(河南专版)2019年中考数学一轮复习第四章图形的认识4.5特殊的平行四边形(试卷部分).ppt

第四章 图形的认识4.5特殊的平行四边形中考数学中考数学(河南专用)A组 2014-2018年河南中考题组五年中考1.(2017河南,7,3分)如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件判定ABCD是菱形的只有()A.ACBDB.AB=BCC.AC=BDD.1=2答案答案C根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得选项A中条件可判定ABCD是菱形;根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得选项B中条件可判定ABCD是菱形;对角线相等的平行四边形为矩形,故选项C错误;因为CDAB,所以2=DCA,再由1=2,可得1=DCA,所以AD=CD,由一组邻边相等的平行四边形是菱形,得ABCD是菱形,D中条件可判定ABCD是菱形.故选C.2.(2016河南,15,3分)如图,已知ADBC,ABBC,AB=3.点E为射线BC上一个动点,连接AE,将ABE沿AE折叠,点B落在点B处,过点B作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B为线段MN的三等分点时,BE的长为.答案答案或解析解析ADBC,ABBC,MNAD,四边形ABNM为矩形,MN=AB=3,B为线段MN的三等分点,BM=1或2,ABE=ABC=90,ABM+EBN=90.EBN+BEN=90,ABM=BEN.又AMB=ENB=90,AMBBNE,=,设BE=BE=x.当BM=1时,BN=2,在RtAMB中,AM=2,所以=,即x=;当BM=2时,BN=1,在RtAMB中,AM=,所以=,即x=.综上所述,BE的长为或.思路分析思路分析根据AMB=ENB=ABE=90及其他角的关系,判定AMBBNE,设BE=BE=x,用勾股定理求AM的长,然后利用相似的性质求BE的长.评析评析本题考查轴对称,矩形的判定和性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识,题目的计算量略大,属中档题.3.(2015河南,15,3分)如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点,把EBF沿EF折叠,点B落在B处.若CDB恰为等腰三角形,则DB的长为.答案答案16或4解析解析分三种情况讨论:(1)若DB=DC,则DB=16(易知此时点F在BC上且不与点C、B重合).(2)当CB=CD时,连接BB,EB=EB,CB=CB,点E、C在BB的垂直平分线上,EC垂直平分BB,由折叠可知点F与点C重合,不符合题意,舍去.(3)如图,当CB=DB时,作BGAB于点G,延长GB交CD于点H.ABCD,BHCD.则四边形AGHD为矩形,AG=DH.CB=DB,DH=CD=8,AG=DH=8,GE=AG-AE=5.又易知EB=13,在RtBEG中,由勾股定理得BG=12,BH=GH-BG=4.在RtBDH中,由勾股定理得DB=4(易知此时点F在BC上且不与点C、B重合).综上所述,DB=16或4.思路分析思路分析分DB=DC、CB=CD和CB=DB三种情况讨论.4.(2014河南,15,3分)如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把ADE沿AE折叠,当点D的对应点D落在ABC的平分线上时,DE的长为.答案答案或解析解析如图,连接BD,过点D作PQAB,交AB于点Q,交CD于点P.点D在ABC的平分线上,四边形ABCD为矩形,ABD=ABC=45,BQ=QD,设BQ=x,由折叠得,AD=AD=5,DE=DE,ADE=90,易得EDPDAQ,=,在RtAQD中,AD2=AQ2+QD2,即52=(7-x)2+x2,x1=3,x2=4.当DQ=3时,=,即=,解得DE=,即DE=.当DQ=4时,=,即=,解得DE=,即DE=.DE的长为或.思路分析思路分析连接BD,过点D作AB的垂线PQ,构造相似三角形,运用相似的性质和勾股定理求DE的长.考点一矩形考点一矩形B组 2014-2018年全国中考题组1.(2017四川绵阳,9,3分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=2,AEO=120,则FC的长度为()A.1B.2C.D.答案答案A四边形ABCD是矩形,OA=OB=OC=AC=.ADBC,OFC=AEO=120,BFO=60.EFBD,BOF=90,OBF=OCB=30,COF=BFO-OCB=30,OF=FC.OF=OBtan30=1,FC=1,故选A.2.