平行四边形的证明题-2.doc

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平行四边形的证明题
一．解答题（共30小题）
1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：BE=DF；
（2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．

2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．

3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．

4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．

5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．

6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
求证：四边形MFNE是平行四边形．

7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．
求证：四边形AECF是平行四边形．

8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．

9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．

10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？

11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，
求证：AE与DF互相平分．

12．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．

13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．
求证：EF和GH互相平分．

14．如图：▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．

15．已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．

16．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）

17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．
（1）求证：AF=CE；
（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

18．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2
（1）求证：D是EC中点；
（2）求FC的长．

19．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．

20．如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；
（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？

21．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．
（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；
（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．

22．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形？如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．

23．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．
请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明

24．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．
探究：
（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；
（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；
（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；
如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；
（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）
（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．

25．在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；

（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有　无数　组；
（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；
（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？

26．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．
（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

27．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），则第四个顶点C的坐标是多少？

28．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm，，求平行四边形ABCD的面积．

29．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣3，），B（﹣2，3），C（2，3），点D在第一象限．
（1）求D点的坐标；
（2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？
（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？

30．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．

1、解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（A．A．S．），∴BE=DF；
（2）四边形MENF是平行四边形．
证明：有（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边行，
∴AD∥BC，∴∠MDB=MBD，
∵DM=BN，∴△DNF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，
∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．

2、解答：证明：∵四边形AECF是平行四边形
∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，
∴△FDO≌△EBO，∴OD=OB，∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
3、解答：证明：（1）∵BF=DE，∴BF﹣EF=DE﹣EF，即BE=DE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；
（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD，
∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．

4、解答：证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，∴平行四边形AEDF是矩形，∴EF=AD．
5、解答：解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等．
证明：∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，
∵OA=OC，∴△ADO≌△ECO，∴AD=CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴CDAE．
6、解答：证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，
又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，∴DE=BF，∠AED=∠CFB
又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF
又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF∴四边形MFNE为平行四边形．
7、解答：证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．
∵BE=DF，∴OE=OF．∴四边形AECF为平行四边形．

8、解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．
∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF，∠BAE=∠DAB﹣∠DAE，
∴∠DCF=∠BAE．∴△DCF≌△BAE（SAS）．∴DF=BE．∴四边形BEDF是平行四边形．
9、解答：证明：∵E是AC的中点，∴EC=AC，
又∵DB=AC，∴DB=EC．
又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．
10、解答：解：设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24﹣t，CQ=2t，BQ=30﹣2t．
（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形；
（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四边形APQB是平行四边形
11、解答：证明：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：
DE∥AC，DE=AF，
EF∥AB，EF=AD，
∴四边形ADEF为平行四边形．故AE与DF互相平分．
12、解答：证明：∵▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，∴OB=OD，
又∵四边形AODE是平行四边形，∴AE∥OD且AE=OD，∴AE∥OB且AE=OB，
∴四边形ABOE是平行四边形，同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．
13、解答：证明：连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．
在△ABC中，EG=BC；在△DBC中，HF=BC，
∴EG=HF．
同理EH=GF．
∴四边形EGFH为平行四边形．∴EF与GH互相平分．

14、解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM∥QC，AP∥NC．
又∵MN∥AC，∴四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形．
∴AC=MQ AC=NP．∴MQ=NP．
15、解答：证明：如答图所示，
∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，∴OA=OC，OB=OD．
∵G，H分别为OA，OC的中点，∴OG=OA，OH=OC，∴OG=OH．
又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．
在△OEB和△OFD中，
∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，
∴△OEB≌△OFD，
∴OE=OF．∴四边形EHFG为平行四边形．

16、 解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
17、 ∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．
又∵AG=CH，∴BG=DH．
又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，
∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．
（2）解：仍成立．（证法同上）
17、解答：（1）证明：∵AF∥EC，∴∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，
∵D是AC的中点，∴DA=DC，∴△DAF≌△DCE，∴AF=CE；
（2）解：四边形AFCE是正方形．理由如下：
∵AF∥EC，AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形，∴∠FCE=∠CFA=90°，
而∠ACB=135°，∴∠FCA=135°﹣90°=45°，∴∠FAC=45°，∴FC=FA，
∴矩形AFCE是正方形．
18、解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，
又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，∴CD=DE，
即D是EC的中点；
（2）解：连接EF，∵EF⊥BF，∴△EFC是直角三角形，
又∵D是EC的中点，∴DF=CD=DE=2，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∵∠ABC=60°，∴∠ECF=∠ABC=60°，∴△CDF是等边三角形，∴FC=DF=2．
故答案为：2．

