(5分)(2)过点O作OMEC,ONBC,垂足分别为M、N.四边形AECD是平行四边形,AD=EC.又AD=BC,EC=BC,OM=ON,CO平分BCE.(10分)思路分析思路分析(1)根据“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等”可推出E=B,再由D=B,CEAD可推出AEDC,问题得证;(2)作OMCE,ONBC,垂足分别为M、N,由已知及(1)得出CE=BC,再根据“同一个圆内等弦对应的弦心距相等”可得OM=ON,从而由
16、角平分线的判定定理可得结论.解题关键解题关键抓住“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等及同圆内等弦对应的弦心距相等”是解决本题的关键.1.(2018福建,9,4分)如图,AB是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D.若ACB=50,则BOD等于()A.40B.50C.60D.80考点二与圆有关的位置关系考点二与圆有关的位置关系答案答案D由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180及ACB=50可得BAC=40,由OA=OD得ODA=BAC=40,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得BOD=ODA+OAD=80.2.(2017吉林,6,2分)如图,直线l是O
17、的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交O于点C.若AB=12,OA=5,则BC的长为()A.5B.6C.7D.8答案答案D因为AB是圆O的切线,所以OAAB,由勾股定理可得,OB=13,又因为OC=5,所以BC=OB-OC=13-5=8,故选D.3.(2015重庆,9,4分)如图,AB是O的直径,点C在O上,AE是O的切线,A为切点,连接BC并延长交AE于点D.若AOC=80,则ADB的度数为()A.40B.50C.60D.20答案答案BAE是O的切线,BAE=90,B=AOC=40,ADB=90-B=50,故选B.4.(2015江苏南京,6,2分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,A
18、D=5,AD、AB、BC分别与O相切于E、F、G三点,过点D作O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为()A.B.C.D.2答案答案A在矩形ABCD中,O分别与边AD、AB、BC相切,又DM为O的切线,所以由切线长定理得AE=AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知BG=2,DN=3,设MN=MG=x,在RtDCM中,DM2=MC2+DC2,即(3+x)2=(3-x)2+42,解得x=,则DM=3+=.故选A.5.(2014天津,7,3分)如图,AB是O的弦,AC是O的切线,A为切点,BC经过圆心,若B=25,则C的大小等于()A.20B.25C.40D.50答案答案C连接OA,O
19、中,OA=OB,所以B=BAO=25,因为AOC是OAB的外角,所以AOC=B+BAO=50,又因为AC是O的切线,所以OAAC,在RtOAC中,C=90-AOC=40,故选C.6.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE=.答案答案60解析解析AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中点,BD=AB=BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE=360-90-90-120=60.解题关键解题关键由题意得出OD垂直平分AB及AB=
20、BO是解答本题的关键.7.(2016黑龙江哈尔滨,18,3分)如图,AB为O的直径,直线l与O相切于点C,ADl,垂足为D,AD交O于点E,连接OC、BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为.答案答案4解析解析设OC与BE相交于点F,AB是O的直径,AEB=90,AO=5,AB=10.在RtAEB中,AE=6,BE=8.直线l是O的切线,OCCD,又ADCD,AEEB,四边形CDEF为矩形,DC=EF=BE=4.8.(2015浙江宁波,17,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过A,D两点的O与BC边相切于点E,则O的半径为.答案答案解析解析连接EO,并延长交AD于点H,连