(2016天津,10,3分)如图,把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B,AB与DC相交于点E,则下列结论一定正确的是()A.DAB=CABB.ACD=BCDC.AD=AED.AE=CE答案答案D由折叠知,EAC=BAC,ABCD,ECA=BAC,EAC=ECA,AE=CE.故选D.3.(2018江西,10,3分)如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AE-FG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为.答案答案3解析解析根据旋转的性质,得BC=EF,AB=AE,又四边形ABCD为矩形,DE=EF,AD=DE=3,D=90,即ADE为等腰直角三角形,根据勾股定理得AE=3,所以AB=AE=3.解题关键解题关键熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键.4.(2018四川成都,14,4分)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为.答案答案解析解析如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分AC,EA=EC=3.在RtADE中,AD=.在RtADC中,AC=.思路分析思路分析连接AE,根据题中的作图方法,可得MN垂直平分AC,则EA=EC=3,用勾股定理先计算出AD,再计算出AC,得解.解题关键解题关键本题考查了矩形的性质,基本作图(作已知线段的垂直平分线),勾股定理,识别基本作图并熟练应用勾股定理计算是解题的关键.5.(2014湖北黄冈,15,3分)如图,在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上).则剪下的等腰三角形的面积为cm2.答案答案或5或10解析解析不妨设重合的顶点为点A,则有以下三种情况:图(1)图(2)图(3)如图(1),AE=AF=5,所以所求面积为55=.如图(2),AE=EF=5,RtBEF中,可求出BE=1,根据勾股定理可得BF=2,所以所求面积为AEBF=52=5.如图(3),AE=EF=5,RtDEF中,可求出DE=3,根据勾股定理可得DF=4,所以所求面积为AEDF=54=10.综上所述,剪下的等腰三角形的面积为cm2或5cm2或10cm2.6.(2017北京,20,3分)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证.(以上材料来源于古证复原的原则吴文俊与中国数学和古代世界数学泰斗刘徽)请根据上图完成这个推论的证明过程.证明:S矩形NFGD=SADC-(SANF+SFGC),S矩形EBMF=SABC-(+).易知,SADC=SABC,=,=.可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.解析解析SAEF;SFMC;SANF;SAEF;SFGC;SFMC.7.(2015吉林长春,22,9分)在矩形ABCD中,已知ADAB.在边AD上取点E,使AE=AB,连接CE.过点E作EFCE,与边AB或其延长线交于点F.猜想:如图,当点F在边AB上时,线段AF与DE的大小关系为.探究:如图,当点F在边AB的延长线上时,EF与边BC交于点G.判断线段AF与DE的大小关系,并加以证明.应用:如图,若AB=2,AD=5,利用探究得到的结论,求线段BG的长.解析解析猜想:AF=DE.(2分)探究:AF=DE.证明:EFCE,CEF=90.1+2=90.四边形ABCD为矩形,A=D=90,AB=CD.2+3=90.1=3.AE=AB,AE=DC.AEFDCE.AF=DE.(6分)应用:AF=DE=AD-AE=5-2=3,BF=AF-AB=3-2=1.在矩形ABCD中,ADBC,FBGFAE.=,即=.BG=.(9分)1.(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是()A.AB=EFB.AB=EFC.AB=2EFD.AB=EF考点二菱形考点二菱形答案答案D如图,连接AC、BD交于O,四边形ABCD是菱形,ACBD,OA=OC,OB=OD,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,EF=AC,EH=BD,EH=2EF,BD=2AC,OB=2OA,AB=OA,易知OA=EF,AB=EF,故选D.