19、解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，
∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），
∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形；
（2）连接BE
∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形，∴EB=EF，∠EBF=60°
∵DC=EF，∴EB=DC，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC，∴∠EBF=∠ACB，
∴△AEB≌△ADC，∴AE=AD．

20、解答：解：（1）如图，四边形EFGH是平行四边形．
连接AC，
∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC
同理HG∥AC，∴EF∥HG，EF=HG∴EFGH是平行四边形；

（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等．
∵假若四边形EFGH为正方形，∴它的每一组邻边互相垂直且相等，
∴根据中位线定理得到四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等．

21、 解答：（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．
∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．
又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．
同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形．
（2）解：构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．
当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）
当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）．
22、解答：解：四边形AFED是平行四边形．
证明如下：
在△BED与△BCA中，BE=BC，BD=BA（均为同一等边三角形的边）
∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA
∴△BED≌△BCA（SAS）∴DE=AC
又∵AC=AF∴DE=AF
在△CBA与△CEF中，CB=CE，CA=CF
∠ACB=∠FCE=60°+∠ACE
∴△CBA≌△CEF（SAS）∴BA=EF
又∵BA=DA，∴DA=EF
故四边形AFED为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
23、解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB．

证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，
由题意得PE+PF=AM．
∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB=PD．∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，
即PD+PE+PF=AB．
图3结论：PE+PF﹣PD=AB．
24、解答：解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．
（2）如图4，如图5．

（3）方法一：
如图6，
连接BE，
∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB．
∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．
∵平行四边形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，
∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC，DE=BC．
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．

方法二：
如图7，连接BE，PB，AE，
∵PM=ME，AM=MB，∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE，PA=BE，
余下部分同方法一：

方法三：
如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，
∵平行四边形PADC，∴AN=NC，PN=ND．
∵AM=BM，AN=NC，∴MN∥BC，MN=BC．
又∵PN=ND，PM=ME，∴MN∥DE，MN=DE．∴DE∥BC，DE=BC．
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．

（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．

25、解答：解：（1）无数；
（2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可．如图有：AE=BE=DF=CF，AM=CN．
（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）．

26、解答：解：（1）过点A作AM⊥CD于M，
根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴DM==6，∴CD=16；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，
点P在AB上，点Q在DC上，如图，
由题知：BP=10﹣3t，DQ=2t∴10﹣3t=2t，解得t=2
此时，BP=DQ=4，CQ=12∴
∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=；

（3）①当点P在线段AB上时，即时，如图
∴．

②当点P在线段BC上时，即时，如图
BP=3t﹣10，CQ=16﹣2t∴
化简得：3t2﹣34t+100=0，△=﹣44＜0，所以方程无实数解．

③当点P在线段CD上时，
若点P在Q的右侧，即6≤t≤，
则有PQ=34﹣5t
，＜6，舍去
若点P在Q的左侧，即，
则有PQ=5t﹣34，，t=7.8．
综合得，满足条件的t存在，其值分别为，t2=7.8．

27、解答：解：当BC∥OA，BC=OA时，C和B的纵坐标相等，
若选择AB为对角线，则C1（3，1）；
若选择OB为对角线，则C2（﹣1，1）；
当AB∥OC，AB=OC时，
选择OA为对角线，则C3（1，﹣1）．
故第四个顶点坐标是：C1（3，1），C2（﹣1，1），C3（1，﹣1）．
28、解答：解：设AB=x，则BC=18﹣x，
由AB•DE=BC•DF
F得：，
解之x=10，
所以平行四边形ABCD的面积为．
29、解答：解：（1）由B、C的坐标可知，AD=BC=4，则可得点D的横坐标为1，点D的纵坐标与点A的纵坐标相等，为，可得点D的坐标为（1，）．
（2）依题意得A1、B1、C1、D1的坐标分别为A（﹣3+，0），B（﹣2+，2）C（2+，2），D（1+，0）．
（3）如图，
平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积为平行四边形DEFG的面积，
由题意可得GD=AD﹣AG=4﹣，
平行四边形DEFG的高为2﹣=，
∴重叠部分的面积为（4﹣）•=4﹣2．

30、解答：证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF=∠F，
又AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF，∴∠BAF=∠F，∴AB=BF，
又AF平分∠BAD，DE⊥AF，∴∠AOD=∠ADO，
又∠BOE=∠AOD=∠EDC，∠ADO=∠E，
∴∠EDC=∠E，∴CE=CD，又AB=CD，∴BE=CF．

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