21、接AO.四边形ABCD是矩形,O与BC边相切于点E,EHBC,ADBC,EHAD.根据垂径定理,得AH=DH.AB=8,AD=12,AH=6,HE=8.设O的半径为r,则AO=r,OH=8-r.在RtOAH中,由勾股定理得(8-r)2+62=r2,解得r=.O的半径为.9.(2018天津,21,10分)已知AB是O的直径,弦CD与AB相交,BAC=38.(1)如图,若D为的中点,求ABC和ABD的大小;(2)如图,过点D作O的切线,与AB的延长线交于点P,若DPAC,求OCD的大小.解析解析(1)AB是O的直径,ACB=90.BAC+ABC=90.又BAC=38,ABC=90-38=52.由D
22、为的中点,得=.ACD=BCD=ACB=45.ABD=ACD=45.(2)如图,连接OD.DP切O于点D,ODDP,即ODP=90.由DPAC,又BAC=38,P=BAC=38.AOD是ODP的外角,AOD=ODP+P=128.ACD=AOD=64.又OA=OC,得ACO=BAC=38.OCD=ACD-ACO=64-38=26.思路分析思路分析(1)根据直径所对的圆周角是直角,等弧所对的圆周角相等可以求解;(2)连接OD,根据平行线的性质,圆的切线的性质求得P,AOD的度数,即可求得OCD的大小.10.(2017内蒙古呼和浩特,24,9分)如图,点A,B,C,D是直径为AB的O上的四个点,C是
23、劣弧的中点,AC与BD交于点E.(1)求证:DC2=CEAC;(2)若AE=2,EC=1,求证:AOD是正三角形;(3)在(2)的条件下,过点C作O的切线,交AB的延长线于点H,求ACH的面积.解析解析(1)证明:C是劣弧的中点,DAC=CDB,又ACD=DCE,ACDDCE,=,DC2=CEAC.(2)证明:AE=2,CE=1,AC=3,DC2=3,DC=,如图,连接OC,C是劣弧的中点,OC平分DOB,BC=DC=,AB是O的直径,AB=2,OB=OC=OD=,BOD=120,DOA=60,又OA=OD,AOD是正三角形.(3)CH是O的切线,OCCH,COH=60,H=30,CAB=30
24、,CH=AC=3,SACH=3=.11.(2016广西南宁,23,8分)如图,在RtABC中,C=90,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.(1)求证:AC是O的切线;(2)若OB=10,CD=8,求BE的长.解析解析(1)证明:连接OD,(1分)BD平分ABC,OBD=CBD.点B,D在O上,OB=OD,ODB=OBD,ODB=CBD,ODBC.(3分)ODA=C=90,ODAC.(4分)又点D在O上,AC是O的切线.(5分)(2)过点O作OFBC于点F,BF=EF,OFC=90.(6分)又C=ODC=90,四边形CDOF是矩形.OF=CD=8,
25、(7分)在RtBOF中,BF=6,BE=2BF=12.(8分)考点一圆的有关概念及性质考点一圆的有关概念及性质C组 教师专用题组1.(2018湖北武汉,10,3分)如图,在O中,点C在优弧上,将弧折叠后刚好经过AB的中点D.若O的半径为,AB=4,则BC的长是()A.2B.3C.D.答案答案B连接AO,并延长交O于点D,则ABD=90.连接BD,CD,DD,DD交BC于点E,连接OD,OB,OC,D为AB的中点,ODAB,AB=4,BD=AB=2,OB=,OD=1,BD=2OD=2,即BD=BD,显然点D与点D关于直线BC对称.ABD=90,ABC=CBD=45,根据圆周角定理得AOC=90,
26、DOC=90,CD=OC=,CBD=45,BD=2,BE=ED=,根据勾股定理得CE=2,BC=BE+CE=3,故选B.方法指导方法指导在求解涉及圆的性质的问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段或角或垂直关系,求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行求解.2.(2017陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,C=30,O的半径为5.若点P是O上的一点,在ABP中,PB=AB,则PA的长为()A.5B.C.5D.5答案答案D连接OB、OA、OP,C=30,AOB=60,OA=OB,OAB是等边三角形,AB=5.PB=AB=OA=OP,OBAP,AP=2