思路分析思路分析首先根据菱形的性质得到ACBD,OA=OC,OB=OD,然后根据三角形中位线定理得出EF=AC,EH=BD,进而得到OB=2OA,最后根据勾股定理求得AB=OA,即得AB=EF.2.(2017河北,9,3分)求证:菱形的两条对角线互相垂直.已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.求证:ACBD.以下是排乱的证明过程:又BO=DO,AOBD,即ACBD.四边形ABCD是菱形,AB=AD.证明步骤正确的顺序是()A.B.C.D.答案答案B证明:四边形ABCD是菱形,AB=AD,又BO=DO,AOBD,即ACBD.所以证明步骤正确的顺序是,故选B.3.(2016宁夏,5,3分)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点,连接EF.若EF=,BD=2,则菱形ABCD的面积为()A.2B.4C.6D.8答案答案A因为E,F分别是AD,CD边上的中点,所以EFAC,且EF=AC,所以AC=2EF=2.所以S菱形ABCD=ACBD=22=2.故选A.4.(2016黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在菱形ABCD中,BAD=120,点E、F分别在边AB、BC上,BEF与GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,且点G在边AD上.若EGAC,AB=6,则FG的长为.答案答案3解析解析设AC与EG相交于点O,四边形ABCD是菱形,BAD=120,EAC=DAC=60,B=60,AB=BC.ABC是等边三角形.又AB=6,ABC的面积为18.菱形ABCD的面积为36,EGAC,AOE=AOG=90.AGE=90-60=30.BEF与GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,EGF=B=60,AGF=EGF+AGE=90,FGAD,FG=3.5.(2015内蒙古包头,19,3分)如图,在边长为+1的菱形ABCD中,A=60,点E,F分别在AB,AD上,沿EF折叠菱形,使点A落在BC边上的点G处,且EGBD于点M,则EG的长为.答案答案解析解析在菱形ABCD中,EGBD.易证BMEBMG.EM=GM.由折叠的性质得EG=AE,设EM=x,则EG=EA=2x,BE=+1-2x,A=60,AD=AB,ABD是等边三角形,ABD=60,所以EM=EBsin60,即x=(+1-2x),解得x=,所以EG=2x=.6.(2018新疆乌鲁木齐,18,10分)如图,在四边形ABCD中,BAC=90,E是BC的中点,ADBC,AEDC,EFCD于点F.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若AB=6,BC=10,求EF的长.解析解析(1)证明:ADBC,AEDC,四边形AECD是平行四边形.BAC=90,E是BC的中点,AE=CE=BC,四边形AECD是菱形.(5分)(2)过点A作AHBC于点H,BAC=90,AB=6,BC=10,AC=8,SABC=BCAH=ABAC,AH=.点E是BC的中点,BC=10,四边形AECD是菱形,CD=CE=5.SAECD=CEAH=CDEF,EF=AH=.(10分)思路分析思路分析(1)先证四边形AECD是平行四边形,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证四边形AECD是菱形;(2)过点A作AHBC于点H,由三角形的面积公式求出AH,再由平行四边形的面积公式求出EF.7.(2017北京,22,5分)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.解析解析(1)证明:E为AD的中点,AD=2ED.AD=2BC,ED=BC.ADBC,四边形BCDE为平行四边形.又在ABD中,E为AD的中点,ABD=90,BE=ED,BCDE为菱形.(2)设AC与BE交于点H,如图.ADBC,DAC=ACB.AC平分BAD,BAC=DAC,BAC=ACB,BA=BC,由(1)可知,BE=AE=BC,AB=BE=AE,ABE为等边三角形,BAC=30,ACBE,AH=CH.在RtABH中,AH=ABcosBAH=,AC=2AH=.8.(2015贵州遵义,24,10分)在RtABC中,BAC=90,D是BC的中点,E是AD的中点.过点A作AFBC交BE的延长线于点F.(1)求证:AEFDEB;(2)证明四边形ADCF是菱形;(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.解析解析(1)证明:在RtABC中,BAC=90,D是BC的中点,AD=BC=DC=BD.(1分)AFBC,DBE=AFE,E是AD的中点,ED=EA.又BED=FEA,(2分)BDEFAE(AAS).(3分)(2)证明:由(1)知AF=BD=DC,(4分)AF DC,四边形ADCF是平行四边形.(5分)又AD=DC,四边形ADCF是菱形.(6分)(3)连接DF,AF DC,BD=CD,AF BD,(7分)四边形ABDF是平行四边形,DF=AB=5,(8分)S菱形ADCF=ACDF=45=10.(10分)1.(2017河北,11,2分)如图是边长为10cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)的是()考点三正方形考点三正方形答案答案A由勾股定理得正方形的对角线的长是10,因为1015,所以正方形内部的每一个点到正方形的顶点的距离都小于15,故选A.2.(2016陕西,8,3分)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点.若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M、N,则的全等三角形共有()A.2对B.3对C.4对D.5对答案答案C易知ABDCBD,MONMON,DONBON,DOMBOM,故选C.3.(2018内蒙古呼和浩特,16,3分)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM45,所以无论点M运动到何处,CHM一定大于135,故正确.所以都正确.思路分析思路分析点E在运动的过程中,CBA=CHE=90,故B、E、H、C四点共圆,作出图形,再进行判断.解题关键解题关键解决本题的关键是要借助中点发现辅助圆.4.(2018江西,12,3分)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为.答案答案2,-或2解析解析四边形ABCD是正方形,AB=6,ACBD,AC=BD=6,OA=OD=3.有三种情况:点P在AD上时,AD=6,PD=2AP,AP=AD=2;点P在AC上时,不妨设AP=x(x0),则DP=2x,在RtDPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2,即(2x)2=(3)2+(3-x)2,解得x=-(负值舍去),即AP=-;点P在AB上时,PAD=90,PD=2AP,ADP=30,AP=ADtan30=6=2.综上所述,AP的长为2,-或2.思路分析思路分析根据正方形的性质得出ACBD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,画出符合题意的三种情况,根据正方形的性质、勾股定理及锐角三角函数求解即可.解题关键解题关键熟记正方形的性质,分析符合题意的情况,并准确画出图形是解题的关键.易错警示易错警示此题没有给出图形,需将点P的位置分类讨论,做题时,往往会因只画出点P在正方形边上而致错.5.(2016山东青岛,13,3分)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若CEF的周长为18,则OF的长为.答案答案解析解析四边形ABCD是正方形,BO=DO,BC=CD,BCD=90.在RtDCE中,F为DE的中点,CF=DE=EF=DF.CEF的周长为18,CE+CF+EF=18,又CE=5,CF+EF=18-5=13,DE=DF+EF=13,DC=12,BC=12,BE=12-5=7.在BDE中,BO=DO,F为DE的中点,OF为BDE的中位线,OF=BE=.6.(2014黑龙江哈尔滨,19,3分)如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,点E在AB边上,EFAC于点F,连接EC,AF=3,EFC的周长为12,则EC的长为.答案答案5解析解析设正方形ABCD的边长为x,AC是正方形ABCD的对角线,BAC=45.EFAC,EF=AF=3,AE=3.FC=AC-AF=x-3,EFC的周长为12,EC=12-FC-EF=12-x+3-3=12-x.BE=AB-AE=x-3,EC=,=12-x,解得x=.EC=12-=5.7.(2017陕西,19,7分)如图,在正方形ABCD中,E、F分别为边AD和CD上的点,且AE=CF,连接AF、CE交于点G.求证:AG=CG.证明证明四边形ABCD是正方形,ADF=CDE=90,AD=CD.AE=CF,DE=DF.