27、ABcos30=25cos30=25=5.故选D.3.(2017福建,8,4分)如图,AB是O的直径,C,D是O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与ACD互余的角是()A.ADCB.ABDC.BACD.BAD答案答案DAB是O的直径,ADB=90,BAD+B=90,易知ACD=B,BAD+ACD=90,故选D.4.(2015山东临沂,8,3分)如图,A,B,C是O上的三个点,若AOC=100,则ABC等于()A.50B.80C.100D.130答案答案D如图,在优弧AC上任取一点D,连接AD、CD.AOC=100,ADC=AOC=50.ADC+ABC=180,ABC=180-50=130
28、.故选D.5.(2015浙江绍兴,8,4分)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,O的半径为2,B=135,则 的 长 是()A.2B.C.D.答案答案B因为四边形ABCD是O的内接四边形,B=135,所以D=45.连接OA、OC,则AOC=2D=90,所以的长是=,故选B.6.(2015上海,6,4分)如图,已知在O中,AB是弦,半径OCAB,垂足为点D,要使四边形OACB为菱形,还需添加一个条件,这个条件可以是()A.AD=BDB.OD=CDC.CAD=CBDD.OCA=OCB答案答案B根据垂径定理知OD垂直平分AB,所以添加OD=CD,即可判定四边形OACB是菱形,故选B.7.(2014
29、内蒙古呼和浩特,6,3分)已知O的面积为2,则其内接正三角形的面积为()A.3B.3C.D.答案答案C如图所示,连接OB、OC,过O作ODBC于D,O的面积为2,O的半径为.ABC为正三角形,BOC=260=120,BOD=BOC=60.OB=,BD=OBsinBOD=sin60=,OD=OBcosBOD=cos60=,BC=2BD=,BOC的面积=BCOD=,ABC的面积=3SBOC=3=.故选C.评析评析本题考查三角形的外接圆与外心,属容易题.8.(2014江苏镇江,16,3分)如图,ABC内接于半径为5的O,圆心O到弦BC的距离等于3,则A的正切值等于()A.B.C.D.答案答案D连接C
30、O并延长交O于点D,则CD为O的直径,连接BD,作OEBC交BC于点E,依题意可得BD=2OE=6,又CD=25=10,所以BC=8,所以tanD=.又因为A=D,所以tanA=,故选D.评析评析本题综合考查圆周角定理,垂径定理,解直角三角形等有关知识,属中等难度题.9.(2018北京,12,2分)如图,点A,B,C,D在O上,=,CAD=30,ACD=50,则ADB=.答案答案70解析解析=,BAC=CAD=30.又BDC=BAC=30,ACD=50,ADB=180-30-30-50=70.10.(2018内蒙古呼和浩特,12,3分)同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为.答案答案1解
31、析解析设圆的半径为r,则内接正方形的边心距为r,内接正三角形的边心距为r,故rr=1.11.(2017北京,14,3分)如图,AB为O的直径,C,D为O上的点,=.若CAB=40,则CAD=.答案答案25解析解析连接BC,BD,AB为O的直径,ACB=90,ABC=90-CAB=90-40=50.=,ABD=CBD=ABC=25,CAD=CBD=25.12.(2016山东青岛,11,3分)如图,AB是O的直径,C,D是O上的两点,若BCD=28,则ABD=.答案答案62解析解析AB是O的直径,ACB=90.BCD=28,ACD=90-28=62,ABD=ACD=62.13.(2016湖南长沙,