(2分)ADFCDE.DAF=DCE.(4分)又AGE=CGF,AE=CF,AGECGF,AG=CG.(7分)8.(2015山东临沂,25,11分)如图1,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ADE和DCF,连接AF,BE.(1)请判断:AF与BE的数量关系是,位置关系是;(2)如图2,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明;(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗?请直接写出你的判断.解析解析(1)AF=BE,AFBE.(2分)(2)结论成立.(3分)证明:四边形ABCD是正方形,BA=AD=DC,BAD=ADC=90.在EAD和FDC中,EADFDC.EAD=FDC.EAD+DAB=FDC+CDA,即BAE=ADF.(4分)在BAE和ADF中,BAEADF.BE=AF,ABE=DAF.(6分)DAF+BAF=90,ABE+BAF=90,AFBE.(9分)(3)结论都能成立.(11分)考点一矩形考点一矩形C组 教师专用题组1.(2017甘肃兰州,8,4分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ADB=30,AB=4,则OC=()A.5B.4C.3.5D.3答案答案B因为四边形ABCD为矩形,所以AC=BD,OC=AC.已知ADB=30,故在直角三角形ABD中,BD=2AB=8,所以AC=8,所以OC=AC=4,故选B.2.(2017新疆乌鲁木齐,9,4分)如图,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折叠后,使点D恰好落在BC边上的G点处,若矩形面积为4且AFG=60,GE=2BG,则折痕EF的长为()A.1B.C.2D.2答案答案C四边形ABCD是矩形,ADBC,H=D=FGH=C=90.由折叠知GFE=DFE,FD=FG.GFD=180-AFG=120,GFE=DFE=60.ADBC,FGE=AFG=60,FEG=DFE=60,GEF是等边三角形,FG=GE=FE.设BG=x,则GF=GE=EF=FD=2x.作GMAD,交AD于点M,则四边形ABGM是矩形,GM=GFsin60=x,MF=GFcos60=x,AD=AM+MF+FD=BG+MF+FD=4x,ADGM=4,4xx=4,解得x=1或x=-1(不符合题意,舍去),EF=2x=2,故选C.3.(2016四川南充,8,3分)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后DAG的大小为()A.30B.45C.60D.75答案答案C如图,根据第二次折叠可知,1=2,MGA=90,由第一次折叠可知,MN=AN,即NG是RtAMG的中线,故AN=GN,所以2=3.又EFAB,所以3=4,故1=2=4,又因为1+2+4=90,所以1=2=4=30,所以1+2=DAG=60,故选C.4.(2015江西南昌,5,3分)如图,小贤为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化.下列判断的是()A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形B.BD的长度增大C.四边形ABCD的面积不变D.四边形ABCD的周长不变答案答案C向右扭动框架ABCD的过程中,AD与BC的距离逐渐减小,即ABCD的高发生变化,所以面积改变,选项C错误,故选C.5.(2015安徽,9,4分)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G、H在对角线AC上,若四边形EGFH是菱形,则AE的长是()A.2B.3C.5D.6答案答案C连接EF交GH于点O,由四边形EGFH为菱形,可得EFGH,OH=OG,因为四边形ABCD为矩形,所以B=90.因为AB=8,BC=4,所以AC=4.易证AGECHF,所以AG=CH,所以AO=AC=2;因为EOGH,B=90,所以AOE=B,又因为OAE=BAC,所以AOEABC,所以=,所以AE=5,故选C.6.(2014江苏南京,6,2分)如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(-2,1),点C的纵坐标是4,则B、C两点的坐标分别是()A.、B.、C.、D.、答案答案B过点A作AA1x轴于点A1,过点B作BB1x轴于点B1,过点C作B1B的垂线,交B1B的延长线于点D,如图所示,易知AOA1BCD,故点B的纵坐标是4-1=3,从而由AOA1OBB1得=,解得OB1=,所以B,故点C的横坐标为-2=-,即C,故选B.7.(2018北京,13,2分)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为.答案答案解析解析四边形ABCD是矩形,ABCD,CD=AB=4,BC=AD=3,DCA=CAB,又DFC=AFE,CDFAEF,=.E是边AB的中点,AB=4,AE=2.BC=3,AB=4,ABC=90,AC=5.=,CF=.8.(2016安徽,14,5分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10.点E在CD上,将BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处.有下列结论:EBG=45;DEFABG;SABG=SFGH;AG+DF=FG.其中正确的是.(把所有正确结论的序号都选上)答案答案解析解析ABG=HBG,FBE=CBE,ABC=90,EBG=45,正确;AB=6,BF=BC=10,AF=8,FD=AD-AF=10-8=2,设DE=x,则EF=CE=6-x,在RtDEF中,DF2+DE2=EF2,22+x2=(6-x)2,x=,即DE=,EF=,BH=AB=6,HF=BF-BH=10-6=4,又易知RtDEFRtHFG,=,即=,GF=5,AG=3,若DEFABG,则=,但,故不正确;BH=6,HF=4,SBGH=SFGH,ABGHBG,SABG=SFGH,正确;FHGEDF,=,=,FG=5,AG+DF=5,AG+DF=FG,正确.9.(2015江苏苏州,18,3分)如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为.答案答案16解析解析由题意知DF是RtBDE的中线,所以DF=BF=FE=4.矩形ABCD中,AB=DC=x,BC=AD=y,在RtCDF中,CF=BF-BC=4-y,CD=x,DF=4,由勾股定理得CF2+CD2=DF2,即x2+(y-4)2=42=16.评析评析本题考查勾股定理的应用,直角三角形的性质,综合性较强,对学生能力要求较高,属难题.10.(2015重庆,18,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,连接BD,DBC的角平分线BE交DC于点E,现把BCE绕点B逆时针旋转,记旋转后的BCE为BCE.当射线BE和射线BC都与线段AD相交时,设交点分别为F,G.若BFD为等腰三角形,则线段DG长为.答案答案解析解析过点F作FHBD交BG的延长线于点H,在矩形ABCD中,BD=14,ADBC,ADB=DBC,BE平分DBC,FBG=EBC=DBC,FBG=FDB,由题意可得BF=FD,FBD=FDB,FBG=FBD,FBG=GBD,FHBD,H=GBD,H=FBG,FB=FH=FD,设FD=x(x0),在RtABF中,由勾股定理得BF2=AF2+AB2,即x2=(10-x)2+(4)2,解得x=,FB=FH=FD=.FHBD,FHGDBG,=,设GD=y(y0),=,解得y=,GD=.评析评析本题重点考查勾股定理,矩形的性质,相似三角形的性质与判定,方程思想等,综合性较强,属于难题.11.(2017福建,24,12分)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC,BC上的点,且四边形PEFD为矩形.(1)若PCD是等腰三角形,求AP的长;(2)若AP=,求CF的长.解析解析(1)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,ADC=90,DC=AB=6,AC=10.要使PCD是等腰三角形,有如下三种情况:当CP=CD时,CP=6,AP=AC-CP=4.当PD=PC时,PDC=PCD,PCD+PAD=PDC+PDA=90,PAD=PDA,PD=PA,PA=PC,AP=,即AP=5.当DP=DC时,过D作DQAC于Q,则PQ=CQ.SADC=ADDC=ACDQ,DQ=,CQ=,PC=2CQ=,AP=AC-PC=.综上所述,若PCD是等腰三角形,则AP=4,或AP=5,或AP=.(2)连接PF,DE,记PF与DE的交点为O,连接OC.四边形ABCD和四边形PEFD都是矩形,ADC=PDF=90,即ADP+PDC=PDC+CDF,ADP=CDF.BCD=90,OE=OD,OC=ED.在矩形PEFD中,PF=DE,OC=PF.OP=OF=PF,OC=OP=OF,OCF=OFC,OCP=OPC,又OPC+OFC+PCF=180,2OCP+2OCF=180,PCF=90,即PCD+FCD=90.