32、16,3分)如图,在O中,弦AB=6,圆心O到AB的距离OC=2,则O的半径长为.答案答案解析解析由题意得OCAB,AC=BC=AB=3,在RtOCA中,OA=.O的半径长为.评析评析本题考查了垂径定理、勾股定理,属容易题.14.(2016江苏南京,13,2分)如图,扇形AOB的圆心角为122,C是上一点,则ACB=.答案答案119解析解析如图,在扇形AOB所在圆优弧AB上取一点D,连接DA,DB.AOB=122,D=61,ACB+D=180,ACB=119.15.(2016重庆,15,4分)如图,OA,OB是O的半径,点C在O上,连接AC,BC.若AOB=120,则ACB=度.答案答案60解
33、析解析根据圆周角定理,知ACB=AOB=120=60.16.(2015内蒙古包头,18,3分)如图,O是ABC的外接圆,AD是O的直径,若O的半径是4,sinB=,则线段AC的长为.答案答案2解析解析连接CD,在O中,因为AD为直径,所以ACD=90,因为B=D,所以AC=ADsinD=8=2.17.(2015江西南昌,10,3分)如图,点A,B,C在O上,CO的延长线交AB于点D,A=50,B=30,则ADC的度数为.答案答案110解析解析在O中,BOC=2A=250=100,所以DOB=180-BOC=180-100=80,所以ADC=B+DOB=30+80=110.评析评析本题考查同弧所
34、对的圆周角与圆心角的关系、三角形内角和定理的推论,属容易题.18.(2015上海,17,4分)在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,点A在B上.如果D与B相交,且点B在D内,那么D的半径长可以等于.(只需写出一个符合要求的数)答案答案14(大于13且小于18的数)解析解析由题意可知B的半径长为5,BD=13,由点B在D内,得D的半径长r13.又B与D相交,所以8r18,所以13r0),则AC=2a,AD=a,连接DE,AE是O的直径,ADE=90,由CAD=BAD,ACD=ADE=90,得ACDADE,=,即=,a=r,由(1)知,ODAC,=,即=,a=r,BD=r.(10分)思路分析思路
35、分析(1)连接OD,利用平行线的判定以及等腰三角形的性质证明ODAC,从而证明直线BC是圆O的切线;(2)连接DE,由AE是圆O的直径可推ADE=90,进一步可证ACDADE,再结合(1)列等式即可求出BD的长.9.(2018云南昆明,21,8分)如图,AB是O的直径,ED切O于点C,AD交O于点F,AC平分BAD,连接BF.(1)求证:ADED;(2)若CD=4,AF=2,求O的半径.解析解析(1)证法一:连接OC.(1分)ED切O于点C,OCDE,OCE=90,OA=OC,OAC=OCA.AC平分BAD,OAC=DAC,OCA=DAC,(3分)OCAD,D=OCE=90,ADED.(4分)
36、证法二:连接OC,(1分)ED切O于点C,OCDE,OCD=90,OA=OC,OAC=OCA,AC平分BAD,OAC=DAC,OCA=DAC,(3分)OCA+ACD=90,DAC+ACD=90,D=90,ADED.(4分)(2)解法一:设线段OC与BF的交点为H.AB是O的直径,AFB=HFD=90,(5分)OCD=D=90,四边形HFDC是矩形,CHF=90,即OCBF,FH=DC=4,(6分)FB=2FH=8.(7分)在RtBFA中,AFB=90,AF=2,由勾股定理可得AB=2,O的半径为.(8分)解法二:过点O作ONAF于点N.(5分)OCDE,ADED,OND=D=OCD=90,四边
37、形ONDC是矩形,(6分)ON=CD=4,ONAF,AF=2,AN=AF=1.(7分)在RtOAN中,ONA=90,由勾股定理可得OA=,O的半径为.(8分)思路分析思路分析(1)连接OC,则OCDE,由AC平分BAD及OA=OC,得OAC=DAC=OCA,从而得OCAD或CAD+ACD=90,进而证得ADED;(2)设线段OC与BF的交点为H,则四边形HFDC是矩形,从而得到FB=8,进而利用勾股定理求解即可,或过O作ONAF于点N,则AN=1,在矩形ONDC中,ON=CD=4,由勾股定理求解即可.解题关键解题关键本题考查了圆的切线的性质,勾股定理,矩形的性质.第(2)问中解法二的关键是过O
38、作ONAF,构造矩形和直角三角形.10.(2017北京,24,5分)如图,AB是O的一条弦,E是AB的中点,过点E作ECOA于点C,过点B作O的切线交CE的延长线于点D.(1)求证:DB=DE;(2)若AB=12,BD=5,求O的半径.解析解析(1)证明:BD是O的切线,OBD=90.CEOA,ACE=90.OBA+EBD=A+AEC=90.OA=OB,A=OBA,EBD=AEC.又AEC=BED,BED=EBD,DB=DE.(2)如图,连接OE,则OEAB,AE=BE=6.过点D作DMAB于点M,DE=DB,BM=BE=3,在RtBMD中,由勾股定理得,DM=4.易证OBE=BDM,又BEO