在RtADC中,PCD+PAD=90,PAD=FCD.ADPCDF,=.AP=,CF=.易错警示易错警示在第(1)问中,分三种情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论,不能丢解.一题多解一题多解在第(2)问中,连接PF,DE,PF与DE相交于点O,连接OC.四边形DPEF是矩形,OP=OE=OD=OF.ECD是直角三角形,OC=OE=OD.D、P、E、C、F都在以O为圆心,OC为半径的圆上.PCF=BCD=90,DCF=ACB.ADBC,ACB=DAC.DCF=DAP.又ADC=PDF=90,CDF=ADP,CDFADP.=,=,CF=.12.(2016宁夏,26,10分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,动点Q从点A出发,以每秒1个单位的速度,沿AB向点B移动;同时点P从点B出发,仍以每秒1个单位的速度,沿BC向点C移动,连接QP,QD,PD.若两个点同时运动的时间为x秒(03(不合题意,舍去),存在x,使得QPDP.(10分)解法二:若存在x,使得QPDP,则RtQBPRtPCD,=,即=,整理,得x2-7x+9=0,(8分)解得x=或x=3(不合题意,舍去),存在x,使得QPDP.(10分)评析评析本题是以矩形为载体的动点问题.主要考查矩形的性质,三角形的面积等.解题的关键是用含x的代数式表示各线段的长.属难题.13.(2015福建龙岩,20,10分)如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点,若EF=EC,且EFEC.(1)求证:AE=DC;(2)已知DC=,求BE的长.解析解析(1)证明:在矩形ABCD中,A=D=90,1+2=90.EFEC,FEC=90,2+3=90,1=3.(2分)在AEF和DCE中,AEFDCE,(4分)AE=DC.(6分)(2)由(1)得AE=DC,AE=DC=.在矩形ABCD中,AB=DC=,(8分)在RtABE中,AB2+AE2=BE2,即()2+()2=BE2,BE=2.(10分)14.(2015山东聊城,21,8分)如图,在ABC中,AB=BC,BD平分ABC.四边形ABED是平行四边形,DE交BC于点F,连接CE.求证:四边形BECD是矩形.证明证明AB=BC,BD平分ABC,BDAC,AD=CD.(2分)四边形ABED是平行四边形,BEAD,BE=AD,(4分)BE=CD.四边形BECD是平行四边形.(6分)BDAC,BDC=90,BECD是矩形.(8分)15.(2014内蒙古呼和浩特,21,7分)如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿AC折叠,点B落在点E处,AE与DC的交点为O,连接DE.(1)求证:ADECED;(2)求证:DEAC.证明证明(1)四边形ABCD是矩形,AD=BC,AB=CD.又AC是折痕,BC=CE=AD,(1分)AB=AE=CD,(2分)又DE=ED,ADECED.(3分)(2)ADECED,EDC=DEA,又ACE与ACB关于AC所在直线对称,OAC=CAB,而OCA=CAB,OAC=OCA,(5分)2OAC=2DEA,(6分)OAC=DEA,DEAC.(7分)评析评析本题考查轴对称变换(折叠问题),矩形的性质以及全等三角形的判定与性质,属容易题.1.(2017江西,6,3分)如图,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中的是()A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形B.当E,F,G,H是各边中点,且ACBD时,四边形EFGH为矩形C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形考点二菱形考点二菱形答案答案D连接AC,BD.当E,F,G,H是各边中点时,由三角形中位线定理可得EFAC且EF=AC,GHAC且GH=AC,所以EFGH且EF=GH,所以四边形EFGH为平行四边形.当AC=BD时,因为EF=AC,EH=BD,所以EF=EH,所以四边形EFGH为菱形,选项A正确;当ACBD时,因为EFAC,EHBD,所以EFEH,所以四边形EFGH为矩形,选项B正确;当E,F,G,H不是各边中点时,若=,=,则GHAC,EFAC,所以GHEF.因为=,所以EF=GH,所以四边形EFGH为平行四边形,选项C正确;例如,当E,F,G,H不是各边中点,且=,BD=2AC时,由上述可知四边形EFGH为平行四边形,所以=,=,即=,所以=,即EF=EH,所以四边形EFGH为菱形,选项D错误.综上,选D.2.(2015辽宁沈阳,7,3分)顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,所形成的四边形是()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形答案答案B如图,在ABD中,E,F分别是AB,AD的中点,EF是ABD的中位线,EF=BD,同理,GH=BD,EH=AC,FG=AC,AC=BD,EF=FG=HG=HE,四边形EFGH是菱形.评析评析顺次连接四边形各边中点所得的四边形是中点四边形.中点四边形一定是平行四边形,它的其他特征取决于原四边形对角线的特点:若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形的各角为直角;若原四边形的对角线相等,则中点四边形的各边相等.3.(2014上海,6,4分)如图,已知AC、BD是菱形ABCD的对角线,那么下列结论一定正确的是()A.ABD与ABC的周长相等B.ABD与ABC的面积相等C.菱形ABCD的周长等于两条对角线长之和的两倍D.菱形ABCD的面积等于两条对角线长之积的两倍答案答案B解法一:由题图可知SABD=S菱形ABCD,SABC=S菱形ABCD,所以SABD=SABC.解法二:ABC和ABD是同底等高的两个三角形,所以SABC=SABD.4.(2017黑龙江哈尔滨,19,3分)四边形ABCD是菱形,BAD=60,AB=6,对角线AC与BD相交于点O,点E在AC上,若OE=,则CE的长为.答案答案2或4解析解析根据菱形的性质可得BAO=30,ACBD,OA=OC.由AB=6可得OA=OC=3,当E在OA上时,CE=OC+OE=3+=4,当E在OC上时,CE=OC-OE=3-=2.综上,CE的长为4或2.5.(2016陕西,14,3分)如图,在菱形ABCD中,ABC=60,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为.答案答案2-2解析解析当等腰PBC以PBC为顶角时,点P在以B为圆心,BC为半径的圆弧上.连接AC、BD相交于点O.若使PD最短,则点P在如图所示的位置处.四边形ABCD是菱形,ACBD,ABO=ABC=30,BO=ABcos30=,BD=2BO=2,PB=BC=2,PD=BD-PB=2-2.当等腰三角形PBC以PCB为顶角时,易知点P与点D重合(不合题意,舍去)或点P与点A重合,则PD=2.当等腰三角形PBC以BC为底边时,如图,作BC的垂直平分线交BC于点E,易知该直线过点A,则点P在线段AE上(不含点E).当P与A重合时,PD最短,此时PD=2.2-20),则BC=7kcm.上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2,23k+54=6k7k,即(2x+7k)3k+54=42k2.易知四边形DENM、四边形AFMN是平行四边形,DE=AF=MN=2xcm.EF=4cm,4x+4=7k,即2x=.将代入得,3k+54=42k2,化简得7k2+4k-36=0.解得k1=2,k2=-(舍去).AB=12cm,BC=14cm,MN=5cm,x=.易证MCDMPQ,=,解得y=.PM=(cm).菱形MPNQ的周长为4=(cm).评析评析本题主要考查平行四边形、菱形的性质以及相似三角形的性质.8.(2014四川成都,24,4分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,A=60,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN,连接AC,则AC长度的最小值是.答案答案-1解析解析过点M作MFCD交CD的延长线于F.由题意可知MA、MA是定值,AC的长度最小时,A在MC上(如图).菱形ABCD的边长为2,A=60,M是AD的中点,MD=MA=1,MDF=60.MF=MDsin60=,DF=MDcos60=.CF=CD+DF=.在RtMFC中,由勾股定理得MC=.AMN沿MN所在直线翻折得到AMN,MA=MA=1.AC=MC-MA=-1.故答案为-1.评析评析本题是一道以菱形为依托的动点探究问题,主要考查菱形、轴对称(翻折)、锐角三角函数、勾股定理等知识的综合应用.根据已知分析确定点A的位置是本题的解题关键.9.(2018内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,已知A、F、C、D四点在同一条直线上,AF=CD,ABDE,且AB