39、=DMB,RtOBERtBDM,=,OB=.11.(2017福建,21,8分)如图,四边形ABCD内接于O,AB是O的直径,点P在CA的延长线上,CAD=45.(1)若AB=4,求的长;(2)若=,AD=AP,求证:PD是O的切线.解析解析(1)连接OC,OD.COD=2CAD,CAD=45,COD=90.AB=4,OC=AB=2.的长=2=.(2)证明:=,BOC=AOD.COD=90,AOD=45.OA=OD,ODA=OAD.AOD+ODA+OAD=180,ODA=67.5.AD=AP,ADP=APD.CAD=ADP+APD,CAD=45,ADP=CAD=22.5.ODP=ODA+ADP=
40、90.又OD是半径,PD是O的切线.解题思路解题思路(1)连接OC,OD,由圆周角定理可得COD=90,然后利用弧长公式求解.(2)由=,COD=90得BOC=AOD=45.由OA=OD得ODA=OAD=67.5.由AD=AP,CAD=ADP+APD得ADP=22.5,所以ODP=ODA+ADP=90,即证得PD是O的切线.12.(2017河北,23,9分)如图,AB=16,O是AB的中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧于点P,Q,且点P,Q在AB异侧,连接OP.(1)求证:AP=BQ;(2)当BQ=4时,求优弧的长(结
41、果保留);(3)若APO的外心在扇形COD的内部,求OC的取值范围.解析解析(1)证明:连接OQ.(1分)AP,BQ分别与优弧相切,OPAP,OQBQ,即APO=Q=90.又OA=OB,OP=OQ,RtAPORtBQO.(3分)AP=BQ.(4分)(2)BQ=4,OB=AB=8,Q=90,sinBOQ=.BOQ=60.(5分)OQ=8cos60=4,优弧的长为=.(7分)(3)设点M为RtAPO的外心,则M为OA的中心,OM=4.当点M在扇形COD的内部时,OMOC,4OC8.(9分)思路分析思路分析(1)连接OQ.根据切线的性质得出APO=Q=90,由HL得出RtAPORtBQO,即可得AP
42、=BQ;(2)由BQ=4,OB=8,确定出BOQ的度数及OQ的长,进而根据弧长公式求出优弧的长;(3)APO的外心是OA的中点,OA=8,从而可由APO的外心在扇形COD的内部求出OC的取值范围.解题技巧解题技巧遇到含有切线的解答题,首先要想到的是作辅助线,由此获得更多能够证明题目要求的条件.一般作辅助线的方法为“见切点,连圆心”,从而构造直角三角形(垂直)进行证明或计算.13.(2017山西,21,7分)如图,ABC内接于O,且AB为O的直径.ODAB,与AC交于点E,与过点C的O的切线交于点D.(1)若AC=4,BC=2,求OE的长;(2)试判断A与CDE的数量关系,并说明理由.解析解析(
43、1)AB是O的直径,ACB=90.在RtABC中,由勾股定理得AB=2,AO=AB=2=.(1分)ODAB,AOE=ACB=90,又A=A,AOEACB,(2分)=,OE=.(3分)(2)CDE=2A.(4分)理由如下:证法一:连接OC.OA=OC,1=A.CD是O的切线,OCCD,OCD=90,2+CDE=90.(5分)ODAB,2+3=90,3=CDE.(6分)3=A+1=2A,CDE=2A.(7分)证法二:连接OC.CD是O的切线,OCCD,1+2=90.ODAB,AOE=90,A+3=90.(5分)OA=OC,1=A,2=3.(6分)又3=4,2=4=3=90-A,CDE=180-(2
44、+4)=180-2(90-A)=180-290+2A=2A.(7分)解后反思解后反思求线段长度的方法,除了简单的直接加减之外,还可以把线段长度放在方程中求解,建立方程的常见方法:通过相似得到比例建立方程;通过勾股定理建立方程;通过三角函数建立边与边之间的关系,等等.在这几种方法的选择上,要具体问题具体分析,选择一种最简单的方法.14.(2016北京,25,5分)如图,AB为O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交于点D,过点D作O的切线,交BA的延长线于点E.(1)求证:ACDE;(2)连接CD,若OA=AE=a,写出求四边形ACDE面积的思路.解析解析(1)证明:连接OC,如图.OA=O
45、C,F为AC的中点,ODAC.DE是O的切线,ODDE.ACDE.(2)求解思路如下:在RtODE中,由OA=AE=OD=a,可得ODE,OFA为含30角的直角三角形;由ACD=AOD=30,可知CDOE;由ACDE,可知四边形ACDE是平行四边形;由ODE,OFA为含有30角的直角三角形,可求DE,DF的长,进而可求四边形ACDE的面积.15.(2016陕西,23,8分)如图,已知:AB是O的弦,过点B作BCAB交O于点C,过点C作O的切线交AB的延长线于点D,取AD的中点E,过点E作EFBC交DC的延长线于点F,连接AF并延长交BC的延长线于点G.求证:(1)FC=FG;(2)AB2=BC
46、BG.证明证明(1)如图,EFBC,ABBG,EFAD.又E是AD的中点,FA=FD.FAD=D.(2分)又知GBAB,GAB+G=D+1=90.1=G.而1=2,2=G.FC=FG.(4分)(2)连接AC.ABBG,AC是O的直径.(5分)又FD是O的切线,切点为C,ACDF.1+4=90.(6分)又知3+4=90,1=3.而由(1)知1=G,3=G.ABCGBA.(7分)=.故AB2=BCBG.(8分)16.(2016天津,21,10分)在O中,AB为直径,C为O上一点.(1)如图,过点C作O的切线,与AB的延长线相交于点P,若CAB=27,求P的大小;(2)如图,D为上一点,且OD经过A
47、C的中点E,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若CAB=10,求P的大小.解析解析(1)如图,连接OC.O与PC相切于点C,OCPC,即OCP=90.CAB=27,COB=2CAB=54.在RtOPC中,P+COP=90,P=90-COP=36.(2)E为AC的中点,ODAC,即AEO=90.在RtAOE中,由EAO=10,得AOE=90-EAO=80.ACD=AOD=40.ACD是ACP的一个外角,P=ACD-CAP=30.17.(2016湖北武汉,21,8分)如图,点C在以AB为直径的O上,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,AD交O于点E.(1)求证:AC平分DAB;(2)连接B
48、E交AC于点F,若cosCAD=,求的值.解析解析(1)证明:连接OC.CD为O的切线,且ADCD,ADOC,(1分)CAD=ACO.OA=OC,OAC=ACO,CAD=CAO,即AC平分DAB.(3分)(2)连接BC,记OC交BE于点G.设AD=4t,OG=x.D=90,cosCAD=,AC=5t.cosBAC=cosCAD=,=,AB=.(5分)AB为O的直径,AEB=90.则易知四边形DCGE为矩形,G为BE的中点,AE=2OG=2x,DE=CG=-x.由2x+=4t,得x=.(6分)由ADOC可得AEFCGF,=.(8分)评析评析对于含有切线的证明题,通常需要作辅助线构造直角三角形,一
49、般的方法为“见切点,连圆心”.18.(2016江苏南京,26,8分)如图,O是ABC内一点,O与BC相交于F、G两点,且与AB、AC分别相切于点D、E,DEBC.连接DF、EG.(1)求证:AB=AC;(2)已知AB=10,BC=12.求四边形DFGE是矩形时O的半径.解析解析(1)证明:O与AB、AC分别相切于点D、E,AD=AE,ADE=AED.DEBC,B=ADE,C=AED.B=C,AB=AC.(4分)(2)如图,连接AO,交DE于点M,延长AO交BC于点N,连接OE、DG.设O的半径为r.四边形DFGE是矩形,DFG=90.DG是O的直径.O与AB、AC分别相切于点D、E,ODAB,
50、OEAC.又OD=OE,AN平分BAC.由(1)知AB=AC,ANBC,BN=BC=6.在RtABN中,AN=8.ODAB,ANBC,ADO=ANB=90,又OAD=BAN,AODABN.=,即=.AD=r.BD=AB-AD=10-r.ODAB,GDB=ANB=90.又B=B,GBDABN.=,即=.r=.四边形DFGE是矩形时O的半径为.(8分)19.(2016内蒙古呼和浩特,24,9分)如图,已知AD是ABC的外角EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.(1)求证:FBC=FCB;(2)已知FAFD=12,若AB是ABC外接圆的直径,FA=2,